Beweisschritt, Spiegelungspr. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Mi 16.12.2009 | | Autor: | Mutter |
| Aufgabe 1 | Es geht um einen Ausschnitt aus einem Beweis (Schwarz'sches Spiegelungsprinzip) in der Funktionentheorie Vorlesung, weswegen das hier eingetragen ist. Aufgabe 1 ist der zu beweisende Satz mit allen gemachten Definitionen und Voraussetzungen. Fragen existieren im Wesentlichen nur zu Aufgabe 2, einem Zwischenschritt im Beweis.
Der Satz lautet wie folgt:
Sei [mm] $\Omega\subset\mathbb{C}$ [/mm] offen und zusammenhängend, [mm] $z\in\Omega\Leftrightarrow\bar{z}\in\Omega$, $\Omega^{+}:=\{z\in\Omega|\mathfrak{I} z>1\}$. [/mm] Sei [mm] $f:\Omega^{+}\longrightarrow\mathbb{C}$ [/mm] holomorph und [mm] $\lim_{z\to 0}\mathfrak{R}f(z)=0\$. [/mm] Dann existiert [mm] $\tilde{f}:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ [/mm] holomorph, so dass [mm] $\tilde{f}\big|_{\Omega^{+}}=f$ [/mm] und [mm] $\tilde{f}(z)=-\overline{f(\bar{z})}$ [/mm] auf ganzem Definitionsbereich von $f$.
Zum Beweis definiert der Professor [mm] $u:=\mathfrak{R}f:\Omega^{+}\rightarrow\mathbb{R}, \tilde{u}:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ [/mm] und
[mm] $\tilde{u}(z):=\left\{\begin{matrix}
u(z) & \mathfrak{I}z>0\\
0 & \mathfrak{I}z=0\\
u(\bar{z}) & \mathfrak{I}z<0
\end{matrix}\right.$
[/mm]
Nach Voraussetzung ist [mm] $\tilde{u}$ [/mm] stetig. |
| Aufgabe 2 | Behauptung: [mm] $\tilde{u}$ [/mm] ist harmonisch.
Zum Beweis sei [mm] $x_{0}\in\Omega\cap\mathbb{R}$, [/mm] $r>0: [mm] \overline{\mathfrak{B}_{r}(x_{0})}\subset\Omega$ [/mm] (also der Ball mit Radius $r$ um [mm] $x_{0}$ [/mm] mit Abschluss ganz in [mm] $\Omega$ [/mm] enthalten).
Nun sagt er, dass nach einem Satz aus der Theorie der partiellen DGL (den wir nicht kennen, i.A.) ein stetige [mm] $\underline{u}:\overline{\mathfrak{B}_{r}(x_{0})}\rightarrow\mathbb{R}$ [/mm] mit [mm] $\underline{u}\big|_{\partial\overline{\mathfrak{B}_{r}(x_{0})}}=\tilde{u}$ [/mm] (das heisst, sie stimmen auf dem Rand überein) und auf [mm] $\mathfrak{B}_{r}(x_{0})$ [/mm] harmonisch, d.h. [mm] $\Delta\underline{u}(z)=0\;\forall z\in\mathfrak{B}_{r}(x_{0})$. [/mm] Anscheinend sei die Formel
[mm] $\underline{u}(z)=\int_{0}^{2\pi}\bruch{r^{2}-|z-x_{0}|^{2}}{|x_{0}+re^{it}-z|^{2}}\tilde{u}(x_{0}+re^{it})dt$
[/mm]
Ich habe nun gezeigt (was er nur mit "scharfem Hinsehen" begründet hat), dass [mm] $\underline{u}(z)=\tilde{u}(z)=0\;\forall z\in\mathfrak{B}_{r}(x_{0})\cap\mathbb{R}$.
[/mm]
Nun steht da, dass die beiden Funktionen überall übereinstimmen. |
Dass die Funktionen deshalb überall übereinstimmen, verstehe ich nicht. Kann mir jemand die Begründung dafür geben? Dasselbe Phänomen ist mir bereits in der Elektrostatik begegnet. Ich weiss nicht, wo die Schlussfolgerung herkommt.
Ganz herzlichen Dank
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 So 20.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es geht um einen Ausschnitt aus einem Beweis (Schwarz'sches
> Spiegelungsprinzip) in der Funktionentheorie Vorlesung,
> weswegen das hier eingetragen ist. Aufgabe 1 ist der zu
> beweisende Satz mit allen gemachten Definitionen und
> Voraussetzungen. Fragen existieren im Wesentlichen nur zu
> Aufgabe 2, einem Zwischenschritt im Beweis.
>
> Der Satz lautet wie folgt:
>
> Sei [mm]\Omega\subset\mathbb{C}[/mm] offen und zusammenhängend,
> [mm]z\in\Omega\Leftrightarrow\bar{z}\in\Omega[/mm],
> [mm]\Omega^{+}:=\{z\in\Omega|\mathfrak{I} z>1\}[/mm]. Sei
Soll das nicht [mm]\Omega^{+}:=\{z\in\Omega|\mathfrak{I} z>\red{0}\}[/mm] heißen?
