Bijektiv im Mehrdimensionalen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Di 08.07.2014 | | Autor: | hilbert |
Hallo ich beschäftige mich mit einer eigentlich einfachen Aufgabe, aber leider steige ich voll nicht durch. Ich habe eine Abbildung f vom [mm] \mathbb{R}^n [/mm] ohne die Null in den gleichen Raum, definiert durch [mm] x\mapsto \frac{x}{|x|^r}. [/mm] Die Frage ist für welche rellen r diese Funktion bijektiv ist und wie die Umkehrfunktion aussieht.
Für r=1 ist es nicht bijektiv, das konnte ich zeigen. Aber wie kann ich weitermachen?
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Hallo,
was ist denn die Norm von f(x) (in Abhängigkeit von x)?
Was sollte die Umkehrabb. tun um zur ursprünglichen Norm zurückzukehren?
Anschauung dahinter: f ändert von x (als Vektor) nicht die Richtung, sondern staucht/streckt nur.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Di 08.07.2014 | | Autor: | hilbert |
Also die Norm von f sollte doch [mm] \frac{1}{|x|^{r-1}} [/mm] sein. Die umkehrfunktion sollte zu |x| übergehen. Also ist die umkehrabbildung [mm] x*|x|^{r-1}?
[/mm]
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> Also die Norm von f sollte doch [mm]\frac{1}{|x|^{r-1}}[/mm] sein.
> Die umkehrfunktion sollte zu |x| übergehen. Also ist die
> umkehrabbildung [mm]x*|x|^{r-1}?[/mm]
Die Norm von f(x) ist richtig. Die Umkehrabb. ist es nicht ganz. Rechne für deine Umkehrabb. mal [mm] $f\circ f^{-1}$ [/mm] bzw [mm] $f^{-1} \circ [/mm] f$ nach, dann solltest du die richtige Umkehrabb. sehen können.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:28 Mi 09.07.2014 | | Autor: | hilbert |
Also das r hab ich jetzt. Anschließend sollte ich noch das Differential von f und [mm] f^{-1} [/mm] bestimen. aber der Betrag ist doch gar nicht differenzierbar dachte ich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:35 Mi 09.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Also das r hab ich jetzt.
Und..., was hast Du raus ?
> Anschließend sollte ich noch das
> Differential von f und [mm]f^{-1}[/mm] bestimen. aber der Betrag ist
> doch gar nicht differenzierbar dachte ich?
Auf [mm] \IR^n \setminus \{0\} [/mm] ist er differenzierbar !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:53 Mi 09.07.2014 | | Autor: | hilbert |
Also ich hab raus [mm] 1-\frac{1}{1-r}.
[/mm]
Wie kann ich bei dem Differential denn f(x+h)-f(x) vernünftig berechnen? Das ist doch [mm] \frac{x+h}{|x+h|^r}-\frac{x}{|x|^r}=\frac{(x+h)|x|^r-x|x+h|^r}{|x(x+h)|^r}. [/mm] Wie komme ich da jetzt an einen linearen Teil?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 Mi 09.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Also ich hab raus [mm]1-\frac{1}{1-r}.[/mm]
Was soll das bedeuten ????
>
> Wie kann ich bei dem Differential denn f(x+h)-f(x)
> vernünftig berechnen? Das ist doch
> [mm]\frac{x+h}{|x+h|^r}-\frac{x}{|x|^r}=\frac{(x+h)|x|^r-x|x+h|^r}{|x(x+h)|^r}.[/mm]
> Wie komme ich da jetzt an einen linearen Teil?
Es ist doch
[mm] f(x_1,...,x_n)=(\bruch{x_1}{(x_1^2+...+x_n^2)^{r/2}},...,\bruch{x_n}{(x_1^2+...+x_n^2)^{r/2}})
[/mm]
Berechne davon die Jacobimatrix [mm] J_f(x_1,...,x_n) [/mm] in [mm] (x_1,...,x_n) \ne [/mm] (0,...,0)
FRED
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