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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Do 21.10.2010 | | Autor: | Maste |
| Aufgabe | | Bestimme das Bild des Quadranten x>1, y>0 unter der Abbildung f(z)=1/z , z [mm] \in \IC [/mm] \ [mm] \{0\}, [/mm] z=x+iy |
Hallo,
ich studiere momentan in Spanien und habe heute den Prof nicht so ganz verstanden (sprachlich, aber auch inhaltlich)...
Ich habe bisher wenig mit Transformationen o.ä. zu tun gehabt, daher bin ich mir nicht ganz sicher, wie ich hier vorgehen soll.
Mein Ansatz:
Nennen wir den Quadranten M= [mm] \{(x,y) \in\IR^2 : x>1, y>0\}
[/mm]
Lässt sich schreiben als M= [mm] \bigcup_{y>0}^{} R_y [/mm] wobei [mm] R_y=\{x+iy : x>1\} [/mm] also mit festgehaltenem y.
Jetzt möchte ich f(M)= [mm] \bigcup_{y>0}^{}f(R_y) [/mm] bestimmen.
[mm] f(x+iy)=\bruch{1}{x+iy}=\bruch{x}{x^2+y^2}-\bruch{iy}{x^2+y^2}
[/mm]
Nach dem Vorgehensweise des Profs wird hier in Real- und Imaginärteil gesplittet, also [mm] u(x)=\bruch{x}{x^2+y^2} [/mm] und [mm] v(x)=-\bruch{iy}{x^2+y^2}, [/mm] die wegen festgehaltenem y nur von x abhängen.
Nun hat mein Professor Dinge mit Ableitungen und Umformungen getan, aus denen ich nicht so recht schlau geworden bin...
Könnt ihr mir weiterhelfen, wie es ab diesem Punkt weitergeht?
Intuitiv hätte ich einfach die "Grenzen" parametrisiert und dann einen Punkt aus dem Inneren des Quadranten genommen, um das Bild zu bestimmen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 Do 21.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du feste y nimmst, dann bildest du Halbgeraden parallel zur reellen Achse ab, Wenn du feste x ählst Halbgeraden senkrecht dazu
1. in welchem Quadranten der Gaussebene liegt das Bild?
2. Was wird aus den 2 Sorten Geraden? insbesondere den innersten, also x=1 y>0 und y=0,x>1 dann noch sehr weit draussen liegende Geraden dann weisst du, wohin dein Gebiet abgebildet wird.
wie du am besten siehst, was das für Kurven sind? aus meinem Bild kannst du es raten und dann entsprechend umformen.
ich schick dir ein Bildchen, die Linien x=const und y=const wurden hier grün und gelb abgebildet, allerdings nur bis x=5 und y=5, also nur Strecken.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Fr 22.10.2010 | | Autor: | Maste |
1.) [mm] f(z)=\bruch{x}{x^2+y^2}-i\bruch{y}{x^2+y^2}
[/mm]
x und y sind positiv, also ist Realteil von f positiv und Imaginärteil von f negativ. Das Bild liegt im vierten Quadranten.
2.) Jetzt versuch ich die beiden Sorten der Geraden zu untersuchen:
Betrachte die Gerade y=0, x>1:
Realteil [mm] u(x)=\bruch{1}{x} [/mm] und Imaginärteil [mm] v(x)=\bruch{0}{x^2+0}=0
[/mm]
Diese Gerade wird also auf das reelle Intervall (0,1) abgebildet
Betrachte die Gerade x=1, y>0:
Realteil [mm] u(y)=\bruch{1}{y^2+1} [/mm] und Imaginärteil [mm] v(y)=\bruch{-y}{y^2+1}
[/mm]
Der Realteil wird auf (0,1) und der Imaginärteil auf [mm] (-\bruch{1}{2},0)
[/mm]
Ich glaube, ich bin hier ziemlich auf dem Holzweg und habe zusätzlich noch ein Brett vorm Kopf!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Fr 22.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich dachte mein bildchen hätte dich angeregt:
die Linien x=const werden auf Halbkreise abgebildet. bilde etwa für x=1 mal [mm] (u-1/2)^2+v^2 [/mm] was kommt raus?
alle Linien x=const>1 werden innerhalb abgebildet. kannst du das begründen?
damit wird dein ganzes Gebiet in diesen Halbkreis abgebildet, die Geraden x=const auf Halbkreise, die y=const auf dazu senkrechte Halbkreistücke.
Gruss leduart
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