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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Do 16.10.2014 | | Autor: | Lucas95 |
| Aufgabe | Gegeben sind die Gerade g(x)=[14,-1-1]+r*[-8,2,1] und die Ebene E durch die Punkte A(-2,5,2), B(2,3,0) und C(2,-1,2).
a) Stellen Sie die Parametergleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene E auf.
b) Prüfen Sie, ob der Punkt P(-2,3,1) auf der Geraden g(x) oder auf der Ebene E liegt.
c) Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von g(x) und E. Bestimmen Sie ggf. den Schnittpunkt S.
d) Bestimmen Sie die Schnittpunkte Q und R der Geraden g(x) mit der x-y-Ebene bzw. der y-z-Ebene.
e) In welchen Punkten schneiden die Koordinatenachsen die Ebene E?
f) Zeichnen Sie anhand der Ergebnisse aus c), d) und e) ein Schrägbild von g(x) und E. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe community,
die Aufgabe ist an sich nicht sehr schwer, ich habe jedoch ein paar kleine Sörglein. Vielleicht könnt ihr mir sagen ob ich richtig oder falsch liege? Wäre total lieb und ich hätte mehr Sicherheit.
a) Parametergleichung: [-2,5,2]+s*[4,-2,-2]+t*[4,-6,0]
dann habe ich die Normalengleichung aufgestellt, durch Kreuzprodukt der Richtungsverktoren
([x,y,z]-[-2,5,2])*[-12,-8,-16]=0
und daraus dann durch das Kreuzprodukt die Koordinatengleichung
-12*x-8*y-16*z=48
b) Bei der Ebene habe ich den Punkt P einfach in die Koordinatengleichung eingesetzt, also: -12*(2)-8*(3)-16*(1)=48?
-16 = 48 --> falsche Aussage, der Punkt liegt nicht auf der Ebene
Bei der Gerade habe ich es so gemacht:
[-2,3,1]=[14,-1,-1]+r*[-8,2,1] --> für r kommt 2 raus --> der Punkt P liegt auf der Geraden
c) Hier habe ich die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleichgesetzt und dann als Schnittpunkt S(2,2,1/2) herausbekommen.
d) mit x-y-Ebene bedeutet, dass z=0 sein muss
-->[x,y,0]=[14,-1,-1]+r*[-8,2,1] da habe ich für r=1 herausbekommen und der Punkt wäre Q(6,1,0)
mit der y-z-Ebene bedeutet, dass x=0 sein muss
-->[0,y,z]=[14,-1,-1]+r*[-8,2,1] da habe ich für r=7/4 herausbekommen und der Punkt wäre R(0,5/2,3/4)
e) Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen, hier habe ich ein Problem. Ich habe mit gedacht, wenn ich jetzt den Schnittpunkt mit der x-Koordinatenachse herausbekommen will, müssen y und z = 0 sein. Somit würde ich den Punkt Sx(4,0,0) erhalten.
Mit der y-Achse wäre es dann Sy(0,6,0) und mit der z-Achse Sz(0,0,3).
ich habe gerechnet: x-Achse: [x,0,0]=[-2,5,2]+s*[4,-2,-2]+t*[4,-6,0].
da kommt heraus t=1/2 s=1 x=4. Für die anderen Achsen habe ich dies auch gemacht.
Stimmt mein Rechenweg oder ist das falsch in Bezug auf die Koordinatenachsen?
Ich habe nämlich ein Problem bei
f) als ich die Ebene nach den Punkten A,B,C zeichnete, stellte ich fest, dass diese nicht die Koordinatenachsen an den von mir ausgerechneten Punkten schneidet. Ist das nun falsch? Wenn ich die Werte von e) nehme ergibt sich eine andere Ebene. Ist das trotzdem richtig? Ich verzweifle irgendwie an diesen beiden Teilaufgaben.
Wäre echt toll, wenn mir jemand helfen könnte, Liebe Grüße, Lucas!! (:
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> Gegeben sind die Gerade g(x)=[14,-1-1]+r*[-8,2,1] und die
> Ebene E durch die Punkte A(-2,5,2), B(2,3,0) und
> C(2,-1,2).
> a) Stellen Sie die Parametergleichung und eine
> Koordinatengleichung der Ebene E auf.
> b) Prüfen Sie, ob der Punkt P(-2,3,1) auf der Geraden
> g(x) oder auf der Ebene E liegt.
> c) Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von g(x) und E.
> Bestimmen Sie ggf. den Schnittpunkt S.
> d) Bestimmen Sie die Schnittpunkte Q und R der Geraden
> g(x) mit der x-y-Ebene bzw. der y-z-Ebene.
> e) In welchen Punkten schneiden die Koordinatenachsen die
> Ebene E?
> f) Zeichnen Sie anhand der Ergebnisse aus c), d) und e)
> ein Schrägbild von g(x) und E.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Liebe community,
> die Aufgabe ist an sich nicht sehr schwer, ich habe jedoch
> ein paar kleine Sörglein. Vielleicht könnt ihr mir sagen
> ob ich richtig oder falsch liege? Wäre total lieb und ich
> hätte mehr Sicherheit.
>
> a) Parametergleichung: [-2,5,2]+s*[4,-2,-2]+t*[4,-6,0]
> dann habe ich die Normalengleichung aufgestellt, durch
> Kreuzprodukt der Richtungsverktoren
> ([x,y,z]-[-2,5,2])*[-12,-8,-16]=0
> und daraus dann durch das Kreuzprodukt die
> Koordinatengleichung
> -12*x-8*y-16*z=48
Hallo,
fast gut.
Es muß aber heißen [mm] -12*x-8*y-16*z=\red{-}48.
