Bilden die Vektoren eine Basis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Mo 19.01.2009 | | Autor: | ownshake |
| Aufgabe | Sei U der Unterraumraum des Vektorraumes [mm] \IR^4, [/mm] der durch folgende homogene Gleichung gegeben ist:
[mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} [/mm] = 0
Zeigen Sie, dass die folgenden Vektoren eine Basis von U bilden.
b1= [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ -1}, [/mm] b2= [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ -1 \\ -3},b3= \vektor{3 \\ -1 \\ -1 \\ -1}
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallöchen :),
habe da ein Problem bei dieser Aufgabe. Und zwar, um zu zeigen das die Vektoren eine Basis von U sind, habe ich eine Matrix gebildet und dort herrausgefunden das diese 3 Vektoren linear unabhängig sind.
Das wäre doch ansich schon ein Beweis das sie eine Basis bilden oder?
Außerdem meine ich mich zu erinnern, dass wenn man in einem [mm] \IR^4 [/mm] ist, das dann 4 Vektoren eine Basis bilden? Oder verwechsel ich da etwas?
Da U ein Untervektorraum ist, reicht es da dass es nur 3 Vektoren sind?
Ich weiss jetzt nicht wie ich bei der Aufgabe weiter machen muss?
Wie gesagt ich hab eine Matrix aufgestellt und nach Gauss gelöst.
Dann hab ich nach Gauss das erhalten:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 3 \\ 0 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Daraus lässt sich schließen das die 3 Vektoren linear unabhängig sind.
Aber wie löse ich die Aufgabe ab hier weiter?
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
LG ownshake
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Mo 19.01.2009 | | Autor: | djmatey |
> Sei U der Unterraumraum des Vektorraumes [mm]\IR^4,[/mm] der durch
> folgende homogene Gleichung gegeben ist:
>
> [mm]x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}[/mm] = 0
>
> Zeigen Sie, dass die folgenden Vektoren eine Basis von U
> bilden.
>
> b1= [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ -1},[/mm] b2= [mm]\vektor{3 \\ 1 \\ -1 \\ -3},b3= \vektor{3 \\ -1 \\ -1 \\ -1}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallöchen :),
Hallo! 
> habe da ein Problem bei dieser Aufgabe. Und zwar, um zu
> zeigen das die Vektoren eine Basis von U sind, habe ich
> eine Matrix gebildet und dort herrausgefunden das diese 3
> Vektoren linear unabhängig sind.
> Das wäre doch ansich schon ein Beweis das sie eine Basis
> bilden oder?
Nein.
Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, d.h. um zu zeigen, dass es eine Basis von U ist, musst du zwei Dinge nachweisen:
1) Lineare Unabhängigkeit der Vektoren
2) Vektoren bilden Erzeugendensystem von U
Den ersten Punkt hast du ja schon gezeigt, den zweiten aber noch nicht. Du musst also zeigen, dass jeder Vektor aus U als Linearkombination der drei angegebenen Vektoren dargestellt werden kann.
> Außerdem meine ich mich zu erinnern, dass wenn man in
> einem [mm]\IR^4[/mm] ist, das dann 4 Vektoren eine Basis bilden?
> Oder verwechsel ich da etwas?
Um den kompletten [mm] \IR^4 [/mm] aufzuspannen, benötigst du vier Vektoren, richtig. U ist aber ein Unterraum des [mm] \IR^4 [/mm] mit der speziellen Eigenschaft der Nullgleichung, daher kann U auch eine kleinere Dimension als der [mm] \IR^4 [/mm] haben.
> Da U ein Untervektorraum ist, reicht es da dass es nur 3
> Vektoren sind?
Kann sein. Es gilt dim(U) [mm] \le dim(\IR^4)
[/mm]
> Ich weiss jetzt nicht wie ich bei der Aufgabe weiter
> machen muss?
