Bild und Basis des Bildes < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 Mo 03.09.2012 | | Autor: | melodie |
Hallo
mir ist nicht ganz klar, wie Bild und Basis des Bildes einer Matrix bestimmt wird.
ich nehme als Beispiel die Matrix
A= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 &5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 }
[/mm]
Das Bild einer Matirx sind die Spalten der Matrix A.
Also Bild(A)= spann { [mm] \pmat{ 1 \\ 2 \\ 3},\pmat{ 4 \\ 5 \\ 6 },\pmat{ 7 \\ 8 \\ 9 } [/mm] }
Soweit richtig?
Jetzt möchte ich die Basis des Bildes berechnen. Mir fällt die Zeilenumformung leichter, deshalb transponiere ich die Matrix A und wende Gauß an.
[mm] \pmat{ 1 & 4 & 7 \\ 2 &5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 } \Rightarrow \pmat{ 1 & 4 & 7 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
ich habe eine Null Zeile, heisst das, dass die Basis nur aus zwei Vektoren besteht. Und diese sind dann die oberen Zeilen der Matrix als Spalten, also span [mm] {\pmat{ 1 \\ 4 \\ 7} , \pmat{ 0 \\ -3 \\ -6 } }
[/mm]
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob das so stimmt. Mal lese ich, dass für das Bild die Matrix transponiert und in ZSF gebracht werden muss (so wie ich es oben für die Basis gemacht habe) und mal lese ich dass es einfach die Spalten der Darstellungsmatrix ist.
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moin,
Du musst hier ganz klar unterscheiden zwischen Erzeugendensystem und minimalem Erzeugendensystem/Basis.
Ist $V$ ein Vektorraum und $M$ eine Teilmenge von $V$, so ist $M$ ein Erzeugendensystem von $span(M)$ (manchmal auch geschrieben als [mm] $\langle [/mm] M [mm] \rangle$).
[/mm]
Eine Basis eines Vektorraums hingegen ist definiert als minimales Erzeugendensystem.
Wie man zeigen kann ist dies äquivalent zu linear unabhängiges Erzeugendensystem.
In deinem Beispiel bilden die Spalten ein Erzeugendensystem des Bildes, allerdings keine Basis.
Da die dritte Spalte als Linearkombination der anderen beiden geschrieben werden kann ist sie überflüssig für das Erzeugnis, es gilt also:
$span [mm] \left\{ \pmat{ 1 \\ 2 \\ 3},\pmat{ 4 \\ 5 \\ 6 },\pmat{ 7 \\ 8 \\ 9 } \right\} [/mm] = span [mm] \left\{ {\pmat{ 1 \\ 4 \\ 7} , \pmat{ 0 \\ -3 \\ -6 } } \right\} [/mm] $.
Das zweite Erzeugendensystem ist linear unabhängig, also eine Basis, das erste hingegen nicht.
Es gibt auch Möglichkeiten eine Basis des Bildes zu bestimmen, indem man den Gaußalgorithmus auf die Zeilen und nicht die Spalten anwendet - das könnte bei dir ggf. für Verwirrung gesorgt haben.
Hier muss man aber etwas anders arbeiten und da dein Vorgehen auch nicht falsch ist würde ich dir raten dabei zu bleiben.
lg
Schadow
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