[/mm]
>
> b) Bei der Ebene habe ich den Punkt P einfach in die
> Koordinatengleichung eingesetzt,
Das ist richtig.
> also:
> -12*(2)-8*(3)-16*(1)=48?
> -16 = 48 --> falsche Aussage, der Punkt liegt nicht auf der
> Ebene
Du bekommst jetzt -16=-48,
die Folgerung, daß der Punkt nicht in der Ebene liegt, stimmt.
>
> Bei der Gerade habe ich es so gemacht:
> [-2,3,1]=[14,-1,-1]+r*[-8,2,1]
richtig.
--> für r kommt 2 raus -->
> der Punkt P liegt auf der Geraden
stimmt.
>
> c) Hier habe ich die Geradengleichung mit der
> Ebenengleichung gleichgesetzt und dann als Schnittpunkt
> S(2,2,1/2) herausbekommen.
Hab' ich auch.
>
> d) mit x-y-Ebene bedeutet, dass z=0 sein muss
> -->[x,y,0]=[14,-1,-1]+r*[-8,2,1] da habe ich für r=1
> herausbekommen und der Punkt wäre Q(6,1,0)
Ja.
>
> mit der y-z-Ebene bedeutet, dass x=0 sein muss
> -->[0,y,z]=[14,-1,-1]+r*[-8,2,1] da habe ich für r=7/4
> herausbekommen und der Punkt wäre R(0,5/2,3/4)
Ja.
>
> e) Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen, hier habe ich
> ein Problem. Ich habe mit gedacht, wenn ich jetzt den
> Schnittpunkt mit der x-Koordinatenachse herausbekommen
> will, müssen y und z = 0 sein. Somit würde ich den Punkt
> Sx(4,0,0) erhalten.
> Mit der y-Achse wäre es dann Sy(0,6,0) und mit der
> z-Achse Sz(0,0,3).
> ich habe gerechnet: x-Achse:
> [x,0,0]=[-2,5,2]+s*[4,-2,-2]+t*[4,-6,0].
> da kommt heraus t=1/2 s=1 x=4. Für die anderen Achsen habe
> ich dies auch gemacht.
> Stimmt mein Rechenweg oder ist das falsch in Bezug auf die
> Koordinatenachsen?
Es ist richtig.
> Ich habe nämlich ein Problem bei
> f) als ich die Ebene nach den Punkten A,B,C zeichnete,
s.u.
> stellte ich fest, dass diese nicht die Koordinatenachsen an
> den von mir ausgerechneten Punkten schneidet. Ist das nun
> falsch?
Wenn ich mich nicht vertan habe, hast Du bisher (fast) alles richtig gerechnet.
Wahrscheinlich ist Deine Zeichnung irgendwie verunglückt.
Wie wolltest Du die Schnittpunkte mit den Achsen überhaupt ablesen? Ja wohl nicht aus dem Dreieck ABC?
Wenn man eine Ebene ins Koordinatensystem einzeichnet, markiert man die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und "spannt" sie dazwischen.
(Dann sieht man sogar die Spurgeraden.)
> Wenn ich die Werte von e) nehme ergibt sich eine
> andere Ebene. Ist das trotzdem richtig?
Ich kann's ja nur vermuten, weil ich's nicht sehe: die beiden Dreiecke sind verschieden, die Ebene aber mußte dieselbe sein.
Wie gesagt: richtig ist's, die Ebene in der Zeichnung zwischen die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu spannen.
> Ich verzweifle
> irgendwie an diesen beiden Teilaufgaben.
Zum Verzweifeln gibt's keinen Grund.
Du stehst recht gut da!
LG Angela
> Wäre echt toll, wenn mir jemand helfen könnte, Liebe
> Grüße, Lucas!! (:
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Do 16.10.2014 | | Autor: | Lucas95 |
Vielen Dank für die schnelle Antwort! Da bin ich ja erstmal beruhigt (:
Also zeichne ich jetzt bei f) das Dreieck ABC mit den gegebenen Punkten ein und die Gerade anhand des Ortsverktors und der errechneten Durchstoßpunkte von d) Q und R? und die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen wollte ich eigentlich eintragen, wie die anderen Punkte auch, aber die liegen dann halt außerhalb des Dreiecks ABC.
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> Also zeichne ich jetzt bei f) das Dreieck ABC mit den
> gegebenen Punkten ein
Nein.
Markiere die Schnittpunkte von E mit den Koordinatenachsen und zeichne dieses Dreieck ein. Du kannst es auch leicht anfärben mit einem Buntstift.
So zeichnet "man" Ebenen in räumliche Koordinatensysteme.
Zu Deiner persönlichen Beruhigung kannst Du noch A,B und C eintragen. Das Dreieck ABC brauchst Du - für nix.
Wenn Du es für Deinen Gemütszustand brauchst, strichele es halt ganz, ganz dünn.
> und die Gerade anhand des
> Ortsverktors und der errechneten Durchstoßpunkte von d) Q
> und R?
Markiere die Durchstoßpunkte und verbinde sie.
Dann hast Du alles, was Du brauchst.
Du hast sie berechnet, damit Du schön zeichnen kannst!
> und die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
> wollte ich eigentlich eintragen, wie die anderen Punkte
> auch, aber die liegen dann halt außerhalb des Dreiecks
> ABC.
Kein Wunder. Eine Ebene ist halt viel größer als so ein begrenztes Dreieck... Eine Ebene dehnt sich doch unendlich weit aus - da gibt's 'ne Menge Punkte außerhalb des Dreieckes ABC.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:09 Do 16.10.2014 | | Autor: | Lucas95 |
Vielen Dank! Alles ist nun klar ((;
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