Bijektion [0,1] auf [0,1) < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:46 Sa 02.07.2011 | | Autor: | karlkarl |
| Aufgabe | | Geben Sie eine Bijektion f:[0,1]->[0,1) an. |
Guten Abend,
ich suche eine Bijektion von [0,1]→[0,1). Leider funktioniert die Identität hier nicht. Auf was soll ich die 1 abbilden?
Ich beschäftige mich schon sehr lange mit dieser Aufgabe.
Hoffentlich kann mir jemand helfen, auch wenn es nur eine Idee ist.
Karl
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Bijektion-01-auf-01
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 Sa 02.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Karl!
> Geben Sie eine Bijektion f:[0,1]->[0,1) an.
> Guten Abend,
>
> ich suche eine Bijektion von [0,1]→[0,1). Leider
> funktioniert die Identität hier nicht. Auf was soll ich
> die 1 abbilden?
>
> Ich beschäftige mich schon sehr lange mit dieser Aufgabe.
>
> Hoffentlich kann mir jemand helfen, auch wenn es nur eine
> Idee ist.
Kennst du eine Bijektion von [mm] $\IN [/mm] = [mm] \{ 0, 1, 2, 3, \dots \}$ [/mm] nach [mm] $\{ 1, 2, 3, \dots \}$?
[/mm]
Und kannst du eine Bijektion von [mm] $\{ 0, 1, 2, 3, \dots, \} \cup \{ X, Y, Z \}$ [/mm] nach [mm] $\{ 1, 2, 3, 4, \dots \ } \cup \{ X, Y, Z \}$ [/mm] angeben?
Das gleiche Prinzip kannst du bei $[0, 1] [mm] \to [/mm] [0, 1)$ auch verwenden. Du musst nur [mm] $\{ 0, 1, 2, 3, 4, \dots \}$ [/mm] bzw. [mm] $\{ 1, 2, 3, 4, 5, \dots \}$ [/mm] durch eine passende Teilmenge von $[0, 1]$ bzw. $[0, 1)$ ersetzen.
(Falls du uebrigens ![[]](/images/popup.gif) Hilberts Hotel noch nicht kennst, sei dir dies als Stichwort gegeben  )
LG Felix
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Hallo Felix,
schön, dass man die weitaus überwiegende Zahl der
Gäste in diesem Hotel Real durch die Umordnungs-
aktion überhaupt nicht behelligen muss.
Ich nehme jedoch einmal an, dass Zimmer mit
einfachen rationalen Nummern wie z.B. [mm] \frac{1}{2^n} [/mm] (mit [mm] n\in\IN) [/mm]
günstiger als andere angeboten werden, weil in
ihnen die Wahrscheinlichkeit, durch derart lästige
Aktionen behelligt zu werden, allenfalls positiv ist.
Oder wird der Besitz einer einfachen Zimmernummer,
die man sich sogar merken kann, vielleicht schon
als so großer Vorteil betrachtet, dass man dabei
die Umzugsaktionen gerne in Kauf nimmt ?
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:59 So 03.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Al,
> schön, dass man die weitaus überwiegende Zahl der
> Gäste in diesem
> Hotel Real
> durch die Umordnungs-
> aktion überhaupt nicht behelligen muss.
> Ich nehme jedoch einmal an, dass Zimmer mit
> einfachen rationalen Nummern wie z.B. [mm]\frac{1}{2^n}[/mm] (mit
> [mm]n\in\IN)[/mm]
ich persoenlich finde die Zimmern mit den Nummern [mm] $\pi^{-n}$ [/mm] schoener. Eine voellig irrationale Entscheidung, ich weiss, aber nicht ganz unnatuerlich.
Als [mm] $\TeX$-Fan [/mm] koennte man aber auch [mm] $\frac{1}{\pi_n}$ [/mm] nehmen, wobei [mm] $\pi_n [/mm] = [mm] 10^{-n} \lfloor 10^n \pi \rfloor$ [/mm] ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 So 03.07.2011 | | Autor: | karlkarl |
Meinst du die Teilmenge [mm] $\left\{ \frac1{2^n}~|~ n\in\mathbb N \right\} \subset [/mm] [0,~1]$ ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 So 03.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Meinst du die Teilmenge [mm]\left\{ \frac1{2^n}~|~ n\in\mathbb N \right\} \subset [0,~1][/mm]
> ?
ja, die meint er.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 So 03.07.2011 | | Autor: | karlkarl |
Hmm,
Ich soll also [mm] \{0,1,2,3,4,...\} [/mm] durch eine Teilmenge von [0,1] und [mm] \{1,2,3,4,...\} [/mm] durch eine Teilmenge von [0,1) ersetzen?
