Bild- u.Kernraum < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie für die Urbildvektoren x= [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ 2} [/mm] und y= [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
die durch die von A [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
beschriebene lineare Abbildung entstehenden Bildvektoren,und zeichnen Sie sie zusammen
mit den Urbildvektoren in ein Koordinatensystem ein. Konstruieren Sie zeichnerisch den Bildvektor
A(x+y) sowie seinen Urbildvektor.
Was fällt Ihnen auf?
Überprüfen Sie Ihre Vermutung rechnerisch!
b) Bestimmen Sie Bildraum und Kern der durch A beschriebenen Abbildung.
c) Stellen Sie Kern und Bildraum grafisch dar.
d) Begründen Sie ohne Rechnung, warum das LGS [mm] Ax=b=\vektor{-1 \\ 0 \\ 3} [/mm] lösbar ist.
e) Stellen Sie die Lösungsmenge in der Grafik von Teil c) zusätzlich dar. |
Hallo,
meine Resultate+ kleine Unklarheiten
zu a )
[mm] A(x)=\vektor{-3 \\ 0 \\ 2} A(y)=\vektor{4 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
die 3 Vektoren (in Zeichnung) bilden ein Vektorparallelogramm/ Vektoraddition= Von einer Vektorspitze parallel verschoben zum Endpunkt ...
Rechnerische überprüfung (ist das die rech...Überprüfung??)
[mm] A(x+y)=\vektor{1 \\ 0 \\ 3}
[/mm]
kann man das so schreiben oder habe ich da was falsch gemacht, wie sollte man es formulieren )
zu b
K(A)= ( x|x= [mm] s*\vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] ; s e |R)
B(A)= ( x|x= [mm] v*\vec{e(1)}+w*\vec{e(2)} [/mm] ; v,w e |R)
|L(A)=( x|x= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}+s*\vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] ; s e |R)
zu d)
weil dieser Vektor die inverse zu A(X+Y) also die gegenüberliegende Ecke des Vektorparallelogramms ist
Ist das so richtig, kann man, wie muss man das schreiben ?
zu c) und e)
der Kernraum ist eine Gerade durch den Ursprung
der Bildraum eine Senkrechte in der 1/3 Ebene
die Lösungsmenge ist eine verschobene Gerade
Grüße und Danke im vorraus
masaat
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:13 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Fulla |
Hi masaat234!
Kann es sein, dass du uns die Matrix A vorenthalten hast?
Schöne Grüße,
Fulla
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:52 Mi 13.12.2006 | | Autor: | masaat234 |
Hallo,
stimmt Stimmt, hab´s gerade korrigiert ...
MfG
masaat
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Mi 13.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo masaat
> Bestimmen Sie für die Urbildvektoren x= [mm]\vektor{-1 \\ -1 \\ 2}[/mm]
> und y= [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> die durch die von A [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> beschriebene lineare Abbildung entstehenden
> Bildvektoren,und zeichnen Sie sie zusammen
> mit den Urbildvektoren in ein Koordinatensystem ein.
> Konstruieren Sie zeichnerisch den Bildvektor
> A(x+y) sowie seinen Urbildvektor.
>
> Was fällt Ihnen auf?
> Überprüfen Sie Ihre Vermutung rechnerisch!
>
> b) Bestimmen Sie Bildraum und Kern der durch A
> beschriebenen Abbildung.
> c) Stellen Sie Kern und Bildraum grafisch dar.
>
> d) Begründen Sie ohne Rechnung, warum das LGS
> [mm]Ax=b=\vektor{-1 \\ 0 \\ 3}[/mm] lösbar ist.
>
> e) Stellen Sie die Lösungsmenge in der Grafik von Teil c)
> zusätzlich dar.
> Hallo,
>
> meine Resultate+ kleine Unklarheiten
>
> zu a )
>
>
> [mm]A(x)=\vektor{-3 \\ 0 \\ 2} A(y)=\vektor{4 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> die 3 Vektoren (in Zeichnung) bilden ein
> Vektorparallelogramm/ Vektoraddition= Von einer
> Vektorspitze parallel verschoben zum Endpunkt ...
>
> Rechnerische überprüfung (ist das die
> rech...Überprüfung??)
>
> [mm]A(x+y)=\vektor{1 \\ 0 \\ 3}[/mm]
richtig! Ich würd das kein Parallelogramm nennen, sondern alle 3 Vektoren von 0 aus antragen.(die konstr. der Summe ist richtig.Du solltest auch das Urbild von A(x+y) mitaufzeichnen.
> kann man das so schreiben oder habe ich da was falsch
> gemacht, wie sollte man es formulieren )
>
> zu b
>
> K(A)= ( x|x= [mm]s*\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm] ; s e |R)
dieses x und damit A(x) ergibt nicht 0! also falsch. Der Kern besteht aus allen x mit A(x)=0
> B(A)= ( x|x= [mm]v*\vec{e(1)}+w*\vec{e(2)}[/mm] ; v,w e |R)
Ich denk, das soll das Bild sein, dann ist es falsch!
