Bild und Kern einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Mo 10.05.2010 | | Autor: | Olga1234 |
| Aufgabe | Die Matrix A erfüllt die folgenden Bedingungen:
[mm] A\vektor{1\\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 0}
[/mm]
[mm] A\vektor{0\\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 6 \\ 0}
[/mm]
a) Die Matrix A definiert eine Abbildung von V nach W. Bestimmen Sie V und W!
b) Prüfen sie, ob [mm] \vektor{2\\ 1} \in [/mm] Kern(A).
c) Bestimmen Sie A.
d) Bestimmen Sie Bild und Kern von A.
|
a)
V = [mm] \IR^{2}
[/mm]
W = [mm] \IR^{3}
[/mm]
b) Muss man dafür nicht erstmal A kennen?
c) Hier habe ich leider keinerlei Ansatz. Muss man das vllt so betrachten?
Sei v1 = [mm] \vektor{1 \\ 1}.
[/mm]
Sei v2 = [mm] \vektor{0 \\ 1}.
[/mm]
Dann ist
A * v1 = [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 0}
[/mm]
A * v2 = [mm] \vektor{4 \\ 6 \\ 0}.
[/mm]
und dann?
d) Beim Kern muss man doch A*v = 0 setzen.
aber was macht man beim bild?
Danke für die Hilfe!
|
|
| |
|
Hallo Olga1234,
> Die Matrix A erfüllt die folgenden Bedingungen:
>
> [mm]A\vektor{1\\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 0}[/mm]
> [mm]A\vektor{0\\ 1}[/mm] =
> [mm]\vektor{4 \\ 6 \\ 0}[/mm]
>
> a) Die Matrix A definiert eine Abbildung von V nach W.
> Bestimmen Sie V und W!
>
> b) Prüfen sie, ob [mm]\vektor{2\\ 1} \in[/mm] Kern(A).
>
> c) Bestimmen Sie A.
>
> d) Bestimmen Sie Bild und Kern von A.
>
> a)
> V = [mm]\IR^{2}[/mm]
> W = [mm]\IR^{3}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) Muss man dafür nicht erstmal A kennen?
Nein, es reicht, wenn du die Linearität von $A$ ausnutzt (A beschreibt dir ja eine lineare Abbildung. Die ist durch die Bilder von Basisvektoren eindeutig bestimmt)
Und hier bildet [mm] $\left\{\vektor{1\\1},\vektor{0\\1}\right\}$ [/mm] offensichtlich eine Basis des [mm] $\IR^2$
[/mm]
Prüfe, ob [mm] $A\cdot{}\vektor{2\\1}=\vektor{0\\0\\0}$ [/mm] ergibt, nutze wie gesagt die Linearität von A:
[mm] $A\cdot{}\vektor{2\\1}=A\cdot{}\left[2\cdot{}\vektor{1\\1}+(-1)\cdot{}\vektor{0\\1}\right]=\ldots$
[/mm]
>
> c) Hier habe ich leider keinerlei Ansatz. Muss man das vllt
> so betrachten?
>
> Sei v1 = [mm]\vektor{1 \\ 1}.[/mm]
> Sei v2 = [mm]\vektor{0 \\ 1}.[/mm]
>
> Dann ist
> A * v1 = [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 0}[/mm]
> A * v2 = [mm]\vektor{4 \\ 6 \\ 0}.[/mm]
>
> und dann?
Bestimme die Abbildungsmatrix bzgl. der Basis [mm] $\mathcal{B}=\left\{\vektor{1\\1},\vektor{0\\1}\right\}$
[/mm]
Wie ging das noch?
Bilder der Basisvektoren bestimmen, selbige als Linearkombination der Basis des Zielraumes darstellen und die Koeffizienten dieser LK als Spalten in eine Matrix packen ...
(Die Prozedur angewandt auf den i-ten Basisvektor liefert die i-te Spalte)
>
> d) Beim Kern muss man doch A*v = 0 setzen.
> aber was macht man beim bild?
Mache das anhand der Darstellungsmatrix aus c)
>
> Danke für die Hilfe!
>
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Mo 10.05.2010 | | Autor: | Olga1234 |
a) und b) sind fertig. Danke schon mal.
>
> Bilder der Basisvektoren bestimmen, selbige als
> Linearkombination der Basis des Zielraumes darstellen und
> die Koeffizienten dieser LK als Spalten in eine Matrix
> packen ...
