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| Aufgabe | Es seien [mm]K[/mm] ein Körper, [mm]V[/mm] ein Vektorraum über [mm]K[/mm] und [mm]A,B \in End_K \left( V \right)[/mm]. Zeigen Sie die folgende Aussage.
a) [mm]Im \left( A + B \right) \subset Im \left( A \right) + Im \left( B \right) [/mm] |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Ich habe diesen Beweis erst mal angefangen, wie man halt solche Inklusionsbeweise anfängt:
Sei [mm]v \in V[/mm] beliebig, dann gilt:
[mm] v \in Im \left( A + B \right) \gdw v \in \left( A + B \right) \left( V \right)[/mm]
und hier hört es auch schon auf. Vor allem hänge ich daran, dass [mm]Im \left( A \right) , Im \left( B \right) [/mm] Mengen sind und ich gerade gar keine Ahnung habe, was ich in diesem Zusammenhang unter der Addition von Mengen zu verstehen habe. Soll das die Vereinigung sein?
Und kann man für diesen Fall den Beweis dann wie folgt führen:
[mm] v \in Im \left( A + B \right) \gdw v \in \left( A + B \right) \left( V \right) \Rightarrow v \in A \left( V \right) \cup B \left( V \right) \gdw v \in Im \left( A \right) + Im \left( B \right)[/mm]
Ist der Schritt von Aussage 2 auf Aussage 3 zu groß? Mir fällt gerade nicht ein, wie ich das genauer aufschreiben kann...
Vielen Dank für eure Hilfe
mfg - devilsdoormat
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> Es seien [mm]K[/mm] ein Körper, [mm]V[/mm] ein Vektorraum über [mm]K[/mm] und [mm]A,B \in End_K \left( V \right)[/mm].
> Zeigen Sie die folgende Aussage.
>
> a) [mm]Im \left( A + B \right) \subset Im \left( A \right) + Im \left( B \right)[/mm]
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> Hallo,
>
> ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Ich habe diesen Beweis erst mal angefangen, wie man halt
> solche Inklusionsbeweise anfängt:
>
> Sei [mm]v \in V[/mm] beliebig, dann gilt:
>
> [mm]v [mm] \in [/mm] Im [mm] \left( A + B \right) [/mm]
Hallo,
wenn v im Bild von A+B liegt, dann gibt es doch ein [mm] x\in [/mm] V, welches durch A+B auf v abgebilset wird, für welches also v=(A+B)x gilt
> Vor allem hänge ich daran,
> dass [mm]Im \left( A \right) , Im \left( B \right)[/mm] Mengen sind
Die Addition von Mengen bzw. Unterräumen habt Ihr bestimmt definiert. [mm] X+Y:=\{x+y| x\in X und y\in Y\}. [/mm] Also sämtliche Summen, die man aus Elementen aus X und Y bilden kann.
Wende auf (A+B)x die Gesetze der Matrizenmultiplikation an und überlege Dir, warum das Ergebnis in Im(A) + Im(B) liegt.
Gruß v. Angela
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Hi,
danke für deine Antwort!
Auch, wenn diese Definition der Summe sehr einleuchtend und intuitiv ist, so hatten wir sie tatsächlich nicht. Ich habe extra noch mal unser Skript (auch das Analysis-Skript) durchgeguckt.
Meine Argumentation sieht jetzt in Worten so aus: wenn v aus dem Bild der Summe ist, so existiert ein x aus V, so dass (A+B)(x) = v gilt. Das heißt aber A(x)+B(x) = v (da die Addition von Abbildungen punktweise erklärt ist). Und das heißt wiederum, dass v aus [Im(A)+Im(B)] ist, da A(x), bzw. B(x) Elemente von Im(A), bzw. Im(B) sind. Und mit der Definition der Summe von Mengen von oben natürlich.
Lg.
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> Meine Argumentation sieht jetzt in Worten so aus: wenn v
> aus dem Bild der Summe ist, so existiert ein x aus V, so
> dass (A+B)(x) = v gilt. Das heißt aber A(x)+B(x) = v (da
> die Addition von Abbildungen punktweise erklärt ist). Und
> das heißt wiederum, dass v aus [Im(A)+Im(B)] ist, da A(x),
> bzw. B(x) Elemente von Im(A), bzw. Im(B) sind. Und mit der
> Definition der Summe von Mengen von oben natürlich.
hallo,
ja, so ist es.
Gruß v. Angela
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