Dimension Kern + dimension Bild= dimension V, also ist das Bild 2d, weil Kern 1d.
x und y liegen sicher im Bild, ich weiss nicht, was du mit e1 und e2 meinst, wenn es die Standardbasis ist, ist es falsch.
> |L(A)=( x|x= [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+s*\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm] ;
was L(a) sein soll, weiss ich nicht, es ist sicher weder der Bildraum, noch der Kern.
> s e |R)
>
> zu d)
>
> weil dieser Vektor die inverse zu A(X+Y) also die
> gegenüberliegende Ecke des Vektorparallelogramms ist
das Inverse zu A(x+y) ist -A(x+y) [mm] \ne [/mm] b!
aber b liegt im Bildraum, der von A(x) und A(y), die lin unabh. sind , aufgespannt wird.
> Ist das so richtig, kann man, wie muss man das schreiben ?
Siehe oben Nein.
> zu c) und e)
>
> der Kernraum ist eine Gerade durch den Ursprung
richtig, aber welche? oben falsch.
> der Bildraum eine Senkrechte in der 1/3 Ebene
falsch, die ganze xz-Ebene oder 1-3 Ebene, denn mit A(x) und A(y) sind auch alle linearkombinationen enthalten!
> die Lösungsmenge ist eine verschobene Gerade
falsch
Gruss leduart
>
> masaat
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Hallo, upps hab aus versehen bearbeiten benutzt
zu b)
stimmt Kernraum ist falsch, hab das minus bei ein vergessen
mit e(1) meinte ich Einheitsvektor der Spalte 1 mit e (2) eigentlich Spalte 3 demnach e(3) ,
und "|L" bedeutet Lösungsmenge K+B zusammen.
also
K(A)= [mm] s*\vektor{-2 \\ 1 \\ 0} [/mm]
B(A)= [mm] v*\vektor{1 \\ 0 \\ 0} +w*\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm]
[mm] |L(A)=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+s*\vektor{-2 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
zu d)
wäre die Antwort demnach ?:
b liegt im Bildraum, der von A(x) und A(y), die lin unabh. sind , aufgespannt wird.
zu c und e)
Kernraum wäre die Gerade (neues Ergebnis)
Die Lösungsmenge [mm] |L(A)=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+s*\vektor{-2 \\ 1 \\ 0} [/mm] ist doch dann eine verschobene Gerdae ?
Bildraum ??? Da hab ich jetzt ein hänger, weiss nicht was du damit meinst hab ich da immer noch was falsch ?
[mm] v*\vektor{1 \\ 0 \\ 0} +w*\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] oder ist es
[mm] v*\vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] ???
Grüße
masaat
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Mi 13.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo masaat
> zu b)
> stimmt Kernraum ist falsch, hab das minus bei ein
> vergessen
>
> mit e(1) meinte ich Einheitsvektor der Spalte 1 mit e (2)
> eigentlich Spalte 3 demnach e(3) ,
Dann musst du das auch hinschreiben, und eigentlich auch begründen! also 1. B ist 2 d, 2, e1 und e3 liegen in B
> und "|L" bedeutet Lösungsmenge K+B zusammen.
>
> also
>
>
> K(A)= [mm]s*\vektor{-2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> B(A)= [mm]v*\vektor{1 \\ 0 \\ 0} +w*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> [mm]|L(A)=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+s*\vektor{-2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Das ist 1. nicht gefragt, und 2. offensichtlich weniger als B, also sicher nicht B+K ich hab auch keine Ahnung, was du wirklich mit L meinen könntest. z.Bsp liegt weder A(x) noch A(y) in L Lösungsmengen gibt es zu Gleichungen, nicht zu Abbildungen
> zu d)
>
> wäre die Antwort demnach ?:
>
> b liegt im Bildraum, der von A(x) und A(y), die lin unabh.
> sind , aufgespannt wird.
Wenn du schon B wie in b) hast, dann einfach b liegt in B, wegen b=..e1+...e3
>
> zu c und e)
>
> Kernraum wäre die Gerade (neues Ergebnis)
> Die Lösungsmenge [mm]|L(A)=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+s*\vektor{-2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
wieso, du hast doch oben K. (0,0,0) liegt immer in K
> ist doch dann eine verschobene Gerdae ?
Dein L geht nicht durch 0 aber ist auch nix sinnvolles!
> Bildraum ??? Da hab ich jetzt ein hänger, weiss nicht was
> du damit meinst hab ich da immer noch was falsch ?
> [mm]v*\vektor{1 \\ 0 \\ 0} +w*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
richtig, nur lieber r und s statt v und w, da man r,s meist als reelle Zahlen verwendet, v, w für Vektoren,aber du kannst ja immer schreiben [mm] v,w\in \IR
[/mm]
En Danke oder so würd dir auch nix abbrechen!
