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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 So 14.11.2010 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] $f:\IR \to \IR^{2},\ [/mm] t [mm] \to ((t+1)^{2}, t^{2}).$
[/mm]
(a) Zeigen sie, dass [mm] \(f [/mm] injektiv ist.
(b) Begründen sie, warum eine Funktion $g: [mm] \IR^{2} \to \IR$ [/mm] existiert mit [mm] $gof=id_{\IR}$ [/mm] |
Hallo,
kann mir jemand vielleicht anhand von einem kleinen Beispiel zeigen, wie man bei (a) vorgeht?
Also für Injektivität muss für $t,t' [mm] \in \IR$ [/mm] die Implikation $f(t)=f(t') [mm] \rightarrow [/mm] t=t'$ erfüllt sein.
Aber ich steh grad irgendwie auf dem Schlauch, da ich doch jetzt als Ergebnis ein Paar bekomme, ich weiß nicht genau wie ich das benutzen muss.
Wenn ich jetzt [mm] $(t+1)^{2}$ [/mm] als m bezeichne und [mm] $t^{2}$ [/mm] als n.
Kann ich dann sowas in die Richtung sagen:
Es muss gelten
$m=m'$
[mm] $(t+1)^{2}=(t'+1)^{2}$
[/mm]
$t+1=t'+1$
$t=t'$
und
$n=n'$
[mm] $t^{2}=t'^{2}$
[/mm]
$t=t'$
Glaube irgendwie nicht ganz das das richtig ist...oder?
Wenn ich jetzt zum beispiel die Funktion
$h: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] $x [mm] \to x^{2}$
[/mm]
nehme dann würde ich ja, wenn ich der gleichen Logik wie oben folge, das bekommen:
[mm] $x^{2}=x'^{2}$
[/mm]
$x=x'$
Was ja eindeutig nicht der Fall ist (Bsp $x=-1$
und $x'=1$.
Aber ich weiß nicht wie ich das zeigen kann..
lg,und vielen Dank schonmal!
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Hiho,
> Wenn ich jetzt [mm](t+1)^{2}[/mm] als m bezeichne und [mm]t^{2}[/mm] als n.
Wie kommst du jetzt auf $t+1$?
Ich vermute mal, du meinst bei der Funktion $f(t) = [mm] (t+1)^2$
[/mm]
Und du hast es übrigens nicht als m und n bezeichnet, sondern als m und m'
> Kann ich dann sowas in die Richtung sagen:
Können tust du vieles.....
> Es muss gelten
> [mm]m=m'[/mm]
> [mm](t+1)^{2}=(t'+1)^{2}[/mm]
Hier machst du jetzt einen Fehler.
Wurzelziehen ist KEINE eindeutige Sache.
> [mm]t+1=t'+1[/mm]
> [mm]t=t'[/mm]
Und schon stimmt deine Gleichung nicht.
Du musst darauf achten, dass du sauber umformst, ansonsten kriegst du Probleme.....
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 So 14.11.2010 | | Autor: | nhard |
ja genau, dass ist mein Problem ;)
In der Schule lernt man ja zum Beispiel:
[mm] $y=x^{2}$
[/mm]
[mm] $\pm \wurzel [/mm] {y} = x$
Klar, die Wurzel zu ziehen ist nicht eindeutig aber wie kann ich das formal aufschreiben?
wäre es dann
[mm] $(t+1)^{2}=(t'+1)^{2}$
[/mm]
[mm] $\pm (t+1)=\pm [/mm] (t'+1)$ ?
Dann hätte ich ja vier Fälle:
1. Fall:
$t+1=t'+1$
$t=t'$
2. Fall:
$-t-1=-t'-1$
$-t=-t'$
$t=t'$
3. Fall
$t+1=-t'-1$
$t=-t'-2$
4. Fall
$-t-1=t'+1$
$t=-t'-2$
Bei Fall 3 und 4 hätte ich doch die Injektivität für das m von (m,n) widerlegt oder?
Bin mir nicht sicher ob ich verständlich beschrieben hatte, aber ich habe ja auch noch das Problem, dass ich nicht weiß wie ich mit dem Paar als Ergebnis umgehen soll, wenn ich die Injektivität mit dieser Methode zeigen soll. Deshalb war mein Gedanke, dass ich das Paar als (m,n) bezeichne und dann für jeweils ein Element die Injektivität beweise.
Jetzt wäre ja die Frage ob das überhaupt Sinn macht, bin mir da irgendwie unsicher.
lg,
nhard
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Hiho,
> In der Schule lernt man ja zum Beispiel:
>
> [mm]y=x^{2}[/mm]
> [mm]\pm \wurzel {y} = x[/mm]
Jo.
> Klar, die Wurzel zu ziehen ist nicht eindeutig aber wie
> kann ich das formal aufschreiben?
>
> wäre es dann
>
> [mm](t+1)^{2}=(t'+1)^{2}[/mm]
> [mm]\pm (t+1)=\pm (t'+1)[/mm] ?
