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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:39 Do 15.03.2007 | | Autor: | Hollo |
| Aufgabe | Ist folgende Aussage wahr oder falsch?
Für [mm] f : \IC \to \IC, f(z)=z^{4} [/mm] gilt [mm] f(\{ z \in \IC | Re z \ge 0 , Im z \ge 0\}) [/mm] = [mm] \IC [/mm] |
Hallo!
Hab zunächst einmal z=a+ib, a,b [mm] \ge [/mm] 0 gesetzt.
Dann ist [mm] f(z) = f(a+ib) = (a+ib)^{4}
= (a^{4}-6a^{2}b^{2}+b^{4})+i(4a^{3}b-4ab^{3}) [/mm]
Jetzt ist die Frage ob sich jede komplexe Zahl wie oben mit a,b größer Null darstellen lässt.. Ich vermute mal ja, kanns aber nicht erklären. Vielleicht gibt es ja auch eine anschauliche Erklärung..
-gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Do 15.03.2007 | | Autor: | mijus |
>... Vielleicht gibt es ja auch eine
> anschauliche Erklärung..
>
Hallo,
ja, es gibt eine anschauliche Erklärung.
Vielleicht findest du diese selbst, wenn du die komplexe Zahl einmal in Polarkoordinaten darstellst...
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Do 15.03.2007 | | Autor: | Hollo |
Hm, also das Im z, Re z [mm] \ge [/mm] 0 sind spielt eigentlich keine Rolle oder?
Und in Polarform ist [mm] f(z)=|z|^{4}*e^{4i\alpha}
[/mm]
Und nun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Do 15.03.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Hollo,
betrachte noch den Definitionsbereich Deiner Aufgabe, das ist genau der erste Quadrant in der komplexen Ebene. Über die Lösung mit Polarkoordinaten hast Du den Abbildungsbereich schön dargestellt. Jeder Punkt im ersten Quadranten hat in der Abbildung einen Abstand vom Nullpunkt, der um die vierte Potenz größer ist und der Winkel zur x-Achse vervierfacht sich. Auf Deutsch gesagt, die Werte des ersten Quadranten werden auf die gesamte komplexe Ebene abgebildet und das war genau die Aussage.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Do 15.03.2007 | | Autor: | Hollo |
Cool, danke 
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