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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:41 Fr 08.10.2004 | | Autor: | nitro1185 |
Hallo!!Wie gehts euch?
Habe für mein proseminar einige aufgaben bekommen und wollte fragen od diese aufgabe richtig gelöst wurde von mir??
Also: f: [mm] N\timesN----->N\{0} (a,b)--->2^{a}*(2b+1)
[/mm]
So ich soll zeigen ob diese Abbildung injektiy,surjektiv oder bijektiv ist!!!
Surjektiv: eine Funktion ist Surjektiv,wenn [mm] "im(f)=N\{0}"!!!Also [/mm] jedem paar (a,b) wird ein element [mm] x\in N\{0} [/mm] zugeordnet!!!!
So [mm] im(f):=f(N\timesN)={f(x)\inN/x\in(N\timesN)} [/mm] das müsste stimmen!!!
ich weiß,dass a und b [mm] \in [/mm] N und dass jedem paar eine Natüliche Zahl zugeordent wird,außer 0,denn [mm] 2^{0}=1
[/mm]
also entspricht die Wertemenge dieser Funktion der Menge N,oder??
Injektiv??: Eine Funktion ist injektiv,wenn x=y und somit f(x)=f(y) oder
[mm] x\niy [/mm] und [mm] f(x)\ni [/mm] f(y)!!!
x und y sind in dem Fall Paare (a,b)=> Wenn [mm] (a,b)\ni [/mm] (b,a) so ist
[mm] f((a,b))\ni [/mm] f((b,a))!!!
[mm] f((a,b))=2^{a}*(2b+1)
[/mm]
[mm] f((b,a))=2^{b}*(2b+1)
[/mm]
=> [mm] 2^{a}*(2b+1)\ni 2^{b}*(2b+1) [/mm] oder???
mfg daniel
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 17:53 Fr 08.10.2004 | | Autor: | nitro1185 |
Sorry keine Ahnung was mit dem Formeleditor los ist  !!!
Also: f: N [mm] \times [/mm] N ------> [mm] N\{0}
[/mm]
a --------> [mm] 2^{a}*(2b+1)
[/mm]
Das ist die Funktion!!!
im(f)= [mm] N\{0}
[/mm]
im(f)= f(N [mm] \times [/mm] N) so muss es heißen!!!
mein gott hab ja alles falsch geschrieben!!!
im(f)= { f(x) / x [mm] \in [/mm] N [mm] \times [/mm] N }
und wenn x [mm] \not= [/mm] y ,dann gilt: f(x) [mm] \not= [/mm] f(y)
und wenn (a,b) [mm] \not= [/mm] (b,a) dann gilt: f((a,b)) [mm] \not= [/mm] f((b,a))
hoffe das stimmt jetzt
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Hallo nitro,
Ich hab leichte Verständnisprobleme, weil du für mich sehr konfus schreibst. Vielleicht gelingt es mir, dir trotzdem behilflich sein zu können.
Du hast richtig erkannt, dass die 0 nicht in der Bildmenge von f liegt. Deine Begründung ist auch richtig. Es wäre aber schön, wenn du es noch etwas ordentlicher auf Papier bringen könntest (vielleicht ohne den Formeleditor, wenn der spinnt).
Ich nehme an, bei N gehört die Null nicht dazu. In dem Fall kannst du sogar die Bildmenge der Funktion exakt angeben. Aber das gehört wohl nicht zur Aufgabe - also ist es wohl egal.
Bei der Injektivität zeigst du entweder, dass für (a,b) ungleich (c,d) auch deren Bilder ungleich sind, oder aber du zeigst, dass aus f(a,b) = f(c,d) folgt, dass (a,b) und (c,d) gleich sein müssen.
Ich verstehe nicht, was du mit (a,b) und (b,a) zu zeigen versuchst. Möchtest du die Injektivität damit widerlegen, oder was hilft dir diese spezielle Wahl der zwei Argumente?
Liebe Grüsse,
Irrlicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Fr 08.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Daniel!
Der Formeleditor spinnt nicht, sondern du hast ihn falsch benutzt.
Lies dir bitte mal diese Anleitung durch.
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Fr 08.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Daniel!
