Bilder von Basen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:03 Di 31.01.2006 | | Autor: | AriR |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey leute, was genau bedeutet der satz: "Lineare Abbildungen sind durch die Bilder einer Basis eindeutig bestimmt?" heißt das, dass man immer min1 lineare Abb. konstruieren kann, weil man einfach die Bilder der Basen nur bestimmt muss?
Gruß Ari
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Hallo!
Es ist so, dass die Spalten einer Matrix die Bilder der Basisvektoren ist.
Wenn ich z.b. die Matrix [mm] \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2&3\end{pmatrix} [/mm] habe, und nehmen wir die kanonische Basis, dann wird [mm] \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} [/mm] auf [mm] \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} [/mm] geworfen und [mm] \begin{pmatrix} 0\\1\end{pmatrix} [/mm] auf [mm] \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}.
[/mm]
Du musst also nur herausfinden, was die Bilder der Basisvektoren sind und schreibst diese dann in die Spalten der Matrix (vorausgesetzt wir reden hier von Matrices).
Gruß Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:19 Mi 01.02.2006 | | Autor: | AriR |
und welche eigenschafte hat dann diese lin. abb??
ich verstehe denn sinn der ganzen sache nicht so ganz =(
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Hallo!
> und welche eigenschafte hat dann diese lin. abb??
> ich verstehe denn sinn der ganzen sache nicht so ganz =(
Mmh - welche Eigenschaften? Sie ist halt linear...  Also, um nochmal zu deiner Ausgangsfrage zurückzukommen:
"Lineare Abbildungen sind durch die Bilder einer Basis eindeutig bestimmt" bedeutet, dass du die gesamte Abbildung kennst, sobald du nur die Bilder der Basis kennst. Nehmen wir also an, du sollst eine lineare Abbildung [mm] f:\IR^2\to\IR^2 [/mm] angeben, von der du nur folgendes weißt:
[mm] f(\vektor{1\\0})=\vektor{1\\0}
[/mm]
[mm] f(\vektor{0\\1})=\vektor{0\\1}
[/mm]
Das heißt, du kennst nur die Bilder der Basisvektoren.
Nun könntest du dir überlegen, dass du, wenn du die Abbildung angeben sollst, irgendwie angeben musst, wie ein beliebiger Vektor [mm] \in\IR^2 [/mm] durch diese Abbildung abgebildet wird. Nehmen wir mal z. B. den Vektor [mm] \vektor{2\\5}. [/mm] Was ist das Bild davon? Könntest du das berechnen?
Da die Abbildung linear ist, gilt f(x+y)=f(x)+f(y) und f(a*x)=a*f(x). Nun können wir unseren Vektor folgendermaßen als Linearkombination unserer Basisvektoren darstellen:
[mm] \vektor{2\\5}=2*\vektor{1\\0}+5*\vektor{0\\1}
[/mm]
Und nun wenden wir die eben angegebene Eigenschaft einer linearen Abbildung an und können so [mm] f(\vektor{2\\5}) [/mm] berechnen:
[mm] f(\vektor{2\\5})=2*f(\vektor{1\\0})+5*f(\vektor{0\\1})=2*\vektor{1\\0}+5*\vektor{0\\1}=\vektor{2\\5}
[/mm]
Und so können wir das theoretisch für jeden beliebigen Vektor machen und so die gesamte lineare Abbildung "berechnen" bzw. angeben. Und alles, was wir anfangs kannten, waren die Bilder der Basisvektoren (und natürlich die Eigenschaft, dass die Abbildung linear ist). Und nun kennen wir doch schon die gesamte Abbildung. Das ist das, was dieser Satz besagt. Wie man dann die Abbildung wirklich angibt, hat dir ja schon jemand anderes beantwortet.
