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Hallo,
habe folgende Augabe :
Betrachten sie folgende Reihe :
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_{k}=1+\bruch{2}{3}-\bruch{1}{4}+\bruch{8}{27}+\bruch{1}{16}+\bruch{32}{243}-\bruch{1}{64}...
[/mm]
Beschreiben Sie verbal das Bildungsgesetz der Reihe. Unterscheiden Sie dabei zwischen geraden
und ungeraden Indices.
Erste frage wäre schon mal was damit gemeint ist verbal ( klar mit worten ) .
Also hier: gerade Inidicies 0,2,4
: 1 wird mit [mm] -\bruch{1}{4} [/mm] multipliziert und die ungeraden mi [mm] +\bruch{4}{9}.
[/mm]
Soweit so gut aber für Teilaufgabe b,:
Zeigen Sie mit dem Majorantenkriterium, dass die Reihe absolut konvergent ist.
brauch ich doch eine allgemeine Reihendarstellung. Wie formulier ich die denn?
Danke für Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Mi 15.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> habe folgende Augabe :
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> Betrachten sie folgende Reihe :
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> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}=1+\bruch{2}{3}-\bruch{1}{4}+\bruch{8}{27}+\bruch{1}{16}+\bruch{32}{243}-\bruch{1}{64}...[/mm]
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> Beschreiben Sie verbal das Bildungsgesetz der Reihe.
> Unterscheiden Sie dabei zwischen geraden
> und ungeraden Indices.
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> Erste frage wäre schon mal was damit gemeint ist verbal (
> klar mit worten ) .
> Also hier: gerade Inidicies 0,2,4
> : 1 wird mit [mm]-\bruch{1}{4}[/mm] multipliziert und die ungeraden
> mi [mm]+\bruch{4}{9}.[/mm]
Mach doch weiter !! Induktiv siehst Du:
[mm] a_{2n} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n}{2^{2n}} [/mm] und [mm] a_{2n+1} [/mm] = [mm] \bruch{2^{2n+1}}{3^{2n+1}}
[/mm]
Nun lass darauf mal das Quotientenkriterium los. Dann siehst Du:
lim sup [mm] \wurzel[n]{|a_n|}<1
[/mm]
FRED
> Soweit so gut aber für Teilaufgabe b,:
> Zeigen Sie mit dem Majorantenkriterium, dass die Reihe
> absolut konvergent ist.
> brauch ich doch eine allgemeine Reihendarstellung. Wie
> formulier ich die denn?
>
> Danke für Hilfe
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Danke schon mal für die Antwort.
Aber warum bildest du a2n und a2n+1?
Und a2n+1 müsste doch dann [mm] \bruch{(-1)^n+1}{2^2n+1} [/mm] sein oder ? So habe ich ja wie du es geschrieben hast zwei verschiedene Glieder in einer Reihe und kann die ja nicht einzeln mit dem MJK betrachten ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Mi 15.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Danke schon mal für die Antwort.
> Aber warum bildest du a2n und a2n+1?
Hallo,
die beiden Teilfolgen (mit geraden bzw. ungeraden Indices) haben doch sehr verschiedene Bildungsvorschriften. Damit ist eine einheitliche Betrachtung nur schwer möglich.
Du kannst aber für die beiden Teilfolgen getrennt jeweils eine passende Majorante finden.
Gruß Abakus
>
> Und a2n+1 müsste doch dann [mm]\bruch{(-1)^n+1}{2^2n+1}[/mm] sein
> oder ? So habe ich ja wie du es geschrieben hast zwei
> verschiedene Glieder in einer Reihe und kann die ja nicht
> einzeln mit dem MJK betrachten ?
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Okay, also bilde ich 2 Teilfolgen und mit dem Majorantenkrit. zeige ich das beide abs. konvergent sind also auch die ganze Reihe.
Aber wie bilde ich dann davon den Grenzwert ? Wird in Teilaufgabe b verlangt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Mi 15.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Okay, also bilde ich 2 Teilfolgen und mit dem
> Majorantenkrit. zeige ich das beide abs. konvergent sind
> also auch die ganze Reihe.
> Aber wie bilde ich dann davon den Grenzwert ? Wird in
> Teilaufgabe b verlangt.
Beide Teilfolgen sind geometrische Folgen, also nutze jeweils die Summenformeln für eine Geometrische Reihe und bilde am Ende die Summe beider Ergebnisse.
Gruß Abakus
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Also der Grenzwert beider Reihen ist 0.
Aber wie schreibe ich beide in eine Summe bei unterschiedlichen indicies?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Mi 15.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Also der Grenzwert beider Reihen ist 0.
Beides ist falsch. Der Grenzwert der FOLGEN ist 0. Bei der Reihe aus den geraden Indices kann die Summe der Reihe keinesfals 0 werden, weil nur positive Zahlen addiert werden.
Bei den ungeraden Indices bilden die einzelnen Partialsummen wegen des ständigen Vorzeichenwechsels eine Intervallschachtelung, und die Summe muss zwischen 1/4 und (1/4)-(1/16) liegen.
Gruß Abakus
> Aber wie schreibe ich beide in eine Summe bei
> unterschiedlichen indicies?
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Ja und was in dann der grenzwert?
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ah ja klar. Gut dann habe ich zwei verschiedene Grenzwerte für beide Folgen.