Also, wenn ich mich so durch den Quelltext kämpfe, dann gehe ich mal davon aus, dass du die Abbildung
$f: [mm] \begin{array}{ccc} \IN \times \IN & \to & \IN \setminus\{0\} \\[5pt] (a,b) & \mapsto & 2^a \cdot (2b+1) \end{array}$
[/mm]
meinst, wobei bei euch [mm] $\IN=\{0,1,2,3,\ldots,\}$ [/mm] ist, die $0$ also zu den natürlichen Zahlen dazugezählt wird (was eher unüblich ist).
Ist diese Abbildung surjektiv?
Hier musst du schauen, ob sich jede natürliche Zahl $n [mm] \ge [/mm] 1$ in der Form
$n = [mm] 2^a \cdot [/mm] (2b+1)$
mit $a,b [mm] \in \IN$ [/mm] schreiben lässt, denn dann gilt ja gerade $f((a,b)) = n$.
Um dies nachzuweisen, würde ich mir mal die Primfaktorzerlegung von $n$ anschauen. Es gilt doch für jede natürliche Zahl $n [mm] \in \IN \setminus\{0\}$:
[/mm]
$n =\ [mm] 2^{\omega_2(n)} \cdot\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\! \prod\limits_{p \, \mbox{\scriptsize prim und ungerade}}\!\!\!\!\!\!\! p^{\omega_p(n)}$,
[/mm]
mit [mm] $\omega_p(x) \in \IN$, [/mm] wobei alle bis auf endlich viele der Faktoren gleich $1$ sind (d.h. für alle bis auf endlich viele Primzahlen $p$ gilt: [mm] $\omega_p(n)=0$). [/mm]
Wie geht es nun weiter? Begründe mal, wie jetzt die Behauptung folgt.
Ist diese Abbildung injektiv?
Hier kannst du über Teilbarkeiten argumentieren. Warum folgt aus
[mm] $2^a \cdot [/mm] (2b+1) = [mm] 2^{a'} \cdot [/mm] (2b' + 1)$
unmittelbar $a=a'$?
Wir sind auf deine Versuche sehr gespannt.
Liebe Grüße
Stefan
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HALLO Stefan!!!
Diese Formel mit der Primfaktorenzerlegung ist mir neu und viell. denk ich ja auch ein bisschen zu kompliziert !!!
Wenn man in der formel [mm] w_{p}(n)=0 [/mm] einsetzt so kommt für viele n=1 oder??
=> 0 ist nicht iin unserer Wertemenge und deshalb ist die Funktion nicht surjektiv!!
Zum zweiten habe ich mir das zuvor so überlegt:
Wenn (a,b) [mm] \not= [/mm] (c,d) dann muss gelten: f((a,b)) [mm] \not= [/mm] f((c,d))!!das it ja klar!!!
f((a,b))= [mm] 2^{a}*(2b+1)
[/mm]
f((c,d))= [mm] 2^{c}*(2d+1)
[/mm]
Diese beiden Ausdrücke dürfen nicht gleich sein!!!Oder??
=> [mm] 2^{a}*(2b+1)=2^{c}*(2d+1)
[/mm]
Wenn diese Gleichung erfüllt sein soll so muss:
[mm] 2^{a}=2^{c} [/mm] => a=c f.A a [mm] \not= [/mm] c
2b+1=2d+1
b=d f.A b [mm] \not= [/mm] d
=> die funktion müsste injektiv sein!!
Grüße daniel PS: Wieso hast du eine Primfaktorenzerlegung gemacht???
Danke für eure Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Sa 09.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Daniel!
> Diese Formel mit der Primfaktorenzerlegung ist mir neu und
> viell. denk ich ja auch ein bisschen zu kompliziert
> !!!
Stell dir einfach die ganz normale Primfaktorenzerlegung aus der Unterstufe vor. Mehr ist das nicht.
> Wenn man in der formel [mm]w_{p}(n)=0[/mm] einsetzt so kommt für
> viele n=1 oder??
Das verstehe ich jetzt nicht. Was meinst du? Wenn [mm] $\omega_p(n)=0$ [/mm] ist, dann ist [mm] $p^{\omega_p(n)}=1$, [/mm] das ist richtig.