Nun alles klar?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:03 Mi 01.02.2006 | | Autor: | AriR |
Ich glaube besser kann man die Frage gar nicht mehr beantworten.. jo vielen dank, jetzt ist alles klar und ein großes lob an dich
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Mo 12.06.2006 | | Autor: | kuminitu |
Hallo,
hab noch mal eine frage zum Bild einer Abbildung,
ich habe folgende Vorschrift:
[mm] F\vektor{1 \\ 0\\0\\0} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1\\1} [/mm] ; [mm] F\vektor{0 \\ 1\\0\\0} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 0\\1} [/mm] ; [mm] F\vektor{0 \\ 0\\1\\0} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2\\3} [/mm] ; [mm] F\vektor{0\\ 0\\0\\1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1\\-3}
[/mm]
Wie berechne ich jetzt genau die Abbildungsvorschrift von F, das heisst das Bild eines beliebigen Vektors x aus R?
irgendwie habe ich den ansatz von bastianne ausprobiert, bin aber auf nichts sinnvolles gekommen,
bitte um Hilfe
kuminitu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Mo 12.06.2006 | | Autor: | AriR |
also angenommen du willst f [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ 3 \\ 1} [/mm] berrechnen.
dann kannst du ja weil f linear ist auch sagen, dass ist f [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + f [mm] \vektor{0 \\ 4 \\ 0 \\ 0} [/mm] + f [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 3 \\ 0} [/mm] + f [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
und dafür kann man wieder schreiben, weil f- linear ist.
[mm] 2*f(e_1)+4*f(e_2)+3*f(e_3)+1*f(e_4) [/mm] wobei [mm] e_i [/mm] der i-te einheitsvektor des [mm] \IR^4 [/mm] sein soll.
und was [mm] f(e_1),...,f(e_4) [/mm] ist, ist ja laut aufgabe gegeben.
hilft dir das bsp weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Mo 12.06.2006 | | Autor: | kuminitu |
Hallo,
ich will ja jetzt die Abbildungsvorschrift von F bestimmen, dass heisst für einen beliebeigen Vektor x [mm] \in \IR^{4}. [/mm] dann will ich doch das berechnen: f $ [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}} [/mm] $.
dann komm ich doch auf
[mm] x_{1}$ \vektor{1 \\ 1\\1} [/mm] $ + [mm] x_{2}$ \vektor{-1 \\ 0\\1} [/mm] $ + [mm] x_{3}$ \vektor{1 \\ 2\\3} [/mm] $ + [mm] x_{4}$ \vektor{1 \\ -1\\-3} [/mm] $
bekomme ich jetzt das bild wenn ich dieses LGS löse??
kuminitu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Mo 12.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> ich will ja jetzt die Abbildungsvorschrift von F bestimmen,
> dass heisst für einen beliebeigen Vektor x [mm]\in \IR^{4}.[/mm]
> dann will ich doch das berechnen: f [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}} [/mm].
>
> dann komm ich doch auf
> [mm]x_{1}[/mm] [mm]\vektor{1 \\ 1\\1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] [mm]\vektor{-1 \\ 0\\1}[/mm] +
> [mm]x_{3}[/mm] [mm]\vektor{1 \\ 2\\3}[/mm] + [mm]x_{4}[/mm] [mm]\vektor{1 \\ -1\\-3}[/mm]
>
> bekomme ich jetzt das bild wenn ich dieses LGS löse??
Du sagst doch,ein beliebiger Vektor! also hast du doch kein LGS zu lösen, sondern bist fertig.!
etwas eleganter wär es, wenn du die 4 bilder Als Matrix hinschriebst, aber im Prinzip ist das ja dasselbe, nur die Matrix schon ausmultipliziert!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Mo 12.06.2006 | | Autor: | kuminitu |
Hallo,
danke für die Antworten, hätte aber noch eine kurze frage:
Wenn ich jetzt den Kern dieser Abbildungen berechnen will, muss ich doch f(x) = 0 berechnen, dass heisst $ [mm] x_{1} [/mm] $ $ [mm] \vektor{1 \\ 1\\1} [/mm] $ + $ [mm] x_{2} [/mm] $ $ [mm] \vektor{-1 \\ 0\\1} [/mm] $ + $ [mm] x_{3} [/mm] $ $ [mm] \vektor{1 \\ 2\\3} [/mm] $ + $ [mm] x_{4} [/mm] $ $ [mm] \vektor{1 \\ -1\\-3} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] $, oder?
