Bijektive Funktion finden < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Mi 23.05.2007 | | Autor: | TRANSLTR |
| Aufgabe | | Finden sie eine bijektive Funktion, die die Menge ]0,1[ auf die Menge der reellen Zahlen abbildet. |
Also ich denke mal, man kann es wie eine Sonne, die auf die Menge ]0,1[ runterstrahlt und ihren Schatten bis zu dem "Endpunkt" der Menge reellen Zahlen abbildet, aber genauer kann ich es nicht sagen.
Kann jemand weiterhelfen? :-(
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Sonne? Sehr poetisch. Gefaellt mir.
Ich gebe dir mal einen Tipp: Arbeite mit dem Abstand eines Punktes [mm] $x\in[0,1]$ [/mm] zu den Intervallgrenzen. In Prosa ungefaehr so:
In $x=1/2$ soll die Funktion $0$ sein. Naehere ich $x$ von links $1$, soll die Funktion monoton gegen [mm] $\infty$ [/mm] gehen. Naehere ich $x$ von rechts kommend $0$ an, soll die Funktion monoton nach [mm] $-\infty$ [/mm] gehen. Wenn du nicht klar kommst, sag Bescheid
LG Kornfeld
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Mi 23.05.2007 | | Autor: | TRANSLTR |
Also wenn ich das richtig verstande habe, meinst du so etwas wie eine Parabel, die um 0.5 nach rechts verschoben ist, also (x - [mm] 0.5)^{2} [/mm] ein. Aber jetzt kommen ja die negativen Werte in [mm] \IR [/mm] ja gar nicht vor :S
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> Also wenn ich das richtig verstande habe, meinst du so
> etwas wie eine Parabel, die um 0.5 nach rechts verschoben
> ist, also (x - [mm]0.5)^{2}[/mm] ein.
Nein, ich meinte keine Parabel. ich meinte dass du mit den Abstaenden [mm] $\vert [/mm] x-1 [mm] \vert$ [/mm] und [mm] $\vert [/mm] x [mm] \vert$ [/mm] spielen solltest. Guck dir mal den Kehrwert von den Ausruecken an...Du musst allerdings noch ein wenig dran rumbasteln, damit auch eine bijektive Funktion dabei rauskommt. Probiere es mal. Und sag gegebenenfalls Bescheid.
Gruesse in die Schweiz, Kornfeld
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 Mi 23.05.2007 | | Autor: | TRANSLTR |
Uhm ok..ich glaube ich verstehe worauf du hinaus willst.
Mit der Funktion
f = [mm] \bruch{1}{|x|} [/mm] kann man von ]0,1[ alle grossen Zahlen bis "unendlich" erreichen. Die negativen Zahlen von [mm] \IR [/mm] sind ja immer noch nicht drin enthalten.
Oder kann man vielleicht einen kleinen Umweg machen, indem man zuerst beweist:
Mächtigkeit ]0,1[ = Mächtigkeit ]-0.5,0.5[
und dann
Mächtigkeit ]-0.5,0.5[ = Mächtigkeit [mm] \IR
[/mm]
Jetzt hätte man ja auch die negativen Zahlen drin!
Stimmt das überhaupt oder spekuliere ich wieder mal wild durcheinander?
PS: Grüsse an AC Milan :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:25 Do 24.05.2007 | | Autor: | mmj |
Hallo,
die Gedanken mit der Mächtigkeit kannst du dir ruhig machen. Du mußt aber eine Abbildung finden.
Ich halte es für keine schlechte Idee nochmal da anzufangen, wo du schon warst:
Deine [mm] \"' Sonne\"' [/mm] ist rund und hat einen Umfang von 2. Also füllen Strahlen von 0-1 einen halben Raum, oder auf eine entsprechend angeordnete Linie eine Strecke von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] +\infty [/mm] aus.
Das Ganze auf ein Blatt Papier gezeichnet, und ein paar geometrisch Überlegungen.
Uns schon kommst du auf deine Abbildung, die natürlich nur eine von Vielen möglichen ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Do 24.05.2007 | | Autor: | TRANSLTR |
Oke, das Problem habe ich jetzt gelöst. Danke für eure Hilfe! 
