Bild einer offenen Menge < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Mo 26.03.2007 | | Autor: | JuliaF |
| Aufgabe | | Seien V und W zwei VR und sei T: V --> W eine lineare Abbildung, mit Bild(T) =W. Sei nun A eine algebraisch offene Menge in V. Zeige, dass das Bild T(A) algebraisch offen in W ist. |
Hallo!!
Also ich denke, dass es sich hier um einen wahrscheinlich "trivialen" Beweis handelt, aber ich habe dennoch so meine Probleme mit dem Aufschreiben, und vielleicht ist es auch nicht so ganz richtig.
Algebraisch offen haben wir so definiert, dass derSchnitt von A mit jeder Gerade L in V ein offenes Intervall ist. Also wenn L = [mm] \{v + \beta u : \beta \in IR \}[/mm] in V, u,v aus V dann [mm] A \cap L = \{ v + \beta u : \gamma < \beta < \delta \}[/mm]
Wobei [mm] - \infty < \gamma < \delta < + \infty [/mm]
Nun hatte ich mir überlegt, dass ich einfach den schnitt von A mit jeder Gerade L mit f abbilde, und dann etwas erhalte, das so aussieht
[mm] f (A \cap L ) = \{w \in W : es existiert ein x \in (A \cap L) mit f(v + \beta u) = f (v) + \beta f(u)=w \} [/mm] und damit wäre ihc dann fertig.
Ist das so richtig und kann ich das so schreiben?
Wäre sehr dankbar für Tipps!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:06 Mo 26.03.2007 | | Autor: | wauwau |
Du muss zeigen, dass jede Gerade in W mit T(A) ein offenes Intervall als Schnittmenge hat.
d.h
[mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] W [mm] \{x\in W|x=a+\gamma*b\} \cap [/mm] T(A) = [mm] \{x \in W | x = a+\delta*b x_{1} < \delta < x_{2}\}
[/mm]
Da T jedoch linear ist, und W = T(V) werden Gerade in Gerade abgebildet. So gibt es für jede Gerade h in W mindestens eine Gerade g mit T(g)=h
und dann kannst du deine Argumentations verwenden.
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