Bild stetiger Operatoren < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist ein linearer Operator T: [mm] X\rightarrow [/mm] Y, wobei X und Y normierte Räume (mit den Normen [mm] ||\cdot||_x [/mm] bzw. [mm] ||\cdot||_Y) [/mm] über dem selben Körper sind.
zu zeigen ist, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(1) T ist stetig
(2) T ist beschränkt
(3) Das Bild unter T der offenen oder abgeschlossenen Einheitskugel in X ist beschränkt in Y
(4) Das Bild unter T jeder in X beschränkten Menge ist beschränkt in Y
(5) Es gibt eine Kugel um 0 in X, deren Bild in Y beschränkt ist |
Einige Richtungen habe ich schon bewiesen.
1 [mm] \Leftrightarrow [/mm] 2 habe ich hin bekommen
Aus 2 folgt dann 3:
[mm] ||x||_x \leq [/mm] 1 [mm] \Rightarrow ||Tx||_y\leq c\cdot||x||_x=c [/mm] (da T beschränkt ist)
Genau so folgt auch [mm] 2\Rightarrow [/mm] 4 und [mm] 2\Rightarrow [/mm] 5
Ist folgender Beweis für [mm] 5\Rightarrow [/mm] 1 ok:
Sei U diese Kugel. T|U (T eingeschränkt auf U) ist also beschränkt. Damit ist T|U stetig auf U, insbesondere also in einem Pkt. (z.B. der 0). Und damit ist auch T in 0 stetig und damit auf ganz X
Der Beweis für [mm] 3\Rightarrow [/mm] 1 wäre analog.
Bekommt man irgendwie einen Beweis für [mm] 5\Rightarrow [/mm] 4 oder 3 [mm] \Rightarrow [/mm] 4 hin?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:29 Mo 24.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist ein linearer Operator T: [mm]X\rightarrow[/mm] Y, wobei
> X und Y normierte Räume (mit den Normen [mm]||\cdot||_x[/mm] bzw.
> [mm]||\cdot||_Y)[/mm] über dem selben Körper sind.
>
> zu zeigen ist, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
>
> (1) T ist stetig
> (2) T ist beschränkt
> (3) Das Bild unter T der offenen oder abgeschlossenen
> Einheitskugel in X ist beschränkt in Y
> (4) Das Bild unter T jeder in X beschränkten Menge ist
> beschränkt in Y
> (5) Es gibt eine Kugel um 0 in X, deren Bild in Y
> beschränkt ist
> Einige Richtungen habe ich schon bewiesen.
> 1 [mm]\Leftrightarrow[/mm] 2 habe ich hin bekommen
>
> Aus 2 folgt dann 3:
> [mm]||x||_x \leq[/mm] 1 [mm]\Rightarrow ||Tx||_y\leq c\cdot||x||_x=c[/mm]
> (da T beschränkt ist)
>
> Genau so folgt auch [mm]2\Rightarrow[/mm] 4 und [mm]2\Rightarrow[/mm] 5
>
> Ist folgender Beweis für [mm]5\Rightarrow[/mm] 1 ok:
> Sei U diese Kugel. T|U (T eingeschränkt auf U) ist also
> beschränkt.
Das hast Du falsch verstanden. Es bedeutet: T(U) ist beschränkt, d.h. : es gibt ein c>0 mit:
$||Tx|| [mm] \le [/mm] c$ für jedes x [mm] \in [/mm] U
FRED
> Damit ist T|U stetig auf U, insbesondere also
> in einem Pkt. (z.B. der 0). Und damit ist auch T in 0
> stetig und damit auf ganz X
> Der Beweis für [mm]3\Rightarrow[/mm] 1 wäre analog.
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> Bekommt man irgendwie einen Beweis für [mm]5\Rightarrow[/mm] 4 oder
> 3 [mm]\Rightarrow[/mm] 4 hin?
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