Bijektivität bei Unstetigkeit? < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Mo 14.04.2014 | | Autor: | Flubber |
Hallo! Mir ist neulich eine Frage gekommen, und da ich selbst noch keine Antwort finden konnte, dachte ich, ich frage einfach hier nach:
Können unstetige Funktionen bijektiv sein?
Voraussetzung für Bijektivität ist ja, dass die Funktion sowohl surjektiv als auch injektiv ist; dass jedes Element der Menge Y (wenn X in Y abgebildet wird) also zum Bild gehört und keines mehrfach angenommen wird. Das steht, so wie ich das sehe, nicht damit im Widerspruch, dass es Werte aus der Menge X geben kann, denen kein Y-Wert zugeordnet ist.
Allerdings soll sich aus der Bijektivität auch ergeben, dass die Mengen X und Y gleich groß sind, was bei einer solchen Unstetigkeit ja nicht mehr der Fall wäre. Gehört diese Aussage (dass beide Mengen gleich groß sind) mit zur Definition der Bijektivität? Und wenn nicht, kann eine unstetige Funktion dann bijektiv sein?
Ich hoffe, es ist mir gelungen, mich verständlich auszudrücken (und die Frage in dem richtigen Unterforum zu stellen) ...
... um zum Schluss noch meine Newbie-Pflicht zu tun: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
Es gibt keinen Zusammenhang zwischen Bijektivität und Stetigkeit. Die Identität ist stetig und bijektiv, die Betragsfunktion ist stetig aber nicht bijektiv, die Abrundungsfunktion ist keines von beidem, die Abbildung, welche alle Elemente außer null invertiert und null selbst fest lässt, ist bijektiv aber nicht stetig.
Jeweils bezüglich [mm] $\IR [/mm] $ mit der üblichen Topologie.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:07 Di 15.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo! Mir ist neulich eine Frage gekommen, und da ich
> selbst noch keine Antwort finden konnte, dachte ich, ich
> frage einfach hier nach:
> Können unstetige Funktionen bijektiv sein?
Ja: Sei f:[0,1] [mm] \to [/mm] [0,1] def. durch
f(x)=x für x [mm] \in [/mm] (0,1), f(0)=1 und f(1)=0.
>
> Voraussetzung für Bijektivität ist ja, dass die Funktion
> sowohl surjektiv als auch injektiv ist; dass jedes Element
> der Menge Y (wenn X in Y abgebildet wird) also zum Bild
> gehört und keines mehrfach angenommen wird. Das steht, so
> wie ich das sehe, nicht damit im Widerspruch, dass es Werte
> aus der Menge X geben kann, denen kein Y-Wert zugeordnet
> ist.
> Allerdings soll sich aus der Bijektivität auch ergeben,
> dass die Mengen X und Y gleich groß sind, was bei einer
> solchen Unstetigkeit ja nicht mehr der Fall wäre. Gehört
> diese Aussage (dass beide Mengen gleich groß sind) mit zur
> Definition der Bijektivität?
"gleich groß" wird mit Bijektivität definiert:
Sind X und Y Mengen, so nennt man sie gleichmächtig, wenn es eine Bijektion von X auf Y gibt.
FRED
> Und wenn nicht, kann eine
> unstetige Funktion dann bijektiv sein?
>
> Ich hoffe, es ist mir gelungen, mich verständlich
> auszudrücken (und die Frage in dem richtigen Unterforum zu
> stellen) ...
> ... um zum Schluss noch meine Newbie-Pflicht zu tun: Ich
> habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt.
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