Dann nehme ich die zuvor genannte Teilmenge (sie ist aber Teilmenge von [0,1] und [0,1).)
Wie soll man dann weitermachen?
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> Hmm,
> Ich soll also [mm]\{0,1,2,3,4,...\}[/mm] durch eine Teilmenge von
> [0,1] und [mm]\{1,2,3,4,...\}[/mm] durch eine Teilmenge von [0,1)
> ersetzen?
>
> Dann nehme ich die zuvor genannte Teilmenge (sie ist aber
> Teilmenge von [0,1] und [0,1).)
>
> Wie soll man dann weitermachen?
Bilde 1 auf [mm] \frac{1}{2} [/mm] ab, [mm] \frac{1}{2} [/mm] auf [mm] $\frac{1}{4}$ [/mm] , [mm] $\frac{1}{4}$ [/mm] auf [mm] $\frac{1}{8}$ [/mm] , etc. und alle übrigen
Zahlen des Intervalls auf sich selbst.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:27 So 03.07.2011 | | Autor: | karlkarl |
Aha,
dann definiere ich
$A:= [mm] \left\{ \frac1{2^n}~|~ n\in\mathbb N \right\} [/mm] $ , wobei [mm] $0\notin\mathbb [/mm] N$, also [mm] $A=\left\{\frac12,\ \frac14,\ \frac18,\ \cdots \right\}$.
[/mm]
Nun werden alle Elemente aus $A$ auf das nächste Element in der unendlichen Menge $A$, also die Hälfte, abgebildet.
Zusammenfassend:
[mm] $f(x)=\begin{cases} \frac{x}{2}, & \mbox{wenn } x\in A \\ x, & \mbox{wenn } x\notin A\end{cases}$.
[/mm]
Ich hoffe, das ist soweit richtig.
Danke für die Hilfe :)
Karl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 So 03.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Karl!
> Aha,
> dann definiere ich
> [mm]A:= \left\{ \frac1{2^n}~|~ n\in\mathbb N \right\}[/mm] , wobei
> [mm]0\notin\mathbb N[/mm], also [mm]A=\left\{\frac12,\ \frac14,\ \frac18,\ \cdots \right\}[/mm].
>
> Nun werden alle Elemente aus [mm]A[/mm] auf das nächste Element in
> der unendlichen Menge [mm]A[/mm], also die Hälfte, abgebildet.
>
> Zusammenfassend:
> [mm]f(x)=\begin{cases} \frac{x}{2}, & \mbox{wenn } x\in A \\ x, & \mbox{wenn } x\notin A\end{cases}[/mm].
>
> Ich hoffe, das ist soweit richtig.
Jetzt hast du eine Bijektion $[0, 1] [mm] \to [/mm] [0, 1] [mm] \setminus \{ \frac{1}{2} \}$. [/mm] Ganz passt es also noch nicht 
(Du musst nur deine Menge $A$ ein klitzekleines bisschen aendern.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 So 03.07.2011 | | Autor: | karlkarl |
Aha, ich bildete also auf [mm] $[0,1]\setminus\left\{ \frac12 \right\}$ [/mm] ab, ich wollte auf [mm] $[0,1]\setminus \{1\}$.
[/mm]
Dann muss ich also die Menge $A$ um [mm] $\left{1\right}$ [/mm] erweitern:
Also: $ A:= [mm] \left\{ \frac1{2^n}~|~ n\in\mathbb N_0 \right\} [/mm] $ , wobei [mm] $0\in\mathbb N_0$.
[/mm]
Dann ist $ [mm] A=\left\{1,\ \frac12,\ \frac14,\ \frac18,\ \cdots \right\} [/mm] $.
Und die Abbildung ist folgende:
$ [mm] f(x)=\begin{cases} \frac{x}{2}, & \mbox{wenn } x\in A \\ x, & \mbox{wenn } x\notin A\end{cases} [/mm] $.
Also:
[mm] $f(1)=\frac12$
[/mm]
[mm] $f\left(\frac12\right)=\frac14$
[/mm]
[mm] $f\left(\frac14\right)=\frac18$
[/mm]
...
