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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Di 23.12.2008 | | Autor: | Suika |
| Aufgabe | Sei [mm] (P_i)_{i \in \mathbb{N}} [/mm] eine Folge, die alle Primzahlen injektiv aufzählt.
Jedes Tupel [mm] \overline{a} [/mm] = [mm] (a_1,...,a_k) \in \mathbb{N}^k [/mm] (k [mm] \in \mathbb{N}) [/mm] kann wie folgt auf eine natürliche Zahl abgebildet werden:
f: [mm] \overline{a} \mapsto p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot\cdot\cdot p_{k-1}^{a_{k-1}} \cdot p_k^{a_{k}+1}
[/mm]
Das leere Tupel [mm] \epsilon \in \mathbb{N}^0 [/mm] wird auf 1 abgebildet. Zeigen Sie, dass f: [mm] \mathbb{N}^{\*} \rightarrow \mathbb{N}^+ [/mm] injektiv und surjektiv ist. |
Hallo,
ich meine verstanden zu haben worum es in dieser Aufgabe geht.
Das Ganze ist ja so etwas ähnliches wie eine Primfaktorzerlegung.
Wenn ich nun sage, dass sich jede natürliche Zahl durch ein Produkt von Primzahlen darstellen lässt, habe ich damit die Surjektivität schon gezeigt oder muss noch etwas beachtet werden?
Wie kann ich die Injektivität zeigen?
Viele Grüße,
S.
P.S.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Di 23.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> Sei [mm](P_i)_{i \in \mathbb{N}}[/mm] eine Folge, die alle
> Primzahlen injektiv aufzählt.
> Jedes Tupel [mm]\overline{a}[/mm] = [mm](a_1,...,a_k) \in \mathbb{N}^k[/mm]
> (k [mm]\in \mathbb{N})[/mm] kann wie folgt auf eine natürliche Zahl
> abgebildet werden:
>
> f: [mm]\overline{a} \mapsto p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot\cdot\cdot p_{k-1}^{a_{k-1}} \cdot p_k^{a_{k}+1}[/mm]
>
> Das leere Tupel [mm]\epsilon \in \mathbb{N}^0[/mm] wird auf 1
> abgebildet. Zeigen Sie, dass f: [mm]\mathbb{N}^{\*} \rightarrow \mathbb{N}^+[/mm]
> injektiv und surjektiv ist.
> Hallo,
>
> ich meine verstanden zu haben worum es in dieser Aufgabe
> geht.
> Das Ganze ist ja so etwas ähnliches wie eine
> Primfaktorzerlegung.
Das IST die PFZ.
> Wenn ich nun sage, dass sich jede natürliche Zahl durch ein
> Produkt von Primzahlen darstellen lässt, habe ich damit die
> Surjektivität schon gezeigt oder muss noch etwas beachtet
> werden?
Surjektivität = Jede natürliche Zahl besitzt eine PFZ
> Wie kann ich die Injektivität zeigen?
Injektivität = Jede natürliche Zahl besitzt höchstens eine PFZ.
Um dies zu zeigen nimm an, du hättest zu einer natürlichen Zahl zwei Primfaktorzerlegungen, und zeige dass sie gleich sein müssen...
Gruß, Robert
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