> Wie gesagt ich hab eine Matrix aufgestellt und nach Gauss
> gelöst.
> Dann hab ich nach Gauss das erhalten:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 3 \\ 0 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Daraus lässt sich schließen das die 3 Vektoren linear
> unabhängig sind.
> Aber wie löse ich die Aufgabe ab hier weiter?
> Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
> LG ownshake
LG djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Mo 19.01.2009 | | Autor: | ownshake |
Vielen Dank erstmal fürs antworten.
"Du musst also zeigen, dass jeder Vektor aus U als Linearkombination der drei angegebenen Vektoren dargestellt werden kann. "
Da haben wir schon das Problem. Ich weiß nicht wie so etwas geht.
ich habe ja jetzt 3 Vektoren aus U die halt auch gleichzeitig die Basis bilden sollten, wenns so ist. Aber ich habe doch keine Vektoren gegeben aus U um zu schauen, ob ich aus den 3 Vektoren die darstellen kann?
Warscheinlich hat es etwas mit dem hier zu tun oder?
x1+x2+x3+x4= 0
Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch.
Wäre nett wenn du mir einen Ansatz geben könntest, wie man zeigt das die Vektoren ein erzeugenden System sind.
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Hallo ownshake,
> Vielen Dank erstmal fürs antworten.
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> "Du musst also zeigen, dass jeder Vektor aus U als
> Linearkombination der drei angegebenen Vektoren dargestellt
> werden kann. "
>
> Da haben wir schon das Problem. Ich weiß nicht wie so etwas
> geht.
> ich habe ja jetzt 3 Vektoren aus U
das hast du geprüft ?
> die halt auch gleichzeitig die Basis bilden sollten, wenns so ist. Aber
> ich habe doch keine Vektoren gegeben aus U um zu schauen,
> ob ich aus den 3 Vektoren die darstellen kann?
> Warscheinlich hat es etwas mit dem hier zu tun oder?
> x1+x2+x3+x4= 0
>
> Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch.
> Wäre nett wenn du mir einen Ansatz geben könntest, wie man
> zeigt das die Vektoren ein erzeugenden System sind.
Nimm dir einen beliebigen Vektor [mm] $\vec{x}=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}\in [/mm] U$ her und versuche, ihn als LK deiner 3 vermeintlichen Basisvektoren darzustellen.
Dazu nutze die Eigenschaft von U aus
Was bedeutet es, dass [mm] $\vec{x}\in [/mm] U$ ist?
Doch, dass [mm] $x_1+x_2+x_3+x_4=0$ [/mm] ist
4 Unbekannte, 1 Gleichung, also 3 freie Parameter, sagen wir [mm] $x_4=c, x_3=b, x_2=a$ [/mm] mit [mm] $a,b,c\in\IR$
[/mm]
Dann ist [mm] $x_1=-x_2-x_3-x_4=-a-b-c$
[/mm]
Also sieht ein allg. Vektor aus U so aus: [mm] $\vec{x}=\vektor{-a-b-c\\a\\b\\c}$
[/mm]
Den musst du nun als LK der drei gegebenen Vektoren darstellen:
[mm] $\vektor{-a-b-c\\a\\b\\c}=\lambda\cdot{}\vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ -1}+\mu\cdot{}\vektor{3 \\ 1 \\ -1 \\ -3}+\nu\cdot{} \vektor{3 \\ -1 \\ -1 \\ -1}$
[/mm]
Stelle das zugeh. LGS in Matrixform auf und löse es nach den Unbekannten [mm] $\lambda,\mu,\nu$ [/mm] auf.
Wenn das klappt, dann hast du gewonnen 
Falls nicht, bilden die Biester halt kein EZS
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Mo 19.01.2009 | | Autor: | ownshake |
Also ich habe jetzt mal für a,b,c feste Zahlen genommen:
a=1
b=2
c=3
und dann das LGS aufgestellt und wieder nach Gauss gelöst.