> Dann hätte ich ja vier Fälle:
> 1. Fall:
> [mm]t+1=t'+1[/mm]
> [mm]t=t'[/mm]
> 2. Fall:
> [mm]-t-1=-t'-1[/mm]
> [mm]-t=-t'[/mm]
> [mm]t=t'[/mm]
> 3. Fall
> [mm]t+1=-t'-1[/mm]
> [mm]t=-t'-2[/mm]
> 4. Fall
> [mm]-t-1=t'+1[/mm]
> [mm]t=-t'-2[/mm]
> Bei Fall 3 und 4 hätte ich doch die Injektivität für
> das m von (m,n) widerlegt oder?
So sieht das doch gleich viel besser aus. Auffallen sollte dir, dass jeweils zwei Fälle eigentlich identisch sind (die ersten beiden und die letzten beiden), insofern hast du einen Fall, wo die Injektivität nicht gegeben ist, korrekt.
> Bin mir nicht sicher ob ich verständlich beschrieben
> hatte, aber ich habe ja auch noch das Problem, dass ich
> nicht weiß wie ich mit dem Paar als Ergebnis umgehen soll,
> wenn ich die Injektivität mit dieser Methode zeigen soll.
> Deshalb war mein Gedanke, dass ich das Paar als (m,n)
> bezeichne und dann für jeweils ein Element die
> Injektivität beweise.
> Jetzt wäre ja die Frage ob das überhaupt Sinn macht, bin
> mir da irgendwie unsicher.
Naja, du kannst das ganze natürlich auch als Paare handhaben, wobei mir der Sinn dahinter noch nicht so ganz klar ist.
Bei Injektivität ist das Vorgehen eigentlich immer das Gleiche, nämlich:
$f(x) = f(y) [mm] \Longrightarrow [/mm] x=y$
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 So 14.11.2010 | | Autor: | nhard |
okay, hm jetzt bin ich verwirrt, weil ich laut Aufgabe ja die Injektivität zeigen soll.
(Hatte aus Versehen nicht die ganze Funktion angegeben, vielleicht erkennst du jetzt einen Fehler bei mir?)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 So 14.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
mir scheint, dass du aus m=m' alleine (bzw. n=n' alleine) schließen willst, dass t=t' gilt. Das wird nicht gelingen. Du musst beide Gleichungen simultan benutzen.
Tipp : Binomische Formel bei der m-Gleichung.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 So 14.11.2010 | | Autor: | nhard |
Ja genau, dass war eigentlich meine Idee..;)
Habe leider nicht hinbekommen beide Gleichungen gleichzeitig zu benutzen, deshalb auch der Versuch das Paar aufzuteilen..
Ah aber durch den Hinweis von Al-Chwarizmi habe ich glaube ich eine Idee:
wenn [mm] $s^{2}=t^{2}$ [/mm] gelten soll,
dann kann ich das einsetzen in die Gleichung:
[mm] $s^{2}+2s+1=t^{2}+2t+1$
[/mm]
[mm] $\gdw t^{2}+2s+1=t^{2}+2t+1$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] 2s=2t$
[mm] $\gdw [/mm] s=t$
Stimmt das? Ist es auch richtig hier Äquivalenzpfeile zu setzen?
lg,
nhard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 So 14.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
meinen ersten Tipp habe ich dir ja gegeben.
Mein zweiter Tipp wäre, die n-Gleichung von der so entstandenen m-Gleichung zu subtrahieren.
Dritter Tipp : auf beiden Seiten 1 subtrahieren.
Vierter Tipp : wohl nicht mehr nötig
Gruß Sax.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 So 14.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
ja, das stimmt jetzt so.
Zur Sache mit den Äquivalenzpfeilen ist zu sagen, dass wir nur die "=>"-Richtung brauchen. Für die Umkehrung müssen wieder beide Gleichungen benutzt werden.
Gruß Sax.
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Hallo nhard,
damit du dich um etliches weniger mühen musst,
möchte ich dir eine geeignetere Bezeichnungsweise
vorschlagen:
Um die Injektivität von f zu zeigen, genügt es nachzuweisen,
dass aus [mm] s^2=t^2 [/mm] und [mm] (s+1)^2=(t+1)^2 [/mm] folgt, dass s = t .
Das ist eine relativ einfache Rechenübung.
LG Al-Chw.
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> Gegeben sei die Funktion [mm]f:\IR \to \IR^{2}, \t \to ((t+1)^{2}, t^{2}.[/mm]
>
> (a) Zeigen sie, dass [mm]\(f[/mm] injektiv ist.
Ich habe mich gefragt:
wie soll man zeigen, dass eine Funktion injektiv ist, die
gar nicht angegeben wird ?
Wenigstens in meinem Browser wird der Funktionsterm
überhaupt nicht angezeigt.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 So 14.11.2010 | | Autor: | nhard |
Ach du meine Güte,
sorry!
Hatte ein Zeichen falsch gesetzt worauf der ganze Term einfach weg war.. ist jetzt aber hinzugefügt.
Danke für den Hinweis!!
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