Bi Funktoren (Hom & Tensor) < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Funktoren Hom(.,.) und [mm] .\otimes. [/mm] von beliebigen Kategorien in die Kategorie der abelschen Gruppen sind treue (Bi)Funktoren. |
Sind die auch voll?
Was sagt mir ein nur treuer / nur voller / treu & voller Funktor aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 So 26.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Die Funktoren Hom(.,.) und [mm].\otimes.[/mm] von beliebigen
> Kategorien in die Kategorie der abelschen Gruppen sind
> treue (Bi)Funktoren.
> Sind die auch voll?
> Was sagt mir ein nur treuer / nur voller / treu & voller
> Funktor aus?
treu = injektiv
voll = surjektiv
voll u. treu = bijektiv
FRED
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Also kann ich behaupten, dass der Hom und Tensorfunktor beide injektiv, aber nicht surjektiv sind.
Folglich, wegen der Definition von Ext und Tor, gilt das für diese auch!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:12 Di 28.02.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
Erstmal: um beliebige Kategorien wird es hier sicher nicht gehen, oder?! Erstens muss die Homomorphismenmenge in einer beliebigen Kategorie keine abelsche Gruppe sein, und zweitens macht das Tensorprodukt nur in manchen Kategorien Sinn!
Sprichst du vielleicht von Kategorien von $R$-Moduln, wobei $R$ ein Ring ist? Oder abelschen Kategorien? Oder sonstwas?
> Also kann ich behaupten, dass der Hom und Tensorfunktor
> beide injektiv, aber nicht surjektiv sind.
Vorsicht. Das injektiv/surjektiv/bijektiv bezieht sich auf die induzierten Abbildungen zwischen den Homomorphismenmengen! Diese sollen alle injektiv/surjektiv/bijektiv sein, wenn der Funktor treu/voll/volltreu ist.
Dass die Funktoren treu sind sagt dir also aus, dass die induzierten Abbildungen zwischen den Hom-Mengen injektiv sind. Daraus folgt aber noch lange nicht, dass sie auch alle nicht surjektiv sind! Sie koennen das durchaus mal sein. Muessen aber nicht. Das ist ein wichtiger Unterschied!
> Folglich, wegen der Definition von Ext und Tor, gilt das
> für diese auch!?
Also fuer [mm] $Ext^0$ [/mm] und [mm] $Tor_0$ [/mm] gilt es, da diese gerade dem Hom-Funktor bzw. dem Tensorprodukt-Funktor entsprechen. Fuer $n [mm] \ge [/mm] 1$ muss das fuer [mm] $Ext^n$ [/mm] bzw. [mm] $Tor_n$ [/mm] aber erstmal nicht gelten: sprich, du musst es da erst beweisen bzw. argumentieren dass es so ist.
Ob allerdings die urspruengliche Aussage (dass die Hom-/Tensor-Funktoren treu sind) so stimmt, da bin ich mir grad nicht so sicher. Sei $K$ ein Koerper (in dem $2 [mm] \neq [/mm] 0$ gilt) und betrachte die $K$-Moduln $A = B = C = D = K$, sowie die Homomorphismen [mm] $\varphi [/mm] : C [mm] \to [/mm] A$, $x [mm] \mapsto [/mm] 2 x$ und [mm] $\psi [/mm] : B [mm] \to [/mm] D$, $x [mm] \mapsto \frac{1}{2} [/mm] x$.
Dann sollte die induzierte Abbildung $Hom((A, B), (C, D)) [mm] \to Hom_{Ab}(Hom_K(A, [/mm] B), [mm] Hom_K(C, [/mm] D))$ ja injektiv sein. Jetzt ist jedoch [mm] $(\varphi, \psi)$ [/mm] nicht die Identitaet in $Hom((A, B), (C, D))$, jedoch ist das Bild von [mm] $(\varphi, \psi)$ [/mm] gleich der Identitaet in [mm] $Hom_{Ab}(Hom_K(A, [/mm] B), [mm] Hom_K(C, [/mm] D))$.
(Wenn ich mich gerade nicht vertue...)
LG Felix
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