Dann kam ich zu dieser Lösung:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 3 & -6 \\ 0 & 4 & 2 & -5 \\ 0 & 0 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Daraus folgt:
2v = -3
v= [mm] -\bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] 4\mu [/mm] +2 [mm] (-\bruch{3}{2}) [/mm] = -5
[mm] \mu [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] 1\lambda [/mm] +3 [mm] (-\bruch{1}{2}) [/mm] + 3 [mm] (-\bruch{3}{2}) [/mm] = -6
[mm] \lambda [/mm] = 0
Und somit hat das LGS eine Lösung und es wurde gezeigt das die Vektoren ein erzeugenden System sind? Sehe ich das richtig?
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Hallo nochmal,
> Also ich habe jetzt mal für a,b,c feste Zahlen genommen:
> a=1
> b=2
> c=3
>
> und dann das LGS aufgestellt und wieder nach Gauss gelöst.
> Dann kam ich zu dieser Lösung:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 3 & -6 \\ 0 & 4 & 2 & -5 \\ 0 & 0 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Daraus folgt:
>
> 2v = -3
> v= [mm]-\bruch{3}{2}[/mm]
>
> [mm]4\mu[/mm] +2 [mm](-\bruch{3}{2})[/mm] = -5
> [mm]\mu[/mm] = [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]1\lambda[/mm] +3 [mm](-\bruch{1}{2})[/mm] + 3 [mm](-\bruch{3}{2})[/mm] = -6
> [mm]\lambda[/mm] = 0
>
> Und somit hat das LGS eine Lösung und es wurde gezeigt das
> die Vektoren ein erzeugenden System sind? Sehe ich das
> richtig?
Nein, damit hast du genau einen Vektor aus U erzeugt bzw. als LK der 3 Vektoren dargestellt
Du musst beliebige [mm] $a,b,c\in\IR$ [/mm] nehmen und in dem oben angesprochenen LGS [mm] $\lambda,\mu,\nu$ [/mm] in Abh. von $a,b,c$ ausdrücken.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Mo 19.01.2009 | | Autor: | ownshake |
wäre auch zu schön gewesen :)
Aber jetzt habe ich eine neue Lösung:
Als Endmatrix erhalte ich:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 3 & -a-b-c \\ 0 & 4 & 2 & -b-c \\ 0 & 0 & 2 & -a-b \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Daraus folgt:
2v = -a -b
v = [mm] -\bruch{1}{2}a -\bruch{1}{2}b
[/mm]
[mm] 4\mu [/mm] + [mm] 2(-\bruch{1}{2}a -\bruch{1}{2}b) [/mm] = -b -c
[mm] \mu [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}a [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}c
[/mm]
unf für [mm] \lambda [/mm] hab ich dann letzendlich:
[mm] \lambda [/mm] = [mm] -\bruch{1}{4}a +\bruch{1}{2}b -\bruch{1}{4}c
[/mm]
Eine kleine Probe habe ich noch gemacht:
2v = a - b
[mm] 2(-\bruch{1}{2}a [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}b [/mm] = a - b
a-b = a-b
und damit haut das ganze hin und die 3 Vekoren sind eine Basis von [mm] R^4? [/mm] Sehe ich das jetzt richtig?^^
Habe ich hiermit dann die ganze aufgabe gelöst?
Ich denke schon, bin mir da aber nicht so ganz sicher, da ich noch zu unsicher auf dem Gebiet bin
Auch nochmal vielen Dank für die ganze Mühe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 Mo 19.01.2009 | | Autor: | ownshake |
Ja stimmt, meinte natürlich von U.
Irgendwie kommt man nach nem Tag Uni und dannach noch Mathe mit soetwas durcheinander *g*
Da freu ich mich ja jetzt das ich(wir) das schonmal gelöst habe :). Dann werd ich mich mal an die nächste Aufgabe ransetzen.
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