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Hallo ich habe eine Frage:
Bei Wikipedia (![[]](/images/popup.gif) Exponentialverteilung)
steht unter dem Punkt: Beziehung zur Normalverteilung, dass wenn man die quadrate zweier unabhängiger, gleichverteilter Zufallsvariablen addiert, die neue ZV exponential verteilt ist.
(zum Paramter 1/2)
Wie kommt dieser zusammenhang zustande?
Ich habe versucht mir über die Faltung das zu erklären, aber ich komme nicht zum Übergang auf die Quadrate.
Wäre super, wenn mir jemand erklären könnte wie man da vor geht, um diese Aussage zu beweisen. Bzw. mir erklären, wie man zu den Quadraten schließen kann.
Lg
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> Hallo ich habe eine Frage:
> Bei Wikipedia
> (Exponentialverteilung)
> steht unter dem Punkt: Beziehung zur Normalverteilung,
> dass wenn man die quadrate zweier unabhängiger,
> gleichverteilter Zufallsvariablen ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
> addiert, die neue ZV exponential verteilt ist.
> (zum Paramter 1/2)
>
> Wie kommt dieser zusammenhang zustande?
> Ich habe versucht mir über die Faltung das zu erklären,
> aber ich komme nicht zum Übergang auf die Quadrate.
>
> Wäre super, wenn mir jemand erklären könnte wie man da
> vor geht, um diese Aussage zu beweisen. Bzw. mir erklären,
> wie man zu den Quadraten schließen kann.
>
> Lg
Hallo Studiiiii,
du hast das falsch zitiert. In Wirklichkeit steht da:
Beziehung zur Normalverteilung:
Sind die Zufallsvariablen X und Y standard-normalverteilt
und unabhängig, so ist [mm] X^2+Y^2 [/mm] exponentialverteilt mit Parameter [mm] $\lambda=\tfrac12.$
[/mm]
Also nix von Gleichverteilung !
Für das Rechnen mit solchen Verteilungen google mal:
"Summe, Produkt und Quotient von unabhängigen Zufallsvariablen"
Es scheint allerdings, dass da Texte unterschiedlicher
Qualität zu finden sind.
LG , Al-Chwarizmi
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oh okay, da hab ich wohl was verwechselt gehabt.
Finde via Google meistens nur das ohne die quadrate.
Hast du selbst keinen Tipp?
Irgendwie helfen mir die Skripte gerade nicht weiter (vielleicht weis ich auch nicht so genau, was ich überhaupt suche).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Studiiiii |
Hätte da eine Idee:
Kann ich die Dichte der Quadrate bestimmen und dann daraus die Dichte der Summe? Ist das der Weg den man gehen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Mi 01.05.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin, beide Variablen sind dann [mm] $\chi^2(1)$-verteilt. [/mm] Also ist [mm] $X^2+Y^2$ [/mm]
[mm] $\chi^2(2)$-verteilt...
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:40 So 05.05.2013 | | Autor: | yangwar1 |
Wir hatten in der Vorlesung den Satz, dass wenn X, Y unabhängig sind, dass dann X+Y die Faltung [mm] f_1 \* f_2 [/mm] hat.
Nun müsste ich nur die Dichen von [mm] X^2 [/mm] berechnen. Dann könnte ich mit dem Blockungslemma auf die Unabhängigkeit von [mm] X^2 [/mm] und [mm] Y^2 [/mm] schließen und hätte dann die Dichte von [mm] X^2+Y^2. [/mm] Kann man dann aus der Dichte den Parameter [mm] \lambda [/mm] ablesen?
Wenn X nach N(0,1) verteilt ist, dann ist [mm] Y:=X^2 [/mm] nach Gamma(1/2,1/2) verteilt ist. Damit könnte ich dann alles ausrechnen. Das erscheinen mir aber recht viele Rechnungen. Gibt es einen einfacheren Weg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 So 05.05.2013 | | Autor: | luis52 |
> Wir hatten in der Vorlesung den Satz, dass wenn X, Y
> unabhängig sind, dass dann X+Y die Faltung [mm]f_1 \* f_2[/mm] hat.
> Nun müsste ich nur die Dichen von [mm]X^2[/mm] berechnen. Dann
> könnte ich mit dem Blockungslemma auf die Unabhängigkeit
> von [mm]X^2[/mm] und [mm]Y^2[/mm] schließen und hätte dann die Dichte von
> [mm]X^2+Y^2.[/mm] Kann man dann aus der Dichte den Parameter [mm]\lambda[/mm]
> ablesen?
Ja.
>
> Wenn X nach N(0,1) verteilt ist, dann ist [mm]Y:=X^2[/mm] nach
> Gamma(1/2,1/2) verteilt ist.
Gut.
> Damit könnte ich dann alles
> ausrechnen. Das erscheinen mir aber recht viele Rechnungen.
