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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Beweisidee
Beweisidee < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweisidee: Idee gesucht
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:43 Mo 27.04.2009
Autor: ecko

Hallo, hat jemand von euch einen Ansatz, wie ich zeigen könnte das für alle geraden n>1 gilt:

[mm] \vektor{t \\ \bruch{t}{2}} [/mm] < [mm] 2^t [/mm]

Hab schon probiert das mal auszuschreiben und etwas umzu formen, aber sehr weit komme ich da nicht. Ihr sollt mir das hier nicht unbedingt Lösen, aber ein kleiner Ansatz wäre nett, da ich nicht weiter komme.

MfG Stephan

        
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Beweisidee: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:48 Mo 27.04.2009
Autor: M.Rex

Hallo

Ich würde es per induktion machen. Da es ein gerades t sein soll, gibt es ein n mit t=2n

Also:

[mm] \vektor{t\\\bruch{t}{2}}<2^t [/mm]
[mm] \gdw \vektor{2n\\n}<2^{2n} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{(2n)!}{n!(2n-n)!}<2^{2n} [/mm]
[mm] \gdw\bruch{(2n)!}{(n!)²}<2^{2n} [/mm]

Und das ganze würde ich versuchen, per Induktion zu zeigen.

Marius

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Beweisidee: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:00 Di 28.04.2009
Autor: ecko

Hallo, also den Ansatz hatte ich auch so, nur versteh ich nicht sorecht wie das mit induktion klappen soll, da muss ich ja für ein n und ein n+1 zeigen das die formel stimmt, aber das muss ich ja so nur für ein n. Induktion kann glaub ich nicht sein oder?

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Beweisidee: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:13 Di 28.04.2009
Autor: leduart

Hallo
Doch, das ist eine typische Induktion.
1. fuer n=1 hinschreiben,
dann fuer n hinschreiben, und daraus auf n+1 schliessen, wenn du die Formel mit 2n, n statt t, t/2 schriebst. also aus
Ind. Vors: [mm] \vektor{2n \\ n}\le 2^{2n} [/mm] musst du folgern:
[mm] \vektor{2n+2 \\ n+1}\le 2^{2n+2} [/mm]
Gruss leduart


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Beweisidee: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:15 Di 28.04.2009
Autor: Denny22

Der Beweis muss per Induktion geführt werden.

Induktionsanfang: $n=1$

[mm] $\frac{(2\cdot 1)!}{(1!)^2}=2<4=2^{2\cdot 1}$ [/mm]

Induktionsschritt: [mm] $n\to [/mm] n+1$

[mm] $\frac{(2(n+1))!}{((n+1)!)^2}=\frac{(2n+2)!}{(n!(n+1))^2}=\underbrace{\frac{(2n)!}{(n!)^2}}_{\overset{IV}{<}2^{2n}}\cdot\underbrace{\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}}_{<4}<2^{2n}\cdot 2^2=2^{2(n+1)}$ [/mm]

Gruß

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Beweisidee: Pascalsches Dreieck
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:33 Di 28.04.2009
Autor: Al-Chwarizmi

Die Zahlen, um die es hier geht, sind die Zahlen
auf der Symmetrieachse des Pascalschen Dreiecks.
Wie man leicht zeigen kann, ist die Summe aller
Zahlen in der t-ten Zeile gleich [mm] 2^t. [/mm]
Daraus ergibt sich sofort die gewünschte Ungleichung.

LG    Al-Chw.


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Beweisidee: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:46 Di 28.04.2009
Autor: ecko

Danke für eure Hilfe, hab es jetzte verstanden!

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