> => 0 ist nicht iin unserer Wertemenge und deshalb ist die
> Funktion nicht surjektiv!!
Nein, das ist falsch. $0$ ist nicht in der Wertemenge, das stimmt. Aber wir betrachten ja auch nur von vorneherein eine Funktion, die von [mm] $\IN \times \IN$ [/mm] nach [mm] $\IN \setminus \{0\}$ [/mm] abbildet. Von daher können wir gar nicht erwarten, dass auf die $0$ abgebildet wird (dann wäre die Funktion ja gar nicht wohldefiniert).
Sonst könnte ich ja auch sagen: Die Identität auf [mm] $\IR$ [/mm] ist nicht surjektiv, weil die imaginäre Einheit $i$ nicht im Wertebereich liegt. Klar, das ist Unsinn. Aber genauso hast du leider argumentiert. 
Du musst überprüfen, ob jede Zahl $n [mm] \in \IN \setminus \{0\}$ [/mm] im Wertebereich liegt. Ist dies der Fall, so ist die Funktion surjektiv. Ist dies nicht der Fall, dann ist die Funktion nicht surjektiv.
Und diese Überlegung wollte ich mit Hilfe der Primfaktorzerlegung führen. Deswegen habe ich sie angegeben.
> Zum zweiten habe ich mir das zuvor so überlegt:
> Wenn (a,b) [mm]\not=[/mm] (c,d) dann muss gelten: f((a,b)) [mm]\not=[/mm]
> f((c,d))!!das it ja klar!!!
Aha. Warum ist das klar?
> f((a,b))= [mm]2^{a}*(2b+1)
[/mm]
> f((c,d))= [mm]2^{c}*(2d+1)
[/mm]
>
> Diese beiden Ausdrücke dürfen nicht gleich sein!!!Oder??
>
> => [mm]2^{a}*(2b+1)=2^{c}*(2d+1)
[/mm]
>
> Wenn diese Gleichung erfüllt sein soll so muss:
>
> [mm]2^{a}=2^{c}[/mm]
Wie kommst du darauf? Diesen Schritt musst du ganz exakt begründen.
Versuche es bitte noch einmal. Beide Teil musst du noch einmal überarbeiten. Wenn du nicht klarkommst, rechnen wir es dir auch vor. Zunächst solltest du es aber noch einmal selber versuchen.
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo nitro,
Die Primfaktorzerlegung bräuchtest du nicht mal.
Du müsstest nur wissen, dass du eine ganze Zahl n als Produkt einer Zweierpotenz und einer ungeraden Zahl darstellen kannst. Du teilst n einfach solange durch 2 bis du eine ungerade Zahl herausbekommst. Hast du dabei r-mal durch 2 geteilt und dann die ungerade Zahl s herausbekommen, so ist $n = [mm] 2^r*s$. [/mm] Da s eine ungerade Zahl ist, kannst du s auch schreiben als $2*l + 1$.
Vielleicht ist dir diese Herangehensweise ja vertrauter als die Primfaktorzerlegung. :)
Ansonsten warte ich jetzt mal deinen Lösungsversuch ab.
Liebe Grüsse,
Irrlicht
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Hallo!Dabke für eure Vorschläge!!
Also zu 2tens:
Ist die Funktion injektiv: Bedingung: Wenn (a,b) [mm] \not= [/mm] (c,d) ,dann gilt:
f((a,b)) [mm] \not= [/mm] f((c,d)) oder umgekehrt: Wenn (a,b) = (c,d) dann gilt:
f((a,b)) = f((c,d))!!!!
f((a,b))= [mm] 2^{a}*(2b+1) [/mm] a,b,c,d [mm] \in [/mm] N
f((c,d))= [mm] 2^{c}*(2d+1) [/mm]
[mm] 2^{a}*(2b+1) \not= 2^{c}*(2d+1) [/mm] das muss erfüllt sein
Wenn [mm] 2^{a} \not= 2^{c} [/mm] und (2b+1) [mm] \not= [/mm] (2d+1) ,dann ist diese Gleichung erfüllt,oder???
[mm] 2^{a} \not= 2^{c} [/mm] => a [mm] \not= [/mm] c w.A laut DEF.
(2b+1) [mm] \not= [/mm] (2d+1) => b [mm] \not= [/mm] d w.A laut DEF.
