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| Aufgabe | Für die rekursiv definierten Folgen ( an ) beweise man jeweils die angegebene
explizite Darstellung.
a) a0 = 2 , an = 2 - 1/ an-1, n >= 1 , dann ist an = n+2/n+1 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
b) a0 = 0 , a1 = 1 an= 1/2 ( an - 1 + an - 2) , n >= 2
dann ist an = 2/3 ( 1 - ( - 1 ) ^n 1/2n ) [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie sieht der Rechenweg genau aus??? Was ist zu tun??Ich kenne nur den Ansatz ..
bei a) an = 0 + 2 / 0 + 1 = 2 = 2
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> Für die rekursiv definierten Folgen ( an ) beweise man
> jeweils die angegebene
> explizite Darstellung.
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> a) [mm] a_0 [/mm] = 2 , [mm] a_n [/mm] = 2 - [mm] \bruch{1}{a_{n-1}}, [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] 1 , dann ist [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n+2}{n+1}[/mm] [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
> b) [mm] a_0 [/mm] = 0 , [mm] a_1 [/mm] = 1 [mm] a_n= [/mm] 1/2 ( [mm] a_{n - 1} [/mm] + [mm] a_{n - 2}) [/mm] , [mm] n\ge [/mm] 2
> dann ist [mm] a_n [/mm] = 2/3 ( 1 - ( - 1 [mm] )^n \bruch{1}{2n} [/mm] ) [mm]\forall[/mm] n
> [mm]\in \IN[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Wie sieht der Rechenweg genau aus??? Was ist zu tun??Ich
> kenne nur den Ansatz ..
> bei a) an = 0 + 2 / 0 + 1 = 2 = 2
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Falls Du nochmal bei uns postest: beachte bitte die Eingabehilfen für den Formeleditor. Du findest sie unterhalb des Eingabefensters. Damit sind Indizes, Brüche, Exponenten u.v.m. überhaupt kein Problem mehr. (Klick auf "Vorschau" liefert eine Vorschau.)
ich habe oben die Aufgabe bearbeite, vergleich mal, ob alles so geworden ist, wie es gemeint war.
Lösen kannst Du die Aufgabe mit vollständiger  Induktion.
zu Aufgabe a)
Es sei [mm] a_0 [/mm] := 2 , [mm] a_n [/mm] := 2 - [mm] \bruch{1}{a_{n-1}} [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] 1
Behauptung: Es ist [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n+2}{n+1}[/mm] [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
Induktionsanfang n=0: ...
Induktionsbehauptung: ...
Induktionsschluß [mm] n\to [/mm] n+1:
Beh.: Dann gilt auch [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)+2}{(n+1)+1}
[/mm]
Bew: [mm] a_{n+1}= [/mm] 2 - [mm] \bruch{1}{a_n}= [/mm] ... (im Verlaufe der Rechnung ist die Induktionsbehauptung einzusetzten)
...= [mm] \bruch{(n+1)+2}{(n+1)+1}
[/mm]
Prüfe erstmal, ob ich das Post richtig übersetzt habe,
mach Dich schlau wegen Induktion und starte dann einen Versuch.
Gruß v. Angela
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