Ist die Basis von [mm] \IR^{3} [/mm] in dem Fall B = { [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0\\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}} [/mm] oder nur B = { [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0\\ 1 \\ 0}}, [/mm] da die 3. komponente immer 0 ist?
> > d) Beim Kern muss man doch A*v = 0 setzen.
> > aber was macht man beim bild?
>
> Mache das anhand der Darstellungsmatrix aus c)
Kern ist klar, aber wie das Bild?
Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Mo 10.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> a) und b) sind fertig. Danke schon mal.
>
> >
> > Bilder der Basisvektoren bestimmen, selbige als
> > Linearkombination der Basis des Zielraumes darstellen und
> > die Koeffizienten dieser LK als Spalten in eine Matrix
> > packen ...
>
> Ist die Basis von [mm]\IR^{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
in dem Fall B = { [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0\\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Na klar !
> oder nur B = { [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0\\ 1 \\ 0}},[/mm]
> da die 3. komponente immer 0 ist?
Natürlich nicht !
>
>
> > > d) Beim Kern muss man doch A*v = 0 setzen.
> > > aber was macht man beim bild?
> >
> > Mache das anhand der Darstellungsmatrix aus c)
>
> Kern ist klar, aber wie das Bild?
die lineare Hülle von { [mm] \vektor{2\\ 3 \\ 0}, \vektor{4\\ 6 \\ 0} [/mm] }
............. und diese Hülle = ???
FRED
>
> Danke!
|
|
|
| |
|
Hallo, ich sitze auch an dieser Aufgabe und komme allein mit der Fragestellung nicht zurecht. Auch die Antworten hier im Forum verwirren mich eher, als das sie mich bereichern könnten.
>c.) Bestimmen sie A.
Was genau ist damit gemeint?
A ist doch schon bestimmt, durch [mm] \IR^{2} \mapsto \IR^{3} [/mm] mit Basis von V := [mm] {\vektor{1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1}} [/mm] und Basis von W := [mm] {\vektor{1 \\ 0\\ 0}, \vektor{0\\ 1\\ 0}, \vektor{0 \\ 0\\ 1}}
[/mm]
>d.) Bestimmen Sie Bild(A), sowie eine Basis von Bild(A).
Hier bin ich völlig hilflos und weiß nicht was ich machen muss. Ich habe als Definition Bild(A):= [mm] \{A\*x \in \IR^{2} | x \in \IR^{3}\}. [/mm] Matrixmultiplikation kann ich ja nicht ausführen, da Spalten von V != Zeilen von W...
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Hallo, ich sitze auch an dieser Aufgabe und komme allein
> mit der Fragestellung nicht zurecht. Auch die Antworten
> hier im Forum verwirren mich eher, als das sie mich
> bereichern könnten.
>
> >c.) Bestimmen sie A.
> Was genau ist damit gemeint?
> A ist doch schon bestimmt, durch [mm]\IR^{2} \mapsto \IR^{3}[/mm]
> mit Basis von V := [mm]{\vektor{1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1}}[/mm] und
> Basis von W := [mm]{\vektor{1 \\ 0\\ 0}, \vektor{0\\ 1\\ 0}, \vektor{0 \\ 0\\ 1}}[/mm]
Nein, damit schreibst du doch bloß, dass A eine Matrix ist, die Vektoren aus [mm] \IR^{2} [/mm] nach [mm] \IR^{3} [/mm] abbildet. Was hier gesucht ist, ist die "wahre Form" von A. A ist eine 3x2-Matrix (3 Zeilen, zwei Spalten), und dort stehen irgendwelche Werte drin.
Du weißt: In der ersten Spalte von A steht gerade [mm] A*\vektor{1\\0}, [/mm] in der zweiten Spalte von A steht [mm] A*\vektor{0\\1}.
[/mm]
(Wenn man eine Matrix mit den kartesischen Einheitsvektoren multipliziert, kommen die jeweiligen Spalten von A heraus).
Du bekommst also das Aussehen von A, wenn du schaust, welche Vektoren A wohin abbildet (siehe Aufgabenstellung) und daraus mit Hilfe der Linearität von A schließt, wohin A die Einheitsvektoren abbildet.
> >d.) Bestimmen Sie Bild(A), sowie eine Basis von Bild(A).
