Bijektivität für N x N < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geordnete Paare der Menge [mm] \IN [/mm] x [mm] \IN. [/mm]
D.h. [mm] \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] ={(i,j)| i,j [mm] \in \IN} [/mm] und definieren eine Abbildung f: [mm] \In x\In \to \IN [/mm] durch f(i,j):= [mm] \bruch{1}{2}(i+j)(i+j+1)+i [/mm] für alle (i,j) [mm] \in \INx\IN. [/mm]
Zeigen Sie, dass f bijektiv ist. |
Hallo,
ich weiß, dass eine Funktion bijektiv ist, wenn sie eine Umkehrfunktion hat. Leider weiß ich nicht, wie ich das beweisen soll (absolutes Neuland für mich). Reicht es für einen Beweis aus, wenn ich zeige, dass die obige Funktion eine Umkehrfunktion hat, und wenn ja, wie stelle ich das an?
Lieben Dank für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 So 16.10.2011 | | Autor: | Harris |
Hi!
Also für diese Funktion ist die Umkehrfunktion relativ schwer zu finden.
Bijektivität zeigt man normalerweise, indem man Injektivität und Surjektivität zeigt.
Vielleicht geht's mit dieser Darstellung leichter:
[mm] \sum_{i=0}^{x+y}i+y=f(x,y)
[/mm]
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Das heißt, um die Surjektivität zu zeigen, muss ich jetzt beweisen, dass jedem x mindestens ein y zugeordnet wird und für die Injektivität, dass jedem x maximal ein y zugeordnet wird? Hab ich das richtig verstanden?
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> Das heißt, um die Surjektivität zu zeigen, muss ich jetzt
> beweisen, dass jedem x mindestens ein y zugeordnet wird und
> für die Injektivität, dass jedem x maximal ein y
> zugeordnet wird? Hab ich das richtig verstanden?
Hallo Zero-Zero,
ich sehe nicht, was genau du mit x und y meinst. Bleiben
wir doch bei den gegebenen Bezeichnungen: Die Abbildung
f ist durch die Gleichung
$\ f(i,j):=\ [mm] \bruch{1}{2}(i+j)(i+j+1)+i [/mm] $
definiert. Zu zeigen ist:
1.) f ordnet jedem Paar [mm] (i,j)\in\IN^2 [/mm] eine bestimmte Zahl [mm] k=f(i,j)\in\IN [/mm] zu
2.) Ist eine beliebige Zahl [mm] k\in\IN [/mm] gegeben, so gibt es stets ein
und nur ein Paar [mm] (i,j)\in\IN^2 [/mm] mit f(i,j)=k
LG Al-Chw.
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1.) mach dir klar, wie die Menge [mm] \IN [/mm] definiert wurde (bevor
diese Aufgabe gestellt wurde)
2.) ich würde dir jedenfalls empfehlen, zunächst eine
kleine Tabelle einiger Werte von f(i,j) zu erstellen.
Daran ist gewissermaßen zu erkennen, "wie der Hase läuft"
(in Bezug auf die Aufgabenstellung).
LG Al-Chw.
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