Bijektivität bei Tupel < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Prüfen Sie, ob folgende Abbildung bijektiv ist.
f : R x R [mm] \to [/mm] R x R, (x, y) [mm] \mapsto [/mm] (x - y, x + y) |
Diese Aufgabe wurde uns gegeben und ich verzweifle förmlich daran.
Das Problem liegt darin, dass ich das erste Mal wirklich richtig mit Tupel rechne. In der Schule hatten wir das nie gemacht und in der Uni wurde Wissen über Tupel vorausgesetzt.
Mittlerweile habe ich Tupel verstanden und wie man Bijektivität für f(x) beweist ist mir ebenso klar, aber wie stelle ich das bei Tupel an?
Ich habe mir überlegt, dass ich einfach so anfangen könnte:
Injektivität:
f(x1, y1) = f(x2,y2)
x1 = x2, y1=y2
Dann trenne ich das Tupel einfach in 2 Gleichungen auf:
--> 1. x1-y1 = x2-y2
--> 2. x1+y1 = x2+y2
Einzeln lässt sich durch ein Gegenbeispiel für beide Gleichungen schnell beweisen, dass sie nicht injektiv sind:
Für 1.
x1 = 1; y1 = 2
x2 = 2; y2=-1
--> Nicht injektiv
Für 2.
x1 = 3; y1 = 1
x2 = 1; y2=3
--> Nicht injektiv
Aber nach etwas überlegen ist mir aufgefallen, dass ich diese 2 Gleichungen ja wieder "verbinden" muss, denn es kann ja sein, dass wenn der eine Wert des Tupel nicht injektiv ist, es immer der andere Wert ist und umgekehrt, damit wäre die Funktion dann doch injektiv.
Kann mir also jemand Helfen bei dieser Aufgabe?
Ich verstehe gerade nicht wie genau ich das mit Tupeln angehen soll.
Ebenson wäre es nett, wenn ihr mir kurz erläuternt könntet, wie das dann für Surjektivität aussieht bzw. ein paar Tipps geben könntet.
Danke schon einmal im Voraus. :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Wir betrachten die Abbildung [mm]f\colon \IR²\to \IR²(x,y)\mapsto (x - y, x + y)[/mm].
Injektivität
Die Definition der Injektivität verlangt, dass aus [mm]f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2)[/mm] stets folgt [mm](x_1,y_1)=x_2,y_2) \iff x_1=x_2 \wedge y_1=y_2[/mm]. Mit anderen Wort stellt sich die Frage, ob du aus den gegebenen Gleichungen
[mm]x_1-y_1 = x_2-y_2[/mm] und [mm]x_1+y_1 = x_2+y_2[/mm] (*)
unmittelbar schlussfolgern kannst, dass stets [mm]x_1=x_2 [/mm] und [mm] y_1=y_2[/mm] gilt. Dabei musst du natürlich beide Gleichungen gemeinsam betrachten. Du fängst als bei [mm] $x_1=\ldots$ [/mm] an und landest durch Verwenden der beiden Gleichungen (*) hoffentlich bei [mm] $x_2$.
[/mm]
Surjektivität
Die Definition solltest du dir mal aufschreiben. Es stellt sich folgende Frage:
"Jemand knallt dir zwei reelle Zahlen $a,b$ auf den Tisch. Deine Aufgabe: Finde zwei Zahlen $x,y$, sodass $f(x,y)=(a,b)$ gilt."
Kannst du die Aufgabe für alle reellen Zahlen, die dir auf den Tisch geknallt werden, lösen, so ist die Funktion $f$ surjektiv. Du musst dir also ein Verfahren überlegen aus $a,b$ die Zahlen $x,y$ zu konstruieren.
Falls Zahlen auf dem Tisch liegen für die du nie $x,y$ finden kannst (da sie nicht existieren), so ist sie nicht surjektiv.
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