Ich weiss nicht, ueber welche Vorkenntnisse du verfuegst. Zur Uebung ist mancherlei Plackerei nicht schlecht.
> Gibt es einen einfacheren Weg?
Ja, unter Verwendung der momenterzeugenden Funktion [mm] $E[\exp(tX)]$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 So 05.05.2013 | | Autor: | yangwar1 |
Also ist [mm] X^2 \sim Gamma(\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}). [/mm] Die Dichte f(t) ist somit:
[mm] f(t)=\begin{cases} \brucht{\bruch{1}{2}^\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{2}*\integral_{0}^{\infty}{exp(x^2) dx}}*t^\bruch{-1}{2}*exp(-\bruch{1}{2}*t), & \mbox{für } t \mbox{ >0} \\ 0, & \mbox{für } t \mbox{ <=0} \end{cases}=\begin{cases} \bruch{exp(-t/2)}{\wurzel{2*\pi}*\wurzel{t}}, & \mbox{für } t \mbox{ >0} \\ 0, & \mbox{für } t \mbox{ <=0} \end{cases}.
[/mm]
Nach dem Blockungslemma ist nun [mm] X^2+Y^2 [/mm] unabhängig, da X und Y unabhängig sind (setze [mm] g(x,y)=x^2+y^2...).
[/mm]
Es gilt nun [mm] f_1 \* f_2(z)=\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{exp(\bruch{1}{4})*\wurzel{2*\pi}*\wurzel{x}}*\bruch{1}{exp(\bruch{1}{4})*\wurzel{2*\pi}*\wurzel{z-x}} dx}.
[/mm]
Das Integral konvergiert aber nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 So 05.05.2013 | | Autor: | luis52 |
> Das Integral konvergiert aber nicht.
Deine Integrationsgrenzen stimmen nicht: Es muss gelten $z-x>0_$ ...
Gute Nacht.
Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 So 05.05.2013 | | Autor: | yangwar1 |
Ok, dann würde ich die Integrationsgrenzen auf 0 und z setzen?
Damit erhalte ich dann [mm] f(t)=\bruch{E^-t}{2}.
[/mm]
Die Dichte der Exponentialverteilung lautet aber [mm] f(t)=\lambda*e^{-t*\lambda} [/mm] Also muss irgendwo noch ein Fehler sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:09 Mo 06.05.2013 | | Autor: | luis52 |
> Damit erhalte ich dann [mm]f(t)=\bruch{E^-t}{2}.[/mm]
>
Kann ich nicht nachvollziehen. *Ich* erhalte
[mm] $(f_1 [/mm] * [mm] f_2)(z)=\frac{1}{2\pi}e^{-z/2}\int_0^z\bruch{dx}{\wurzel{x(z-x)}} =\frac{1}{2}e^{-z/2} [/mm] $.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Mo 06.05.2013 | | Autor: | yangwar1 |
Wie kommt man denn nun auf den Erwartungswert [mm] E(\wurzel{X^2+Y^2})?
[/mm]
Ich vermute, dass man ausnutzen muss, dass [mm] X^2+Y^2 [/mm] exponentialverteilt ist.
Man könnte ja die Transformationsformel anwenden, aber ich weiß die Dichte von [mm] \wurzel{X^2+Y^2} [/mm] nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Mo 06.05.2013 | | Autor: | luis52 |
> Wie kommt man denn nun auf den Erwartungswert
> [mm]E(\wurzel{X^2+Y^2})?[/mm]
>
> Ich vermute, dass man ausnutzen muss, dass [mm]X^2+Y^2[/mm]
> exponentialverteilt ist.
> Man könnte ja die Transformationsformel anwenden, aber ich
> weiß die Dichte von [mm]\wurzel{X^2+Y^2}[/mm] nicht.
Sei $Z_$ eine ZV, die nur positive Werte annimmt. Dann ist fuer $z>0_$
[mm] $P(Z^2\le z)=P(Z\le\sqrt{z})=F_Z(\sqrt{z})$
[/mm]
Leite nun nach $z_$ ab.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mo 06.05.2013 | | Autor: | yangwar1 |
Das verstehe ich jetzt nichts. Worauf willst du hinaus und was meinst du mit [mm] F_Z?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Mo 06.05.2013 | | Autor: | luis52 |
Gut, noch ein Versuch.
Setze [mm] $Z=X^2+Y^2$. [/mm] Wir wissen, dass $Z_$ exponentialverteilt ist. Bezeichne die Verteilungsfunktion von $Z_$ mit [mm] $F_Z$. [/mm] Dann ist
[mm] $P\sqrt{Z}\le z)=P(Z\le z^2)=F_Z(z^2)=1-\exp(-z^2/2)$.
[/mm]
Leite nun nach $z_$ ab, dann erhaeltst du die Dichte von [mm] $\sqrt{X^2+Y^2}$.
[/mm]
vg Luis
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