> [mm]f:\Omega^{+}\longrightarrow\mathbb{C}[/mm] holomorph und
> [mm]\lim_{z\to 0}\mathfrak{R}f(z)=0\[/mm]. Dann existiert
> [mm]\tilde{f}:\Omega\rightarrow\mathbb{C}[/mm] holomorph, so dass
> [mm]\tilde{f}\big|_{\Omega^{+}}=f[/mm] und
> [mm]\tilde{f}(z)=-\overline{f(\bar{z})}[/mm] auf ganzem
> Definitionsbereich von [mm]f[/mm].
>
> Zum Beweis definiert der Professor
> [mm]u:=\mathfrak{R}f:\Omega^{+}\rightarrow\mathbb{R}, \tilde{u}:\Omega\rightarrow\mathbb{R}[/mm]
> und
> [mm]$\tilde{u}(z):=\left\{\begin{matrix}
u(z) & \mathfrak{I}z>0\\
0 & \mathfrak{I}z=0\\
u(\bar{z}) & \mathfrak{I}z<0
\end{matrix}\right.$[/mm]
>
> Nach Voraussetzung ist [mm]\tilde{u}[/mm] stetig.
> Behauptung: [mm]\tilde{u}[/mm] ist harmonisch.
Beachte: $u(z)$ ist als Realteil einer holomorphen Funktion harmonisch, daher ist [mm] $\tilde{u}(z)$ [/mm] für [mm] $\mathfrak{I}z>0$ [/mm] und damit, wie du nachrechnen kannst, auch für [mm] $\mathfrak{I}z<0$.
[/mm]
> Zum Beweis sei [mm]x_{0}\in\Omega\cap\mathbb{R}[/mm], [mm]r>0: \overline{\mathfrak{B}_{r}(x_{0})}\subset\Omega[/mm]
> (also der Ball mit Radius [mm]r[/mm] um [mm]x_{0}[/mm] mit Abschluss ganz in
> [mm]\Omega[/mm] enthalten).
> Nun sagt er, dass nach einem Satz aus der Theorie der
> partiellen DGL (den wir nicht kennen, i.A.) ein stetige
> [mm]\underline{u}:\overline{\mathfrak{B}_{r}(x_{0})}\rightarrow\mathbb{R}[/mm]
> mit
> [mm]\underline{u}\big|_{\partial\overline{\mathfrak{B}_{r}(x_{0})}}=\tilde{u}[/mm]
> (das heisst, sie stimmen auf dem Rand überein) und auf
> [mm]\mathfrak{B}_{r}(x_{0})[/mm] harmonisch, d.h.
> [mm]\Delta\underline{u}(z)=0\;\forall z\in\mathfrak{B}_{r}(x_{0})[/mm].
Und diese harmonische Funktion [mm] $\underline{u}(z)$ [/mm] ist eindeutig durch [mm]\underline{u}\big|_{\partial\overline{\mathfrak{B}_{r}(x_{0})}}=\tilde{u}[/mm] bestimmt. Das gilt übrigens für beliebige Kreisscheiben, nicht nur für diejenigen, deren Mittelpunkt auf der reellen Achse liegt.
> Anscheinend sei die Formel
>
> [mm]\underline{u}(z)=\int_{0}^{2\pi}\bruch{r^{2}-|z-x_{0}|^{2}}{|x_{0}+re^{it}-z|^{2}}\tilde{u}(x_{0}+re^{it})dt[/mm]
Das ist eine explizite Darstellung der Funktion [mm] $\underline{u}(z)$ [/mm] durch die Randwerte.
> Ich habe nun gezeigt (was er nur mit "scharfem Hinsehen"
> begründet hat), dass
> [mm]\underline{u}(z)=\tilde{u}(z)=0\;\forall z\in\mathfrak{B}_{r}(x_{0})\cap\mathbb{R}[/mm].
>
> Nun steht da, dass die beiden Funktionen überall
> übereinstimmen.
> Dass die Funktionen deshalb überall übereinstimmen,
> verstehe ich nicht. Kann mir jemand die Begründung dafür
> geben? Dasselbe Phänomen ist mir bereits in der
> Elektrostatik begegnet. Ich weiss nicht, wo die
> Schlussfolgerung herkommt.
Genauso wie hier: aus der Laplacegleichung folgt, dass das Potential im Ladungsfreien Raum gleich dem Mittelwert des Potentials auf einer beliebigen Kugeloberfläche um den betrachteten Punkt ist.
Du hast doch jetzt:
1. (oben) [mm] $\tilde{u}(z)$ [/mm] ist harmonisch [mm]\forall z\in\mathfrak{B}_{r}(x_{0})\backslash \mathbb{R}[/mm].
2. [mm]\underline{u}(z)=\tilde{u}(z)=0\;\forall z\in\mathfrak{B}_{r}(x_{0})\cap\mathbb{R}[/mm].
Nun bedenke, dass die durch die Randwerte gegebene harmonische Funktion eindeutig ist.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