Gruss leduart
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Hallo,
selbstvertändlich Danke, Danke, Danke ...tschuldigung
zu b)
Bitte,Bitte damit es nicht wieder einer dieser Threads wird
Wie müsste die Antwort jetzt formuliert sein, bin einfach nur verwirtt
zu d)
stellen sie die Lösungsmenge graphisch dar
wie macht man das jetzt ??
etwa so
[mm] -\vektor{1 \\ 0 \\ 1}=s\cdot{}\vektor{-2 \\ 1 \\ 0} [/mm] $
oder ist das wieder blödsinn
Grüe und Vektorischen SkalarDank mit Axiomen und Hessen
masaat
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:10 Do 14.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo masaat
> Hallo,
>
> selbstvertändlich Danke, Danke, Danke ...tschuldigung
Wär netter, man müsst da nicht erst mahnen
> zu b)
>
>
> zu d)
>
> stellen sie die Lösungsmenge graphisch dar
>
> wie macht man das jetzt ??
3d Koordinatenkreuz, x-z-Ebene irgendwie markieren, ist B,
dann die Gerade, die K darstellt einzeichnen!
> etwa so
> [mm]-\vektor{1 \\ 0 \\ 1}=s\cdot{}\vektor{-2 \\ 1 \\ 0}[/mm] $
Ich weiss immer noch nicht, was dieser Vektor soll, hab ich aber schon oft gesagt! lies die alten posts.
Gute nacht leduart
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Hallo und Danke nochmal,
hab etwas verwechselt das hier
"Bitte,Bitte damit es nicht wieder einer dieser Threads wird
Wie müsste die Antwort jetzt formuliert sein, bin einfach nur verwirrt "
war auf Aufgabenteil d nicht b bezogen
Aufgabenteil d
Begründen Sie ohne Rechnung warum ... lösbar ist
Nach Deinen Antworten zu d weiss ich nicht mehr was was ist..., tschuldigung ..
Wie müsste es nun formuliert sein
Und was Aufgabenteil "e" anbelangt ist, was für einen Sinn soll das machen, den die Lösungsmenge besteht doch aus Kern und Bildraum, die schon in den Graph eingezeichnet sind oder bringe ich da wieder etwas durcheinander bzw. wie bestimmt man die Lösungsmenge ?
Wenn man die Lösungsmenge noch einzeichnen soll, dann muss es ja was etwas anderes zum einzeichnen geben oder wie ist das von der Aufgabe gemeint ?
Axiomale Grüße
masaat
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Do 14.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
zud) hattest du schon ne richt. Antwort Mi 17.04
zu e) gemeint ist die Lösungsmenge von d) denk ich.
Gruss leduart
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Hallo,
zu a) wäre es demnach
Vektoraddition= Von einer Vektorspitze parallel verschoben zum Endpunkt ...
soll einem das auffallen ?
Antwort zu e) (ist wohl auf den Vektor von d) bezogen)
Ist die Lösungsmenge dann jetzt
|L(A)=( x|x= $ [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 3}+s\cdot{}\vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] $ ; s e |R)
oder
|L(A)=( x|x= $ [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 3}+v\cdot{}\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+w\cdot{}\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] $ ; v,w e |R)
Weiss immer noch nicht genau wie ich die Lösungsmenge einordnen soll
Antwort zu d wäre demnach
b liegt im Bildraum, der von A(x) und A(y), die lin unabh. sind , aufgespannt wird.
Ist der gespiegelte Vektor von A(y) an der Y Achse.
und großen Dank für Deine Geduld
Grüße
masaat
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Fr 15.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo masaat
> zu a) wäre es demnach
>
> Vektoraddition= Von einer Vektorspitze parallel verschoben
> zum Endpunkt ...
> soll einem das auffallen ?
Du sollst ja auch das Urbild malen! wahrscheinlich soll dir auffallen, dass das Urbild =x+y ist, und das sollst du dann auch rechnerisch zeigen, also A(x+y)=A(x<)+A(y)
> Antwort zu e) (ist wohl auf den Vektor von d) bezogen)
>
> Ist die Lösungsmenge dann jetzt
> |L(A)=( x|x= [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 3}+s\cdot{}\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> ; s e |R)
ja!
> oder
> |L(A)=( x|x= [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 3}+v\cdot{}\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+w\cdot{}\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm]
> ; v,w e |R)
Nein!!
> Weiss immer noch nicht genau wie ich die Lösungsmenge
> einordnen soll
Ist ne Gerade, die in deine Zeichnung soll
> Antwort zu d wäre demnach
>
> b liegt im Bildraum, der von A(x) und A(y), die lin unabh.
> sind , aufgespannt wird.
> Ist der gespiegelte Vektor von A(y) an der Y Achse.
1. Teil richtig, 2. Teil ist keine Begründung und falsch, der Vektor liegt in der x-z ebene, wie Spiegelst du dann an der y-Achse? Wenn du was zeigen willst, dann b=r*A(x)+s*A(y), r,s angeben.
Für mich würde der 1. satz genügen!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:17 Fr 15.12.2006 | | Autor: | masaat234 |
Grüße
masaat
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