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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Di 02.11.2010 | | Autor: | Paddi |
| Aufgabe | Zeigen Sie das die Funktion c(x,y) = 2 hoch x * (2y+1) - 1 bijektiv ist.
c bildet von zwei natürlichen Zahlen auf eine natürliche Zahl ab.
Also c: N hoch 2 -> N |
Hallo,
ich habe das Forum nach einem geeigneten Platz für meine Frage abgesucht, aber leider nichts gefunden.
Ich hoffe, dass ich jetzt nicht total daneben gegriffen habe.
Es soll hier gezeigt werden, dass die Abbildung injektiv und surjektiv ist.
(Und dadurch eben bijektiv)
Injektiv schaffe ich selber.
Hier nehme ich an, dass x1,x2 Element von N und y1,y2 Element von N und x1 ungleich x2 oder y1 ungleich y2.
Dann nehme ich an, dass c(x1,y1) = c(x2,y2), was in einen Widerspruch führt.
Das klappt dann so.
Aber wie kann ich zeigen, dass ich alle Bilder der Bildmenge dieser Funktion erreichen kann?
Da komme ich nicht in die Gänge.
Es wäre super, wenn mir kurz jemand helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Di 02.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
du kannst doch zu jedem Bild z = f(x,y) das zugehörige Ausgangs-Wertepaar finden.
Betrachte dazu z+1 und den Satz von der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Di 02.11.2010 | | Autor: | Paddi |
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Dann könnte ich also sagen:
(z+1) = 2 hoch x * b
mit b = 2y+1 (also b ungerade)
Dann sieht man ja eigentlich schon, dass man alle z Element von N erreichen kann, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Di 02.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Vielen Dank für die schnelle Antwort.
>
> Dann könnte ich also sagen:
>
> (z+1) = 2 hoch x * b
> mit b = 2y+1 (also b ungerade)
>
> Dann sieht man ja eigentlich schon, dass man alle z Element
> von N erreichen kann, oder?
>
>
das kommt auf die Augen, den geschulten Blick, ob man nicht so genau hinsieht, ... an.
Jedenfalls kann z+1 eindeutig als Produkt von Primfaktoren
z+1 = [mm] p_1^{n_1}*p_2^{n_2}*p_3^{n_3}* [/mm] ... [mm] *p_k^{n_k}
[/mm]
geschrieben werden. Der erste Faktor ist gerade und liefert eindeutig das x, der Rest ist ungerade und lässt sich eindeutig in der Form 2y+1 schreiben.
Gruß Sax.
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