Wenn ich jetzt das LGS löse, komme ich auf folgende Lösung:
[mm] x_{1}= -2x_{3} [/mm] + [mm] x_{4} [/mm] ; [mm] x_{2}= -x_{3} [/mm] + [mm] 2x_{4} [/mm] ; [mm] x_{3} \in \IR; x_{4} \in \IR
[/mm]
wie bestimme ich jetzt eine Basis vom Kern?
Wenn ich jetzt eine Basis vom Bild bestimmen soll,
würde ich das so machen:
der Vektor $ [mm] \vektor{1 \\ 1\\1} [/mm] $ lässt sich als linearkombination durch die anderen 3 Vektoren darstellen, da die anderen 3 Vektoren linear unabhängig sind, sind sie ein (endliches)erzeugendensystem von F und somit eine Basis.
War das jetzt richtig?
Wenn ja, wie bestimme ich dann eine basis vom kern, eigentlich müsste doch schon der Kern den ich bestimmt habe eine basis sein, oder??
Kuminitu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Mo 12.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo k
> Wenn ich jetzt den Kern dieser Abbildungen berechnen will,
> muss ich doch f(x) = 0 berechnen, dass heisst [mm]x_{1}[/mm]
> [mm]\vektor{1 \\ 1\\1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] [mm]\vektor{-1 \\ 0\\1}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm]
> [mm]\vektor{1 \\ 2\\3}[/mm] + [mm]x_{4}[/mm] [mm]\vektor{1 \\ -1\\-3}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm],
Ja
>
> Wenn ich jetzt das LGS löse, komme ich auf folgende
> Lösung:
> [mm]x_{1}= -2x_{3}[/mm] + [mm]x_{4}[/mm] ; [mm]x_{2}= -x_{3}[/mm] + [mm]2x_{4}[/mm] ; [mm]x_{3} \in \IR; x_{4} \in \IR[/mm]
hab nicht nachgerechnet.>
> wie bestimme ich jetzt eine Basis vom Kern?
du machst aus den Ergebnissen 2 lin. unabh. Vektoren, z. Bsp 1. x3=1 und x4=0 dann x3=0 x4=1
> Wenn ich jetzt eine Basis vom Bild bestimmen soll,
> würde ich das so machen:
>
> der Vektor [mm]\vektor{1 \\ 1\\1}[/mm] lässt sich als
> linearkombination durch die anderen 3 Vektoren darstellen,
> da die anderen 3 Vektoren linear unabhängig sind, sind sie
> ein (endliches)erzeugendensystem von F und somit eine
> Basis.
> War das jetzt richtig?
Der Kern ist 2d also kann das Bild nicht 3d ein, also sind deine 3 vektoren nicht lin unabhängig! wieso denkst du das?
Aber wenn du 2 lin unabh. auswählst ist das ne Basis!
> Wenn ja, wie bestimme ich dann eine basis vom kern,
> eigentlich müsste doch schon der Kern den ich bestimmt habe
> eine basis sein, oder??
da stehn doch allgemeine x3 und x4 drin!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Mo 12.06.2006 | | Autor: | kuminitu |
Hallo,
eine allerletze frage noch, warum muss der Kern 2d sein? und meiner Meinung nach sind diese 3 Vektoren doch linear unabhängig!?
$ [mm] \vektor{-1 \\ 0\\1} [/mm] $ + $ [mm] \vektor{1 \\ 2\\3} [/mm] $ + $ [mm] \vektor{1 \\ -1\\-3} [/mm] $
MFG
K
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Mo 12.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo,
>
> eine allerletze frage noch, warum muss der Kern 2d sein?
Du kannst x3 und x4 frei wählen!
> und meiner Meinung nach sind diese 3 Vektoren doch linear
> unabhängig!?
> [mm]\vektor{-1 \\ 0\\1}[/mm] + [mm]\vektor{1 \\ 2\\3}[/mm] + [mm]\vektor{1 \\ -1\\-3}[/mm]
was soll das + 3 Vektoren sind doch nicht lin unabhängig, wenn ihre Summe irgendwas ist?
Du musst doch nachweisen, dass sie lin. unabhängig sind das ist keine Meinungssache! und mein Argument mit 2d hast du auch nicht beachtet, deshalb rechne ich nicht nach sondern weiss. (Falls deine Rechng für den Kern richtig ist)
Gruss leduart
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