> Hier bin ich völlig hilflos und weiß nicht was ich
> machen muss. Ich habe als Definition Bild(A):= [mm]\{A\*x \in \IR^{2} | x \in \IR^{3}\}.[/mm]
> Matrixmultiplikation kann ich ja nicht ausführen, da
> Spalten von V != Zeilen von W...
Wieso kannst du dann keine Matrixmultiplikation ausführen?
Es gilt: Ein Erzeugendensystem des Bildes von A ist das folgende Tupel [mm] (Ae_{1},Ae_{2}), [/mm] wobei [mm] e_{1},e_{2} [/mm] die kartesischen Einheitsvektoren des Urbildraums [mm] \IR^{2} [/mm] sind. Diese bilden nämlich eine Basis von A, d.h. man kann alle Vektoren des Urbildraums durch eine Linearkombination von [mm] e_{1} [/mm] und [mm] e_{2} [/mm] darstellen. Ist also [mm] v\in\IR^{2} [/mm] beliebig, so ist
$v = [mm] \lambda_{1}*e_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*e_{2}$
[/mm]
für bestimmte [mm] \lambda_{1},\lambda_{2}\in\IR. [/mm] Damit ist:
$Av = [mm] A(\lambda_{1}*e_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*e_{2}) [/mm] = [mm] \lambda_{1}*Ae_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*Ae_{2}$.
[/mm]
--> $Bild(A) = [mm] \{\lambda_{1}*Ae_{1} + \lambda_{2}*Ae_{2}|\lambda_{1},\lambda_{2}\in\IR\} [/mm] = [mm] Lin(Ae_{1},Ae_{2})$.
[/mm]
Das bedeutet nichts anderes, als das ein Erzeugendensystem des Bildes von A gerade die Spalten von A sind.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Wie kann A eine 3x2 Matrix sein, wenn
[mm] A\vektor{1\\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 0} [/mm] , also ein 3x1 dabei rauskommt. Das macht für mich gar keinen Sinn ?_?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Wie kann A eine 3x2 Matrix sein, wenn
> [mm]A\vektor{1\\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 0}[/mm] , also ein 3x1 dabei
> rauskommt. Das macht für mich gar keinen Sinn ?_?
Für mich macht das schon Sinn. Du weißt, wie Matrizenmultiplikation funktioniert (?):
$A = [mm] \pmat{1 & 1\\ 2 & 3\\ 4 & 5}$
[/mm]
Dann:
[mm] $A*\vektor{1\\1} [/mm] = [mm] \pmat{1 & 1\\ 2 & 3\\ 4 & 5}*\vektor{1\\1} [/mm] = [mm] \vektor{1*1 + 1*1\\2*1 + 3*1\\ 4*1 + 5*1} [/mm] = [mm] \vektor{2\\5\\9}$
[/mm]
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Okay, nochmal für mich zum Verständnis:
Bilder der Basisvektoren
[mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 0}=A\*\vektor{1 \\ 1}=\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 0 & 0 }*\vektor{1 \\ 1}
[/mm]
und
[mm] \vektor{4 \\ 6 \\ 0}=A\*\vektor{0 \\ 1}=\pmat{ 0 & 4 \\ 0 & 6 \\ 0 & 0 }*\vektor{0 \\ 1};
[/mm]
Als Linearkombination
[mm] A=\pmat{ 1\lambda_{1}+0\lambda_{2} & 1\lambda_{1}+4\lambda_{2} \\ 2\lambda_{1}+0\lambda_{2} & 1\lambda_{1}+6\lambda_{2} \\ 0\lambda_{1}+0\lambda_{2} & 0\lambda_{1}+0\lambda_{2}}=\pmat{ \lambda_{1} & \lambda_{1}+4\lambda_{2} \\ 2\lambda_{1} & \lambda_{1}+6\lambda_{2} \\ 0 & 0};
[/mm]
Das Bild (Aufgabe d) wäre demnach
[mm] A\*\vektor{x_{1} \\ x_{2}}=\pmat{ x_{1}\lambda_{1} & x_{2}(\lambda_{1}+4\lambda_{2}) \\ 2x_{1}\lambda_{1} & x_{2}(\lambda_{1}+6\lambda_{2}) \\ 0x_{1} & 0x_{2}};
[/mm]
und die Basis wäre die Menge der einzelnen Spalten.
So richtig?
