Bijektivität/ gdw < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Mo 27.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Zeige:
[mm] $f\colon A\to B~\text{bijektiv}~\Leftrightarrow f(A\setminus E)=B\setminus f(E)~\forall~E\subseteq [/mm] A$ |
Moin, moin!
Kurze Frage:
Wenn ich die Rückrichtung per Widerspruch beweisen will, also annehme, f sei nicht bijektiv, reicht es dann anzunehmen, daß f nicht injektiv ist?
Ich habe mir das so gedacht: Eine Konjunktion verneint man doch so:
[mm] $\neg(A\wedge B)=\neg A\vee \neg [/mm] B$
Also übertragen auf die Aufgabe:
nicht bijektiv = [mm] $\neg(\text{injektiv}\wedge\text{surjektiv})=\neg~\text{injektiv}~\vee~\neg~\text{surjektiv}$
[/mm]
Also müsste es für den Widerspruchsbeweis doch ausreichend sein anzunehmen, daß f nicht injektiv ist?
Falls dem so ist, würde ich den Beweis (Rückrichtung)so führen:
Sei f nicht injektiv.
Dann gibt es [mm] $a,a'\in [/mm] A$ mit $f(a)=f(a'), [mm] a\neq [/mm] a'$.
Wähle [mm] $E:=\left\{a\right\}$.
[/mm]
[mm] $f(A\setminus E)=\left\{f(x)~|~x\in A\wedge a\notin E\right\}=\left\{f(x)~|~x\in A\wedge x\neq a\right\}$.
[/mm]
[mm] $B\setminus f(E)=B\setminus\left\{f(a)\right\}$.
[/mm]
Da $f(a')=f(a), [mm] a\neq [/mm] a'$, gilt dann doch
[mm] $f(a')\in f(A\setminus [/mm] E), [mm] f(a')\notin B\setminus\left\{f(a)\right\}=B\setminus\left\{f(a')\right\}$
[/mm]
Das ist doch aber ein Widerspruch zur Voraussetzung, daß die Identität für alle Teilmengen von A gilt.
(Die Hin-Richtung erarbeite ich mir gerade noch.)
Kann man das so machen?
Liebe Grüße und vielen Dank fürs Durchlesen!
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moin dennis,
Du willst sagen:
Bedingung gilt [mm] $\Rightarrow [/mm] f$ bijektiv
Du zeigst:
$f$ nicht injektiv [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Bedingung verletzt
drehst du das, was du gezeigt hast, um, so steht da:
Bedingung gilt [mm] $\Rightarrow [/mm] f$ injektiv.
Das heißt die Injektivität hast du so gezeigt, nicht aber die Surjektivität.
Dann kannst du jetzt natürlich fragen, woran das liegt:
$f$ bijektiv [mm] $\gdw [/mm] f$ inj. und surj. stimmt
Nun willst du zeigen:
Bedingung [mm] $\Rightarrow [/mm] f$ inj. und surj.
Drehst du das logisch um, so steht da:
$f$ nicht inj. oder $f$ nicht surj. [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Bedingung verletzt
Ganz richtig kannst du jetzt zeigen: gilt die linke Seite, so gilt auch die rechte und damit auch die ursprünglich gewünschte Aussage.
Das Problem dabei ist nur:
Die linke Seite könnte auch gelten, wenn $f$ nicht injektiv ist; nämlich wenn $f$ surjektiv ist.
Mit der Annahme, dass $f$ injektiv sei, hast du hier also eine nicht unerhebliche Einschränkung getroffen, die deinem ganzen logischen Konstrukt ein wenig schadet.
Du müsstest hier also zwei Fälle behandeln:
1. $f$ nicht injektiv
2. $f$ nicht surjektiv
Zeigst du, dass in beiden Fällen die Bedingung verletzt ist, so folgt wirklich das was du haben möchtest, denn egal ob $f$ nun injektiv und nicht surjektiv, surjektiv und nicht injektiv oder weder noch ist (das sind die drei Fälle, bei denen die linke Seite wahr wird), es folgt immer, dass die Bedingung verletzt ist.
Der Beweis für den ersten Punkt, also wenn $f$ nicht injektiv ist, hast du aber ganz richtig geführt.
Es fehlt also (wenn du diesen Weg weiter verfolgen möchtest) noch ein Beweis für ein nicht surjektives $f$ und schließlich natürlich die Rückrichtung.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Mo 27.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Dankesehr für Deine Antwort.
Sei f nicht surjektiv.
