Bilder von Basis def. lin. Abb < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Di 22.12.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe hier einen Satz, dessen Beweis ich nicht verstehe.
Der Satz lautet:
Seien V und W Vektorräume über K und [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] eine Basis von V.
Dann gibt es zu jedem n-Tupel [mm] (w_1,...,w_n) [/mm] von Vektoren in W
genau eine lineare Abbildung $f:v [mm] \to [/mm] W$ mit [mm] f(v_i)=w_i [/mm] für alle i=1,...,n.
Wir haben den Beweis in Existenzbeweis und Eindeutigkeitsbeweis geteilt.
Den Existenzbeweis versteh ich nicht, er lautet bei uns wie folgt:
Für [mm] v=\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n [/mm] definieren wir [mm] f(v)=\lambda_1w_1+...+\lambda_nw_n.
[/mm]
Da sich jedes $v [mm] \in [/mm] V$ nur auf eine Weise als Linearkombination der Basisvektoren schreiben lässt,
ist dadurch wirklich eine Abbildung $f:v [mm] \to [/mm] W$ definiert.
Offenbar ist f linear und hat die Eigenschaft [mm] f(v_i)=w_i [/mm] für alle i=1,...,n.
Ich verstehe diesen Beweis nicht.
Ich verstehe auch nicht, wieso er die Aussage des Satzes überhaupt beweist.
Ich soll doch zeigen, dass ich für jede beliebige Wahl der n Vektoren aus W immer eine Abbildung finde, wo die gewählten Vektoren [mm] w_i [/mm] immer die Bilder der gegebenen Basis sind.
Aber wo wird das im Beweis bewiesen?
Ich lese dort nur, dass ich mir eine feste Abbildung f wähle, bei der das gilt, dass die [mm] w_i [/mm] gerade die Bilder der Basis sind.
Aber ich muss es ja für alle Abbildungen zeigen, dass es sie gibt, und dass sie die Eigenschaft [mm] f(v_i)=w_i [/mm] haben, wo passiert das im Beweis?
Könnte mir vielleicht jemand diesen Beweis erklären?
Vielen Dank.
LG Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Di 22.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe hier einen Satz, dessen Beweis ich nicht
> verstehe.
>
> Der Satz lautet:
>
> Seien V und W Vektorräume über K und [mm](v_1,...,v_n)[/mm] eine
> Basis von V.
> Dann gibt es zu jedem n-Tupel [mm](w_1,...,w_n)[/mm] von Vektoren
> in W
> genau eine lineare Abbildung [mm]f:v \to W[/mm] mit [mm]f(v_i)=w_i[/mm] für
> alle i=1,...,n.
>
> Wir haben den Beweis in Existenzbeweis und
> Eindeutigkeitsbeweis geteilt.
>
> Den Existenzbeweis versteh ich nicht, er lautet bei uns wie
> folgt:
>
> Für [mm]v=\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n[/mm] definieren wir
> [mm]f(v)=\lambda_1w_1+...+\lambda_nw_n.[/mm]
> Da sich jedes [mm]v \in V[/mm] nur auf eine Weise als
> Linearkombination der Basisvektoren schreiben lässt,
> ist dadurch wirklich eine Abbildung [mm]f:v \to W[/mm] definiert.
> Offenbar ist f linear und hat die Eigenschaft [mm]f(v_i)=w_i[/mm]
> für alle i=1,...,n.
>
> Ich verstehe diesen Beweis nicht.
>
> Ich verstehe auch nicht, wieso er die Aussage des Satzes
> überhaupt beweist.
>
> Ich soll doch zeigen, dass ich für jede beliebige Wahl der
> n Vektoren aus W immer eine Abbildung finde, wo die
> gewählten Vektoren [mm]w_i[/mm] immer die Bilder der gegebenen
> Basis sind.
>
> Aber wo wird das im Beweis bewiesen?
>
> Ich lese dort nur, dass ich mir eine feste Abbildung f
> wähle, bei der das gilt, dass die [mm]w_i[/mm] gerade die Bilder
> der Basis sind.
>
> Aber ich muss es ja für alle Abbildungen zeigen, dass es
> sie gibt, und dass sie die Eigenschaft [mm]f(v_i)=w_i[/mm] haben, wo
> passiert das im Beweis?
Nirgends. Die Beh. lautet doch:
"Dann gibt es zu jedem n-Tupel $ [mm] (w_1,...,w_n) [/mm] $ von Vektoren in W
genau eine lineare Abbildung $ f:v [mm] \to [/mm] W $ mit $ [mm] f(v_i)=w_i [/mm] $ für alle i=1,...,n."
Ist also ein n-Tupel $ [mm] (w_1,...,w_n) [/mm] $ gegeben, so muß man zeigen, das es genau eine lineare Abbildung $ f:v [mm] \to [/mm] W $ mit $ [mm] f(v_i)=w_i [/mm] $ für alle i=1,...,n gibt. Und genau das wurde oben gezeigt
FRED
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> Könnte mir vielleicht jemand diesen Beweis erklären?
>
> Vielen Dank.
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> LG Nadine
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