Vielen Dank schonmal. Langsam dämmerts. :)
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Okay, nochmal für mich zum Verständnis:
> Bilder der Basisvektoren
> [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 0}=A\*\vektor{1 \\ 1}=\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 0 & 0 }*\vektor{1 \\ 1}[/mm]
>
> und
> [mm]\vektor{4 \\ 6 \\ 0}=A\*\vektor{0 \\ 1}=\pmat{ 0 & 4 \\ 0 & 6 \\ 0 & 0 }*\vektor{0 \\ 1};[/mm]
Die beiden Rechnungen stimmen. Du scheinst jetzt verstanden zu haben, dass es geht 
Allerdings: Du musst natürlich für beide Gleichungen dasselbe A finden, und darin besteht die Herausforderung. Deine weitere Rechnung ist dafür leider nicht sehr förderlich...
Ich hatte dir schon geschrieben: Wenn wir [mm] \vektor{4 \\ 6 \\ 0}=A\*\vektor{0 \\ 1} [/mm] kennen, wissen wir automatisch die zweite Spalte von A, sie ist [mm] \vektor{4 \\ 6 \\ 0}.
[/mm]
Um nun noch die erste Spalte von A zu bestimmen, brauchen wir das Ergebnis von [mm] A*\vektor{1\\0}. [/mm] Ich verrate dir jetzt den "Trick":
[mm] $A*\vektor{1\\0} [/mm] = [mm] A*\Big(\vektor{1\\1} [/mm] - [mm] \vektor{0\\1}\Big) [/mm] = ...$
Verstehst du? Wir stellen den Vektor, dessen Bild unter A wir gerne kennen wollen, als Linearkombination von Vektoren dar, deren Bilder von A wir schon kennen. Weil A linear ist, ist dann.......
---> Wie sieht also A aus?
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
[mm] A\cdot{}\vektor{1\\0} [/mm] = [mm] A\cdot{}\Big(\vektor{1\\1} [/mm] - [mm] \vektor{0\\1}\Big) [/mm] = [mm] \vektor{2\\3\\0}-\vektor{4\\6\\0}=\vektor{-2\\-3\\0};
[/mm]
[mm] A=\pmat{ -2\lambda_{1} & 4\lambda_{2} \\ -3\lambda_{1} & 6\lambda_{2} \\ 0 & 0 }
[/mm]
Damit Bild(A) [mm] =\vektor{-2x_{1}+4x_{2}\\-3x_{1}+6x_{2}\\0};
[/mm]
Und eine [mm] B_{Bild(A)} [/mm] = [mm] \{\vektor{2\\3\\0},\vektor{0\\0\\1}\}, [/mm] da [mm] \vektor{4\\6\\0} [/mm] durch Linearität herausfällt.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> [mm]A\cdot{}\vektor{1\\0}[/mm] = [mm]A\cdot{}\Big(\vektor{1\\1}[/mm] -
> [mm]\vektor{0\\1}\Big)[/mm] =
> [mm]\vektor{2\\3\\0}-\vektor{4\\6\\0}=\vektor{-2\\-3\\0};[/mm]
> [mm]A=\pmat{ -2\lambda_{1} & 4\lambda_{2} \\ -3\lambda_{1} & 6\lambda_{2} \\ 0 & 0 }[/mm]
Ich verstehe nicht, warum du immer die [mm] \lambda [/mm] da hinschreibst. Wir wissen nun, es ist:
$A = [mm] \pmat{-2 & 4\\ - 3 & 6\\ 0 & 0}$
[/mm]
> Damit Bild(A) [mm]=\vektor{-2x_{1}+4x_{2}\\-3x_{1}+6x_{2}\\0};[/mm]
> Und eine [mm]B_{Bild(A)}[/mm] =
> [mm]\{\vektor{2\\3\\0},\vektor{0\\0\\1}\},[/mm] da [mm]\vektor{4\\6\\0}[/mm]
> durch Linearität herausfällt.
Das mit dem herausfallen ist richtig, aber warum bitte ist [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] im Bild enthalten? Ein Erzeugendensystem des Bildes von A bilden die Spalten von A.
Da der zweite Vektor herausfällt, ist eine Basis des Bildes von A gerade [mm] (\vektor{-2\\-3\\0}).
[/mm]
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Die Lambda sind natürlich Quatsch von mir. Und der Vektor [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] ebenfalls, da hab ich wohl irgendwelche Räume durcheinander geworfen.
Aber vielen Dank für die Hilfestellung. Jetzt klappt's ja doch schon ganz gut. Danke!
|
|
|
|