=> Für a [mm] \not= [/mm] c und b [mm] \not= [/mm] d gilt: f((a,b)) [mm] \not= [/mm] f((c,d)) w.A
Zu 2.) Ist die Funktion surfektiv: Bedingung: [mm] im(f)=N\{0}
[/mm]
Für alle n [mm] \in [/mm] N ,wobie [mm] n=2^{a}*(2b+1) [/mm] a,b [mm] \in [/mm] N
wenn a,b [mm] \ni [/mm] N, so kommt für jedes n= [mm] 2^{a}*(2b+1) [/mm] auch n [mm] \in [/mm] N heraus und zwar ohne Null:
[mm] 2^{a}*(2b+1)=0
[/mm]
[mm] 2^{a}=0 [/mm] geht nicht
(2b+1)=0
b=-0,5 [mm] \not\in [/mm] N
Es gibt kein Paar (a,b) wofür [mm] n=2^{a}*(2b+1)=0!!!!
[/mm]
Mir wäre der Beweis von irrlicht nie eingefallen.Komme mir deswegen ein bisschen komisch vor :-(!!
Grüße daniel
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Hallo nitro,
> Ist die Funktion injektiv: Bedingung: Wenn (a,b) [mm]\not=[/mm]
> (c,d) ,dann gilt:
> f((a,b)) [mm]\not=[/mm] f((c,d)) oder umgekehrt: Wenn (a,b) = (c,d)
> dann gilt:
> f((a,b)) = f((c,d))!!!!
Diese Umkehrung ist falsch. Die Aussage "Aus A folgt B" ist mit der Aussage "Aus NichtB folgt NichtA" äquivalent, nicht mit "Aus NichtA folgt NichtB".
In deinem Fall ist A: "(a,b) [mm] \neq [/mm] (c,d)" und B: "f(a,b) [mm] \neq [/mm] f(c,d)".
Also ist die Aussage der Injektivität
"Aus (a,b) [mm] \neq [/mm] (c,d) folgt f(a,b) [mm] \neq [/mm] f(c,d)"
gleichbedeutend mit
"Aus f(a,b) = f(c,d) folgt (a,b) = (c,d)".
Wenn ich diesen Fehler in deinem nachfolgenden Satz korrigiere, dann hast du
> f((a,b))= [mm]2^{a}*(2b+1)[/mm] a,b,c,d [mm]\in[/mm] N
> f((c,d))= [mm]2^{c}*(2d+1)[/mm]
> [mm]2^{a}*(2b+1) \blue{=} 2^{c}*(2d+1)[/mm] das muss erfüllt sein
Daraus sollst du nun folgern, dass a = c und b = d ist. Wenn dir das gelingt, dann hast du die Injektivität der Funktion nachgewiesen. (Ein Tip dazu: Eine ungerade Zahl ist nicht durch 2 teilbar.)
Ich glaube, du meinst den Nachweis der Surjektivität schon richtig, doch leider steht es falsch da.
Ich gebe dir noch einen Fahrplan zum Nachweis der Surjektivität, den du ja mal versuchen kannst:
Nimm dir eine Zahl n aus dem Bildbereich. Erläutere jetzt, dass durch n zwei Zahlen r und s definiert sind, so dass [mm] $2^r*(2s [/mm] + 1) = n$ ist (du kannst es entweder mit Stefans Argumentation oder meiner machen, aber am schönsten natürlich in deinen eigenen Worten). Prüfe dann, ob f(r,s) = n ist.
Der letzte Punkt wäre die Wohldefiniertheit der Abbildung. Für diese zeigst du, dass für jedes Element (a,b) aus N x N, f(a,b) in N ohne der Null liegt.
Und die hast du, wie ich mich jetzt nochmal überzeugt habe, schon ordentlich nachgewiesen. Aber das ist die Wohldefiniertheit, nicht die Surjektivität.
Liebe Grüsse,
Irrlicht
PS.: Du brauchst dir nicht dumm vorzukommen. Jeder hat mal klein angefangen. Vergiss nicht, dass ich mein Studium schon beinahe hinter mir habe und du noch fast alles vor dir hast!
Schöne Signatur übrigens - gefällt mir.
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