Bild einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo ihr,
ich habe keine Aufgabenstellung zum Thema, da ich mich gerade selber auf eine Klausur vorbereite.
Ich habe die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 &0\\ 0 & 0 & 2 } [/mm] und möchte ihr Bild bestimmen.
Durch Zeilenumformungen erhalte ich [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 &-1\\ 0 & 0 & 0 }. [/mm] Der Rang meines Bildes bzw. die Dimension des Bildes ist also 2. Ich erhalte also als Bild [mm] \vektor{x+y+z \\ -z}, [/mm] d.h. [mm] Im(A)=\{\vektor{x\\ y}: x,y\in\IR\}. [/mm] Ist [mm] \{\vektor{x\\ y}: x,y\in\IR\} [/mm] = [mm] \IR^2, [/mm] also ist [mm] Im(A)=\IR^2?
[/mm]
LG regenschirm
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> Hallo ihr,
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> ich habe keine Aufgabenstellung zum Thema, da ich mich
> gerade selber auf eine Klausur vorbereite.
> Ich habe die Matrix [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 &0\\ 0 & 0 & 2 }[/mm]
> und möchte ihr Bild bestimmen.
> Durch Zeilenumformungen erhalte ich [mm]\pmat{ \red{1} & 1 & 1\\ 0 & 0 &\red{-1}\\ 0 & 0 & 0 }.[/mm]
> Der Rang meines Bildes meiner Matrix bzw. die Dimension des Bildes ist
> also 2.
Hallo,
bis hierher ist es richtig.
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in Spalte 1 und 3.
Daraus kann man ablesen, daß der 1. und 3. der Ursprungsvektoren, also [mm] \vektor{1\\1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{1\\0\\2} [/mm] eine Basis des Bildes sind.
Dh. jedes Element [mm] \vec{b} [/mm] des Bildes hat die Gestalt [mm] \vec{b}=r\vektor{1\\1\\0}+s\vektor{1\\0\\2} [/mm] mit [mm] r,s\in \IR.
[/mm]
Beachte bitte, daß das Bild im Gegensatz zu Deiner "Lösung" eine zweidimensionaler Teilraum des [mm] \IR^3 [/mm] ist. Die Bildvektoren haben drei Komponenten.
Ich ahne, daß Deine Aufgabe noch weitergeht, und zeige Dir gleich, wie man den Kern aus der Zeilenstufenform bekommt.
[mm] \pmat{ \red{1} & 1 & 1\\ 0 & 0 &\red{-1}\\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Die Variable in den Spalten, in denen kein führendes Zeilenelement ist, kannst Du frei wählen, hier die zweite.
Du bekommst:
[mm] x_3=0
[/mm]
[mm] x_2=t
[/mm]
[mm] x_1=-x_2 -x_3= [/mm] -t-0=-t.
Damit haben die Vektoren [mm] \vec{x} [/mm] des Kerns die Gestalt [mm] \vec{x}=\vektor{-t\\t\\0}=t*\vektor{-1\\1\\0}.
[/mm]
[mm] \vektor{-1\\1\\0} [/mm] ist eine Basis des Kerns. Der kern ist also eindimensional, eine Gerade im [mm] \IR^3, [/mm] wenn man's anschaulich mag.
Gruß v. Angela
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