Bildintervalle < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Fr 19.06.2009 | | Autor: | Blub2009 |
| Aufgabe | Bestimme (mit Begründung) das Bildintervall für
a) f[(-3,2]), [mm] f(x)=x^4-4x^2+2 [/mm] und
b) [mm] g([-\pi,\pi]), [/mm] g(x)=x-2cos(x) |
Guten Tag ich habe diese Aufgabe versucht und frage mich jetzt ob meine Beweise richtig sind.
ZWS:
f(2)=2 f(-3)=-115 [mm] \Rightarrow [/mm] Funktion Stetig und hat eine Nullstelle, damit ist f(x)=0 in [-3,2]
a=-3 B=2
[mm] a_{1}=a, b_{1}=2
[/mm]
[mm] y_{1}=f(a_{1}+b_{1}/2)=(-115+2/2)=-56,5
[/mm]
[mm] y_{1}<0: [/mm] setze [mm] a_{2}=(a_{1}+b_{2}/2)=-0,5, b_{2}=b_{1}
[/mm]
[mm] y_{2}=f(a_{2}+b_{2}/2)=1,46875
[/mm]
[mm] y_{2}>0 [/mm] setze [mm] a_{3}=a_{2}, b_{3}=(a_{2}+b_{2}/2)=0,75
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{1}\le a_{2} \le a_{3} \le...\le [/mm] b mon. wachsend
Jetzt frage ich mich noch ob ich Max. und Min. einfach durch Ableiten von f(x) bekomme, wenn ich dies dann 0 setzte und ich dann die x-Werte in die zweite Ableitung einsetze oder muss ich was beachten da ich die Funktion nur im Bildintervll betrachte?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Fr 19.06.2009 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich würde mir mal zuerst eine Zeichnung von der Funktion machen. Dann siehst Du, dass f(x) z.B. nicht monoton ist und man kann sich auch eine Vorstellung vom Bildbereich machen.
Ich leg mal ein Bild bei.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") f(x)
mfg ullim
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Fr 19.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Bestimme (mit Begründung) das Bildintervall für
>
> a) f[(-3,2]), [mm]f(x)=x^4-4x^2+2[/mm] und
>
> b) [mm]g([-\pi,\pi]),[/mm] g(x)=x-2cos(x)
> Guten Tag ich habe diese Aufgabe versucht und frage mich
> jetzt ob meine Beweise richtig sind.
Hallo,
du benötigst folgende grundlegende Aussagen:
- lokale Maxima und Minima im gegebenen Intervall
- Funktionswerte in den Intervallgrenzen.
Aus beiden zusammengenommen findest du das globale Maximum und Minimum des Intervalls.
Hier gilt übrigens [mm] x^4-4x^2+2=(x^2-2)^2-2 [/mm] mit einem minimalen Wert -2 (der auch im angegebenen Intervall erreicht wird). Ein lokales Maximum gibt es an der Stelle x=0, der Funktionswert einer Intervallgrenze ist aber größer.
Gruß Abakus
>
> ZWS:
>
> f(2)=2 f(-3)=-115 [mm]\Rightarrow[/mm] Funktion Stetig und hat eine
> Nullstelle, damit ist f(x)=0 in [-3,2]
>
> a=-3 B=2
>
> [mm]a_{1}=a, b_{1}=2[/mm]
>
> [mm]y_{1}=f(a_{1}+b_{1}/2)=(-115+2/2)=-56,5[/mm]
>
> [mm]y_{1}<0:[/mm] setze [mm]a_{2}=(a_{1}+b_{2}/2)=-0,5, b_{2}=b_{1}[/mm]
>
> [mm]y_{2}=f(a_{2}+b_{2}/2)=1,46875[/mm]
>
> [mm]y_{2}>0[/mm] setze [mm]a_{3}=a_{2}, b_{3}=(a_{2}+b_{2}/2)=0,75[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a_{1}\le a_{2} \le a_{3} \le...\le[/mm] b mon.
> wachsend
>
> Jetzt frage ich mich noch ob ich Max. und Min. einfach
> durch Ableiten von f(x) bekomme, wenn ich dies dann 0
> setzte und ich dann die x-Werte in die zweite Ableitung
> einsetze oder muss ich was beachten da ich die Funktion nur
> im Bildintervll betrachte?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 Fr 19.06.2009 | | Autor: | Blub2009 |
Danke für die Antwort das Hilft mir weiter
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![[a]](uploads/forum/00564366/forum-i00564366-n001.jpg "Dateianhänge"){kind=small}
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