Mein Hauptproblem ist nicht die konvergenz zu zeigen oder den GW zu bildne sondern wie ich dieses Reihe die anscheinend aus zwei verschiedenen Folgen mit verschiedenen GW bestehen zusammenzufassen ?!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Mi 15.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du schreibst sie einfach als Summe von 2 Reihen,
Wenn jede einzelne konv. dann auch die Summe gegen die Summe.
Fuer endliche Summen ist klar dass das Kommm . Gesetz gilt. damit hast du Sn und kannst zum Gw übergehen.
Gruss leduart
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Was ist sn ?
Wenn jetzt die grenzwerte der beiden Folgen unterschiedlich ist ? Dann existiert doch für die Reihe keiner oder, da dieser nciht eindeutig bestimmt ist. Richtig?
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Und warum ist der beweis durch das Majorantenkrit notwendig für den GW ?
Kann man nicht das ak durch eine bestimmten Ausdruck bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Mi 15.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] S_n [/mm] war die n-te Summe. Wenn die 2 Summen verschiedne GW haben wie hier kannst du doch immer noch für [mm] S_n [/mm] die Summe [mm] S_n+S_2_n [/mm] bilden und dann n gegen [mm] \infty. [/mm] wieso sollten die 2 GW gleich sein?
Ich dachte im ersten post hast du geschrieben, dass du die Konv. mit Majorantenkriterium beweisen sollst?
die Frage kann man [mm] a_k [/mm] durch best Ausdruck bestimmen hat doch nichts mit Konv. zu tun?
und du hast doch die 2 Formeln für [mm] a_k [/mm] ?
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Mi 15.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib sie wirklich mal hin, dann siehst du dass du 2 geometrische Reihen hast. Wie anders hast du denn das majorantenkrit. angewandt?
Gruss leduart
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Also wenn mein ak ist :
[mm] \bruch{(-1)^n}{2^{(2n)}}+\bruch{2^{(n+1)}}{3^{(2n+1)}} [/mm] weiße ich die konvergenz mit Majorantenkrit nach . wie denn hier ?
Und laut TR ist der Grenzwert für n gegen oo 0. Es ist ja eine Reihe warum sollte ich die GW getrennt betrachten ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Do 16.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
welchen GW rechnest du denn mit deinem TR aus, den der ak?
was du hingeschrieben hast ist kein ak, sondern 2 aufeinanderfolgende Glieder der urspruenglichen Reihe. k kommt gar nicht vor.
Fang noch mal von vorn an zu denken.
Du hast eine Reihe, also eine Folge von Summen [mm] S_n
[/mm]
die Summanden bilden ne Nullfolge, das ist Vors. dafuer, dass die Reihe konv. kann.
Dann sieht man, dass sich die geraden und ungeraden Summanden zu Teilsummen [mm] S1_n [/mm] und [mm] S2_n [/mm] zusammenfassen lassen. Diese Teilsummen kann man berechnen. dann kann man auch ihre Summe berechnen, fuer jedes n. Dann schliesslich kann man den GW berechnen.
Du "sollst" nicht den GW getrennt betrachten, aber du kannst. Wenn dir ne andere Methode einfaellt die Summe zu berechnen verbietet das niemand!
Wenn du ne endliche Summe hast, in der du geschickt die eine Haelfte der Summanden zusammenzufassen und die andere, dann tust dus doch sicher auch, musst es aber nicht.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 Do 16.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Mit den Bezeichnungen von oben:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_k [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{2n}+\summe_{n=0}^{\infty}a_{2n+1}
[/mm]
falls die beiden Reihen rechts konvergieren. Das tun sie aber. Beides sind absolut konvergente geometrische Reihen. Damit ist [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_k [/mm] ebenfalls absolut konvergent.
FRED
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ok,so ist mir jetzt schon mal geholfen.
Und warum brauch ich ausgerechnet des Majorkrit. für den GW?
Wie schreibe ich denn den dann hin?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Do 16.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> ok,so ist mir jetzt schon mal geholfen.
> Und warum brauch ich ausgerechnet des Majorkrit. für den
> GW?
Der Aufgabensteller schreibt Dir doch vor, dass Du die absolute Konvergenz mit dem Majorantenkrit. nachweisen sollst. Natürlich geht das auch auf anderem Weg.
> Wie schreibe ich denn den dann hin?
Wen ??
FRED
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Den bzw die Grenzwerte . Wenn mein ak aus zwei folgen besteht die verschiedene GW haben ich die dann wie du es gemacht hast dann zusammensetzte mach ich auch das mit dem GW ? eine reihe mit zwei Grenzwerten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Do 16.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Lies doch mal die posts durch. die Reihe hat nicht 2 GW sondern einen.
2+2+3+3=2+3+2+3=5+5=4+6
hat doch auch nicht 2 werte sondern einen. die 10
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Do 16.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Die Folge [mm] (a_k) [/mm] ist eine Nullfolge !!
Falls Du mit GW den Reihenwert
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_k [/mm] $
meinst, so gilt:
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_k [/mm] $ = $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{2n}+\summe_{n=0}^{\infty}a_{2n+1} [/mm] $
FRED
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Zeige doch einfach, dass die geometrische Reihe mit [mm] a_0=1 [/mm] und q=2/3 eine Majorante ist. (ggf. per vollst. Induktion)
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Formel für den Grenzwert einer geometrischen Reihe