Dabei sind mir aber 2 weitere Fragen in den Sinn gekommen:
a) Wenn man die Menge ]0,1[ auf [mm] \IR [/mm] abbilden kann, ist es dann auch möglich, dass man alle Teilmengen auf [mm] \IR [/mm] abbilden kann?
Teilmenge wären z.B {0}, {0, 0.1}, {0.1}...etc...
b) Kann man dass auch als eine Abbildung von [mm] \infty^{\infty} [/mm] auf [mm] \infty [/mm] auffassen oder ist das nochmals etwas anderes?
c) Ist es möglich [mm] \IC [/mm] auf [mm] \IR [/mm] abzubilden? Dabei kann ja [mm] \IC [/mm] als eine Kugel angesehen und [mm] \IR [/mm] als die Gerade, die durch den Mittelpunkt der Kugel geht.
x-Achse: [mm] \IR
[/mm]
y-Achse: i (komplex)
z-Achse: [mm] \IR [/mm] + i
Nur habe ich jetzt mit der Abbildung Probleme. Bei mir werden versch. Punkte von [mm] \IC [/mm] auf [mm] \IR [/mm] übertragen.
Kann jemand irgendwo einen Ansatz geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 Fr 25.05.2007 | | Autor: | smarty |
Hi
was ist es denn mit [mm] z*\overline{z}=c
[/mm]
Aber bijektiv ist diese Abbildung nicht (soll sie das sein?)
Gruß
Smarty
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[mm] \IC [/mm] würde ich als einen Halb-Kreis ansehen und [mm] \IR [/mm] als die x-Achse.
Der Mittelpunkt diese Halb-Kreises liegt bei M(0|1) und er berührt die x-Achse in B(0|0).
Alle Geraden g durch M schneiden sowohl den Halb-Kreis als auch die x-Achse in genau einem Punkt.
Die Linie des Halb-Kreises entspricht dem Abschnitt 0 - 1.
Jedem Winkel [mm] \alpha [/mm] zwischen der y-Achse und einer der Geraden g kann man (Bogenmaß) einen Wert der Halb-Kreis-Skala (0 - 1) zuordnen.
(Funktion A)
Ebenso kann man mit dem Tangens auch jedem Winkel [mm] \alpha [/mm] einen Wert auf der x-Achse zuordnen.
[mm] \bruch{x}{1}=tan \alpha [/mm] (Funktion B)
Und nun noch die Zuordnung zwischen Funktion A und Funktion B herstellen!
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> Dabei sind mir aber 2 weitere Fragen in den Sinn gekommen:
> a) Wenn man die Menge ]0,1[ auf [mm]\IR[/mm] abbilden kann, ist es
> dann auch möglich, dass man alle Teilmengen auf [mm]\IR[/mm]
> abbilden kann?
> Teilmenge wären z.B {0}, {0, 0.1}, {0.1}...etc...
Endliche oder abzaehlbare Teilmengen lassen sich nie auf eine ueberabzaehlbare Teilmenge bijektiv abbilden. Das verbieten die unterschiedlichen Maechtigkeiten.
> b) Kann man dass auch als eine Abbildung von
> [mm]\infty^{\infty}[/mm] auf [mm]\infty[/mm] auffassen oder ist das nochmals
> etwas anderes?
Was meinst du mit [mm] $\infty^\infty$? [/mm] Meinst du vielleicht Maechtigkeiten? [mm] $\aleph_0$ [/mm] ist die Kardinalitaet abzaehlbarer Mengen, [mm] $\aleph_1$ [/mm] ist die Kardinalitaet von ueberabzaehlbaren Mengen der ersten Stufe, also [mm] $\IR$ [/mm] und eben auch [mm] $\IC$.
[/mm]
> c) Ist es möglich [mm]\IC[/mm] auf [mm]\IR[/mm] abzubilden?
Ja, ist moeglich. Ein einfacher Fall, eine Portion einer 2-dimensionalen Menge auf eine Portion einer 1-dimensionalen Menge bijektiv abbzubilden wurde schon von Cantor angegeben. Dabei zerlegt er das Intervall $[0,1]$ so geschickt, dass er jeder Ziffer einen Punkt in [mm] $[0,1]\times[0,1]$ [/mm] zuordnet. Diese Abbildung kann man nicht mehr zeichnen. Sie basiert auf der Dezimaldarstellung von reelen Zahlen.
Kornfeld
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