Ist es nun richtig?
VIELEN DANK :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 So 03.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Aha, ich bildete also auf [mm][0,1]\setminus\left\{ \frac12 \right\}[/mm]
> ab, ich wollte auf [mm][0,1]\setminus \{1\}[/mm].
>
> Dann muss ich also die Menge [mm]A[/mm] um [mm]\left{1\right}[/mm]
> erweitern:
> Also: [mm]A:= \left\{ \frac1{2^n}~|~ n\in\mathbb N_0 \right\}[/mm]
> , wobei [mm]0\in\mathbb N_0[/mm].
>
> Dann ist [mm]A=\left\{1,\ \frac12,\ \frac14,\ \frac18,\ \cdots \right\} [/mm].
>
> Und die Abbildung ist folgende:
> [mm]f(x)=\begin{cases} \frac{x}{2}, & \mbox{wenn } x\in A \\ x, & \mbox{wenn } x\notin A\end{cases} [/mm].
>
> Also:
> [mm]f(1)=\frac12[/mm]
> [mm]f\left(\frac12\right)=\frac14[/mm]
> [mm]f\left(\frac14\right)=\frac18[/mm]
> ...
>
> Ist es nun richtig?
ja, jetzt passt es :)
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 So 03.07.2011 | | Autor: | karlkarl |
OK,
Vielen Dank für deine Hilfe :)
Karl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:00 So 03.07.2011 | | Autor: | karlkarl |
Hallo,
> Kennst du eine Bijektion von [mm]\IN = \{ 0, 1, 2, 3, \dots \}[/mm]
> nach [mm]\{ 1, 2, 3, \dots \}[/mm]?
Ja, die wäre [mm]f(x)=x+1[/mm].
> Und kannst du eine Bijektion von [mm]\{ 0, 1, 2, 3, \dots, \} \cup \{ X, Y, Z \}[/mm]
> nach [mm]\{ 1, 2, 3, 4, \dots \} \cup \{ X, Y, Z \}[/mm] angeben?
Ich gehe davon aus, dass [mm]X,Y,Z\not\in\mathbb N[/mm].
Dann könnte man eine Fallunterscheidung angeben, dass [mm]X,Y,Z[/mm] fest bleiben (identische Abbildung) und die natürlichen Zahlen wie oben abgebildet werden:
[mm]g(x)=\begin{cases} x+1, & \mbox{für } x \in\mathbb N \\ x, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
> Das gleiche Prinzip kannst du bei [mm][0, 1] \to [0, 1)[/mm] auch
> verwenden. Du musst nur [mm]\{ 0, 1, 2, 3, 4, \dots \}[/mm] bzw. [mm]\{ 1, 2, 3, 4, 5, \dots \}[/mm]
> durch eine passende Teilmenge von [mm][0, 1][/mm] bzw. [mm][0, 1)[/mm]
> ersetzen.
Hmmm, hier wüsste ich nicht, welche Teilmenge ich von [mm][0, 1][/mm] bzw. [mm][0, 1)[/mm] betrachten sollte.
Vielleicht alle rationalen Zahlen, irrationalen Zahlen in diesem Intervall (?)
> (Falls du uebrigens
> Hilberts Hotel
> noch nicht kennst, sei dir dies als Stichwort gegeben
> )
Hilberts Hotel kenne ich :)
Vielen Dank für deine Hilfe !
Karl
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> > Das gleiche Prinzip kannst du bei [mm][0, 1] \to [0, 1)[/mm] auch
> > verwenden. Du musst nur [mm]\{ 0, 1, 2, 3, 4, \dots \}[/mm] bzw. [mm]\{ 1, 2, 3, 4, 5, \dots \}[/mm]
> > durch eine passende Teilmenge von [mm][0, 1][/mm] bzw. [mm][0, 1)[/mm]
> > ersetzen.
> Hmmm, hier wüsste ich nicht, welche Teilmenge ich von [mm][0, 1][/mm]
> bzw. [mm][0, 1)[/mm] betrachten sollte.
> Vielleicht alle rationalen Zahlen, irrationalen Zahlen in
> diesem Intervall (?)
Hallo Karl,
schau dir nochmal meine Mitteilung Hotel Real an.
Dort habe ich quasi schon ein mögliches Rezept verraten ...
LG Al-Chw.
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![[]](http://www.hotelreal.es/img/foto_hotel_real.jpg){kind=small}
Hotel Real