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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Do 11.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
| Aufgabe | Gibt es:
1. eine bijektive Abbildung [mm] \IN\to\IZ?
[/mm]
2. für [mm] n\in\IN [/mm] eine bijektive Abbildung [mm] \IN\to\IN\times\{1,...,n\}?
[/mm]
3. eine bijektive Abbildung [mm] \IN\to\IN\times\IN?
[/mm]
4. eine bijektive ABbildung [mm] \IN\to\IQ? [/mm] |
Hallo,
intuitiv würde man erst einmal alles bejahen, ich habe allerdings einige Probleme, das auch zu zeigen.
1. Ist noch recht simpel, zum Beispiel erfüllt [mm] f:\IN\to\IZ, n\mapsto{f(n)}:=\begin{cases} \frac{n}{2}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \frac{1-x}{2}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases} [/mm] das Geforderte, Bijektivität lässt sich leicht nachprüfen.
2. Hier fangen die Probleme an. Intuitiv klar ist, dass wenn [mm] f:\IN\times\{1,...,n\}\to\IN, (m,k)\mapsto(m-1)n+k [/mm] gilt, [mm] f^{-1}: [/mm] das Geforderte erfüllt. Aber ich schaffe es weder, [mm] f^{-1}:\IN\to\IN\times\{1,...,n\} [/mm] anzugeben, noch die Bijektivität nachzuprüfen.
3. Hier ließe sich etwas derartiges konstruieren: [mm] f:\IN\times\IN\to\IN\times\IN, (m,k)\mapsto(m+k,m) [/mm] und dann [mm] g:\IN\times\IN\to\IN, [/mm] $g((2,1)):=1$, für [mm] m+k\not=2 [/mm] g(m+k,1):=g(m+k-1,m+k-2) und für [mm] m\not=1 [/mm] g(m+k,m):=g(m+k,m-1). Dann müsste [mm] (g\circ{}f)^{-1}:\IN\to\IN\times\IN [/mm] das Geforderte erfüllen. Allerding hätte ich hier noch weniger Ideen, wie Bijektivität zu beweisen wäre oder die Funktion anzugeben.
4. Wenn man 3 hätte, könnte man [mm] \IQ^+ [/mm] als (n,m) Tupel darstellen und [mm] \IQ [/mm] als (n,m,1) bzw. (n,m,-1) Tupel, aber dann wären immer noch viele Elemente doppelt.
Kann mir jemand helfen?
Oder ist bei einer solchen Aufgabe gar nicht gefordert, selber etwas zu konstruieren? Sie stammt aus dem Bosch...
Viele Grüße
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Zu 2: Du musst [mm] f^{-1} [/mm] nicht angeben. Wenn f bijektiv ist, gibt es [mm] f^{-1} [/mm] und [mm] f^{-1} [/mm] ist auch bijektiv. Eine Abbildung ist bijektiv, genau dann wenn sie surjektiv und injektiv ist. Zur Surjektivität: Zu N [mm] \in \IN [/mm] musst du also (m, k) [mm] \in \IN \times \{1, \ldots, n\} [/mm] finden mit N = f(m,k). Dazu kannst du mal den Modulo-Operator versuchen. Zur Inkejktivität: Für [mm] f(m_1, k_1) [/mm] = [mm] f(m_2, k_2) [/mm] musst du zeigen, dass [mm] m_1 [/mm] = [mm] m_2 [/mm] und [mm] k_1 [/mm] = [mm] k_2. [/mm] Du kannst zeigen, dass entweder [mm] (m_1 [/mm] = [mm] m_2 [/mm] und [mm] k_1 [/mm] = [mm] k_2) [/mm] oder [mm] (m_1 \not= m_2 [/mm] und [mm] k_1 \not= k_2) [/mm] gilt. Letzteren Fall kannst du mit den Tatsachen 1 [mm] \le m_1, m_2 [/mm] und 1 [mm] \le k_1, k_2 \le [/mm] n zum Widerspruch führen.
Zu 4: Schau mal auf ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia
Zu 3: Argument aus 4 modifizieren.
Zur letzten Frage: Du musst nichts konstruieren, nur Existenz zeigen und Bijektivität. Aber Konstruieren ist natürlich ein guter Weg, Existenz zu zeigen :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Do 11.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo,
> Zu 2: Du musst [mm]f^{-1}[/mm] nicht angeben. Wenn f bijektiv ist,
> gibt es [mm]f^{-1}[/mm] und [mm]f^{-1}[/mm] ist auch bijektiv. Eine Abbildung
> ist bijektiv, genau dann wenn sie surjektiv und injektiv
> ist. Zur Surjektivität: Zu N [mm]\in \IN[/mm] musst du also (m, k)
> [mm]\in \IN \times \{1, \ldots, n\}[/mm] finden mit N = f(m,k). Dazu
> kannst du mal den Modulo-Operator
Mit so etwas habe ich noch nicht zu tun gehabt. Eine solche Aufgabe wird doch sicher lösbar sein mit Mitteln, die im Buch schon eingeführt sind, oder?
> versuchen. Zur
> Inkejktivität: Für [mm]f(m_1, k_1)[/mm] = [mm]f(m_2, k_2)[/mm] musst du
> zeigen, dass [mm]m_1[/mm] = [mm]m_2[/mm] und [mm]k_1[/mm] = [mm]k_2.[/mm] Du kannst zeigen,
> dass entweder [mm](m_1[/mm] = [mm]m_2[/mm] und [mm]k_1[/mm] = [mm]k_2)[/mm] oder [mm](m_1 \not= m_2[/mm]
> und [mm]k_1 \not= k_2)[/mm] gilt. Letzteren Fall kannst du mit den
> Tatsachen 1 [mm]\le m_1, m_2[/mm] und 1 [mm]\le k_1, k_2 \le[/mm] n zum
> Widerspruch führen.
Sorry, ich habs gerade wirklich versucht, aber ich komme nicht drauf. Kannst du mir vielleicht noch einen Tipp zur Vorgehensweise geben?
> Zu 4: Schau mal auf
> Wikipedia
>
> Zu 3: Argument aus 4 modifizieren.
Was man dort bei Wikipedia findet, sieht mir nur nach einer zeichnerischen Lösung aus. Kann das nicht mit meinen (sehr beschränkten) Mitteln argumentativ beweisen?
> Zur letzten Frage: Du musst nichts konstruieren, nur
> Existenz zeigen und Bijektivität. Aber Konstruieren ist
> natürlich ein guter Weg, Existenz zu zeigen :)
Vielen Dankl scon mal für die Hilfe und
Viele Grüße
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Hallo Axiom96,
ich habe jetzt die Wikipedia-Links nicht angesehen und es kann sein, dass ich etwas wiederhole.
Tatsache ist: sämtliche Abbildungen haben das Urbild [mm] \IN. [/mm] Um dann Bijektivität nachzuweisen, genügt es vollkommen, die Bildmenge in eine klar definierte Reihenfolge zu bringen, die gewährleistet, dass jedes Element des Bildes genau einmal vorkommt.
Kennst du schon Hilberts Hotel? Das ist eine nette GEschichte, nach deren Lektüre dir insbesondere die Aufgaben 3 und 4 sofort klar sein dürften.
Gruß, Diophant
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