Das bedeutet es gibt ein [mm] $b\in [/mm] B$, für das es kein [mm] $a\in [/mm] A$ gibt mit $f(a)=b$.
Ich habe mir überlegt, daß man dann $E:=A$ nehmen könnte.
[mm] $B\setminus f(A)=B\setminus\left\{f(x)~|~x\in A\right\}$
[/mm]
[mm] $f(A\setminus A)=f(\emptyset)=\emptyset$.
[/mm]
Dann ist das oben erwähnte Element b Element von [mm] $B\setminus\left\{f(x)~|~x\in A\right\}$, [/mm] denn [mm] $b\neq f(x)\forall x\in [/mm] A$.
Aber [mm] $b\notin f(A\setminus A)=\emptyset$.
[/mm]
Widerspruch
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> Dankesehr für Deine Antwort.
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> Sei f nicht surjektiv.
> Das bedeutet es gibt ein [mm]b\in B[/mm], für das es kein [mm]a\in A[/mm]
> gibt mit [mm]f(a)=b[/mm].
>
> Ich habe mir überlegt, daß man dann [mm]E:=A[/mm] nehmen könnte.
>
> [mm]B\setminus f(A)=B\setminus\left\{f(x)~|~x\in A\right\}[/mm]
>
> [mm]f(A\setminus A)=f(\emptyset)=\emptyset[/mm].
>
> Dann ist das oben erwähnte Element b Element von
> [mm]B\setminus\left\{f(x)~|~x\in A\right\}[/mm], denn [mm]b\neq f(x)\forall x\in A[/mm].
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> Aber [mm]b\notin f(A\setminus A)=\emptyset[/mm].
>
>
>
> Widerspruch
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Mo 27.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Die Hin-Richtung bereitet mir leider mehr Probleme.
Ich weiß nicht, wie ich die beiden Inklusionen zeigen kann.
[mm] "$\subseteq$":
[/mm]
Sei [mm] $x\in f(A\setminus E)=\left\{f(y)~|~y\in A\wedge y\notin E\right\}$.
[/mm]
Dann ex. also ein [mm] $y\in [/mm] A, [mm] y\notin [/mm] E: x=f(y)$.
Aber da hakt es bei mir auch schon.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Mo 27.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Die Hin-Richtung bereitet mir leider mehr Probleme.
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> Ich weiß nicht, wie ich die beiden Inklusionen zeigen
> kann.
>
> "[mm]\subseteq[/mm]":
>
> Sei [mm]x\in f(A\setminus E)=\left\{f(y)~|~y\in A\wedge y\notin E\right\}[/mm].
>
> Dann ex. also ein [mm]y\in A, y\notin E: x=f(y)[/mm].
>
> Aber da hakt es bei mir auch schon.
Du mußt nur noch zeigen: x [mm] \notin [/mm] f(E)
Nimm mal an, es sei x [mm] \in [/mm] f(E), als x=f(z) mit z [mm] \in [/mm] E
Dann ist f(y)=f(z). Jetzt Du
FRED
>
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:40 Mo 27.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Ach, wie blöd von mir.
Ich muss zeigen, daß
(i) [mm] $x\in [/mm] B$
(ii) [mm] $x\notin f(E)=\left\{f(z)~|~z\in E\right\}$
[/mm]
(i) gilt, da aus [mm] $x\in f(A\setminus [/mm] E)$ folgt, daß es ein [mm] $y\in A,y\notin [/mm] E$ gibt, sodaß [mm] $x=f(y)=\left\{f(y)\right\}\subseteq B\setminus f(E)\subseteq B\Rightarrow x\in [/mm] B$.
(ii) gilt, weil, wenn [mm] $x\in [/mm] f(E)$ gelten würde, gäbe es ein [mm] $z\in [/mm] E$, sodaß $x=f(z)$, dann wäre aber $f(y)=f(z)$ und wegen der Injektivität von f würde folgen $z=y$.
So?
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 15:54 Mo 27.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Jetzt mal zu der anderen Inklusion.
Sei [mm] $x\in B\setminus [/mm] f(E)$, d.h. [mm] $x\in [/mm] B$ und [mm] $x\notin [/mm] f(E)$.
Da f surjektiv ist, gibt es ein [mm] $a\in [/mm] A: f(a)=x$.
Wegen [mm] $x\notin [/mm] f(E)$ ist dann auch [mm] $f(a)\notin [/mm] f(E)$.
Kann also nur [mm] $f(a)\in f(A\setminus [/mm] E)$ gelten und daher [mm] $x=f(a)\in f(A\setminus [/mm] E)$.
Dies meine Idee.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 29.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 29.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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