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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:18 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Maste |
| Aufgabe | Schukowski (Zhukowsky, Joukovsky) Transformation:
[mm] f(z)=\bruch{1}{2}(z+\bruch{1}{z})
[/mm]
a) Zeige dass f(z) die Zerlegung [mm] f=g^{-1}\circ [/mm] h [mm] \circ [/mm] g erlaubt, mit [mm] g(z)=\bruch{z-1}{z+1} [/mm] und [mm] h(z)=z^2
[/mm]
b) Bestimme das Bild des Gebietes [mm] G=\{ z \in \IC : |z| < \bruch{1}{2}, |z-\bruch{1}{2}| > \bruch{1}{2} \} [/mm] unter der Transformation g(z).
c) Bestimme das Gebiet D = h(g(G))
d) Folgere nun, dass f(G) ein Tragflächenprofil eines Flugzeuges ist, das Profil von Schukowski |
Hallo,
ich habe immer noch Probleme mit dem Umgang mit Transformationen von Gebieten in den komplexen Zahlen.
Aufgabenteil a) ist geschenkt, einfaches einsetzen.
Aufgabenteil b) habe ich folgendermaßen gelöst:
Da g(z) eine Möbius-Transformation ist, werden Kreise wieder in spezielle Kreise (also Kreise oder Geraden) überführt.
Der Einheitskreis wird auf die imaginäre Achse abgebildet, das Innere des Einheitskreises auf die "linke Seite". Der Kreis mit Mittelpunkt 1/2 und Radius 1/2 wird um -1 auf der reellen Achse verschoben, das Äußere bleibt außen.
Also [mm] g(G)=\{z\in \IC :Re(z)<0,|z+\bruch{1}{2}|>\bruch{1}{2}\}
[/mm]
Bei Aufgabenteil c) hakts jetzt bei mir.
[mm] h(z)=z^2=x^2-y^2+i2xy
[/mm]
In Teil b) habe ich Eigenschaften von Möbius-Transformationen benutzt, ohne wirklich Bilder zu bestimmen. Ich habe generell Schwierigkeiten bei Verständnis der Bestimmung von Bildern in der komplexen Ebene.
Mein prinzipieller Ansatz wäre wäre g(G) erneut aufzuteilen in den Kreis und die linke Halbebene. Nun müsste das Bild von der Halbebene ohne das Bild der Kreisscheibe die gesuchte Menge sein.
Allerdings weiß ich nicht, wie ich diese Idee im konkreten Fall umsetze.
Könnt Ihr mir einen konkreten Lösungsvorschlag machen, damit ich mit solchen Problemen endlich alleine klarkomme?
Vielen Dank und schöne Grüße
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 18.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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