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| Aufgabe | b) Gegeben seien die Unterräume
U1 = [mm] {\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1},\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}} [/mm] und [mm] U2={\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}} [/mm] in [mm] \IR^4
[/mm]
Zeigen Sie: [mm] \IR^4 [/mm] ist die direkte Summe von U1 und U2. (klar) Bestimmen Sie das Bild von [mm] \vektor{a \\ b \\ c \\ d} \in \IR^4
[/mm]
unter der Projektion entlang U2 auf U1. |
Also jetzt verstehe ich nicht so Richtig die Aufgabenstellung. Die Projektion ist ja definiert als p(u1 [mm] \in [/mm] U1 + u2 [mm] \in [/mm] U2)=u1 [mm] \in [/mm] U1 (bed1)
Nun habe ich mir gedacht für die obige Aufgaben stellung ist mein p(x)=A*x
A sei eine Matrix. Damit p(x) die obige Bedingung (bed1) erfühlt muss die Matrix einfach aus den Vektoren von U1 sein und einer 0 Spalte .
Also p(x)= [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 } [/mm] * [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4} [/mm] = [mm] \vektor{x2 \\ x3 \\ 0 \\ x1} [/mm]
Nun soll ich laut Aufgabenstellung bestimmen
Bild p(x)= [mm] \vektor{a \\ b \\ c \\ d} [/mm] ,
aber egal was ich einsetze der Vektor muss doch aus U1 sein und da kann es kein solches ergebniss geben da c=0 immer ist.
Also schätze ich ich hab die Aufgabenstellung misverstanden , kann bitte einer Erklären was da mit der Frage in der Aufgabenstellung gemeint war.
Danke!
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oder hab ich die Definition Misverstanden?
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> b) Gegeben seien die Unterräume
> U1 = [mm]{\vektor{0 \\
0 \\
0 \\
1},\vektor{1 \\
0 \\
0 \\
0},\vektor{0 \\
1 \\
0 \\
0}}[/mm]
> und [mm]U2={\vektor{1 \\
1 \\
1 \\
0}}[/mm] in [mm]\IR^4[/mm]
> Zeigen Sie: [mm]\IR^4[/mm] ist die direkte Summe von U1 und U2.
> (klar) Bestimmen Sie das Bild von [mm]\vektor{a \\
b \\
c \\
d} \in \IR^4[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> unter der Projektion entlang U2 auf U1.
Hallo,
ich denke, daß Du die Aufgabenstellung durchaus verstanden hast.
Nicht richtig verstanden hast Du offenbar die Darstellungsmatrizen bzgl verschiedener Basen.
Ich hab' allerdings den Eindruck, daß Du prinzipiell durchaus weißt, wie man die darstellungsmatrix bzgl derStandardbasis ausfstellt - und das machen wir jetzt.
Wir nehmen also die Standardbasis B=($e_1:=vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},e_2:=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},e_3:=\vektor{0\\0\\1\\0},e_4:=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1},\}$).
Wir brauchen nun die Bilder der Basisvektoren.
Drei davon sind leicht:
f(e_1)=e_1, f(e_2)=e_2, f(e_4)=e_4.
f(e_3) bekommst Du, indem Du e_3 als Linearkombination von e_1, e_2, e_4 und dem Vektor \vetor{1\\1\\1\\0} schreibst und dann die Linearitätder Abbildung verwendest.
Steckst Du nun die Bilder von e_1, 2_2, e_3, e_4 als Spalten in eine Matrix, so ist dies die darstellungsmatrix der Projektion bzgl der Standardbasis. Wenn Du mit Vektoren multiplizierst, bekommst Du deren Bild unter der Projektion.
Anderer Weg ohne Matrix:
schreibe \vektor{a \\ b \\ c \\ d} als Linearkombination von $\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1},\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}$ und berechne dann seinen Funktionswert, indem Du die Linearität von p nutzt.
LG Angela
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