Bildmengen berechnen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 Di 14.09.2010 | | Autor: | mvs |
| Aufgabe 1 | g: [mm] \IR\backslash {0}\times \IR \to \IR [/mm] sei definiert durch f(x,y): = [mm] \bruch{y^{2}}{x}
[/mm]
Berechnen Sie die Bildmengen g ({(4,2),(1,1)}) und g ([-2,2[ [mm] \times [/mm] [2,4]). |
| Aufgabe 2 | g: [mm] \IR\backslash {0}\times \IR \to \IR [/mm] sei definiert durch f(x,y): = [mm] x*y^{2}
[/mm]
Berechnen Sie die Bildmengen f ({(2,3),(4,5)}) und f ([-3,3[ [mm] \times [/mm] [2,4]). |
Hallo,
ich hab eine Frage zur Bildmengen-Berechnung.
Meine bisherige Lösung sieht folgendermaßen aus:
Aufgabe 1:
Bildmenge g ({(4,2),(1,1)})
Bildmenge g1 ({(4,2)}) = [mm] \bruch{2^{2}}{4} [/mm] = 1
Bildmenge g2 ({(1,1)}) = [mm] \bruch{1^{2}}{1} [/mm] = 1
[mm] \Rightarrow [/mm] Bildmenge g ({(4,2),(1,1)}) = {1,1}
Aufgabe 2:
Bildmenge f ({(2,3),(4,5)})
Bildmenge f1 ({(2,3)}) = [mm] 2*3^{2} [/mm] = 2*9 = 18
Bildmenge f2 ({(4,5)}) = [mm] 4*5^{2} [/mm] = 4*25 = 100
[mm] \Rightarrow [/mm] Bildmenge f ({(2,3),(4,5)}) = {18,100}
Ich weiß aber nicht wie ich die Bildmenge g ([-2,2[ [mm] \times [/mm] [2,4]) und f([-3,3[ [mm] \times [/mm] [2,4]) bestimmen kann. Wie dort der Rechenweg aussieht.
Ergebnis von der Bildmenge g ([-2,2[ [mm] \times [/mm] [2,4]) hab ich angegeben bekommen als ]-oo,-2] [mm] \cup [/mm] ]2,oo[
Meine Frage daher, wie man auf dieses Ergebnis von ]-oo,-2] [mm] \cup [/mm] ]2,oo[ kommt?
Vielen Dank im voraus,
Gruß,
mvs
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:23 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> g: [mm]\IR\backslash {0}\times \IR \to \IR[/mm] sei definiert durch
> f(x,y): = [mm]\bruch{y^{2}}{x}[/mm]
Wenn Du g dadurch definieren willst, sollte es nicht $g(x,y)$ heißen? Ich frag nur, weil Du bei der anderen Aufgabe das gleiche machst, also scheint es kein Tippfehler zu sein.
> Ich weiß aber nicht wie ich die Bildmenge g ([-2,2[ [mm]\times[/mm]
> [2,4]) und f([-3,3[ [mm]\times[/mm] [2,4]) bestimmen kann. Wie dort
> der Rechenweg aussieht.
Was ist das Bild von [mm] $\sin(x)$ [/mm] auf [mm] $]-\infty,\infty[$?
[/mm]
Naja, ich weiß, daß das Minimum -1 und das Maximum 1 ist, und weil [mm] $\sin$ [/mm] stetig ist, muß er auch alle Werte dazwischen annehmen.
Was ist das Bild von [mm] $\frac1{x}$ [/mm] auf [mm] $[-1,1]\setminus \{0\}$?
[/mm]
Auf $[-1,0[$ ist das Infimum [mm] $-\infty$ [/mm] und das Maximum -1. [mm] $\frac1x$ [/mm] ist darauf stetig, also ist das Bild [mm] $]-\infty,-1]$. [/mm] Selbes Spiel für $]0,1]$ und das gesamte Bild ist dann die Vereinigung der beiden: [mm] $]-\infty,-1] \cup [1,\infty[$.
[/mm]
Die Überlegung funktioniert auch im Zweidimensionalen. Wenn g auf einem zusammenhängenden Bereich stetig ist, dann kann ich vom Maximum von g auf dem Bereich (bzw. einem Punkt, der beliebig nah ans Supremum rankommt) eine Linie zum Minimum zeichnen, die ganz in dem Bereich liegt (weil er zusammenhängend ist). Weil g stetig ist, muß auf dieser Linie jeder Wert zwischen Minimum und Maximum angenommen werden, also ist das Bild das Intervall zwischen Minimum und Maximum.
ciao
Stefan
btw. [mm] $g([-2,2[\times[2,4])$ [/mm] ist eigentlich eine schlampige Angabe. $g$ ist nur auf [mm] $\IR\setminus\{0\}\times\IR$ [/mm] definiert und der Bereich, von dem Du das Bild willst, müßte eigentlich eine Teilmenge davon sein. Korrekt wäre [mm] $[-2,2[\setminus\{0\}\times[2,4]$. [/mm] Da kannst Du Dich beim Aufgabensteller beklagen. =)
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Hallo... stecke wie der Autor oben fest.
Superschön erklärt vom Nachfolger .. aber komplexere Funktionen kann man sich eben nun mal nicht einfach in wenigen Minuten graphisch ausmalen.. von daher bringt es nicht arg viel, sich klar zu machen was für Werte die Funktion in dem und dem Bereich annehmen kann.
Kann mir jemand nun den Rechenweg erklären?
Hab mir das ein wenig verwirrend erklären lassen.. von wegen linke Zahl des 1. Intervalls multipliziert mit linker Zahl des 2. Intervalls und so weiter.. als wären das zwei Klammern, die man miteinander ausmultiplizieren würde...
Wär super wenn mich jemand aufklären könnte!
Vielen lieben Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 Fr 08.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du suchst die Bildmenge von Intervallen ,wenn die funktion stetig ist auf den Intervallen, dann musst du den größten und den kleinsten Wert ermitteln, dafür gibts bei sehr komplizierten Funktionen kein "Rezept" , bei sehr einfachen Funktionen kann man oft sehen, dass man die durch einsetzen der Intervallgrenzen findet. man sieht je grösser y desto größer f bei festem x, je näher x an 0 umso größer der Betrag von f usw.
Aber nochmal ein patentrezept wie du den größten und kleinsten Wert findest gibt es nicht. Aber die fkt. die in solchen Übungen behandelt werden sind meist übersichtlich!
Gruss leduart
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