Bildungsgesetz geom. Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 Do 07.05.2009 | | Autor: | ownshake |
| Aufgabe | Beweisen Sie das allgemeine Bildungsgesetz für geometrische Folgen
[mm] a_{n }= a_{1} [/mm] · [mm] q^{n-1} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich hab da ein Problem mit dieser Aufgabe. Wie beweist man soetwas? Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion? Das hab ich nämlich nicht verstanden wie das Funktioniert. Oder nimmt man ein Beispiel mit konkreten Zahlen und zeigt, dass das Gesetz auf das Beispiel anwendbar ist? Allerdings wäre das Gesetz dann ja nur für das Beispiel bewiesen.
Vielleicht kann und mag mir ja einer Helfen?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Do 07.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Eine Folge [mm] (a_n) [/mm] heißt eine geometrische Folge, wenn es ein q gibt mit:
[mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n}= [/mm] q$ für jedes n
Für Deinen Beweis wirst Du um Induktion nicht herumkommen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Do 07.05.2009 | | Autor: | ownshake |
son mist, gäbe es ne Möglichkeit das du mir vielleicht ein Beispiel für die Vollständige induktion zeigst oder mir n ansatz gibts, wie man das zu rechnen hat?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Do 07.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo ownshake
In deinem Profil steht nix ueber dich. Vorkenntnisse? was machst du?
Uni, Schule, FH. Was fuer Beweise kennst du.
Wir koennen ja nicht bei 0 anfangen.
aber in wiki z.Bsp findest du vollst. Induktion und mindestens 2 Beispiele.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Do 07.05.2009 | | Autor: | ownshake |
Hi,
Ich studiere an der Uni.
Meine Lösung bisher sieht so aus:
Induktionsanfang:
n=1
einsetzen in das Bildungsgesetz:
[mm] a_n [/mm] = [mm] a_1 [/mm] · [mm] q^{n-1}
[/mm]
[mm] a_1 [/mm] = [mm] a_1*1 [/mm] = [mm] a_1
[/mm]
Für n = 1 ist somit das Bildungsgesetz korrekt
Induktionsvorraussetzung:
[mm] a_n [/mm] = [mm] a_1 [/mm] · [mm] q^{n-1}
[/mm]
Induktionsschritt:
(n --> n+1)
[mm] a_n+1 [/mm] = [mm] a_1 [/mm] · [mm] q^{n-1+1}
[/mm]
[mm] a_n+1 [/mm] = [mm] a_1 [/mm] · [mm] q^{n-1} [/mm] * [mm] q^{1}
[/mm]
Da setzt man nun [mm] a_n [/mm] ein:
[mm] a_n+1 [/mm] = [mm] a_n*q^{1}
[/mm]
Ist warscheinlich komplett falsch oder? Komm damit irgendwie nich zurecht
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Hallo ownshake,
> Hi,
> Ich studiere an der Uni.
>
> Meine Lösung bisher sieht so aus:
>
> Induktionsanfang:
> n=1
> einsetzen in das Bildungsgesetz:
> [mm]a_n[/mm] = [mm]a_1[/mm] · [mm]q^{n-1}[/mm]
> [mm]a_1[/mm] = [mm]a_1*1[/mm] = [mm]a_1[/mm]
> Für n = 1 ist somit das Bildungsgesetz korrekt
>
> Induktionsvorraussetzung:
> [mm]a_n[/mm] = [mm]a_1[/mm] · [mm]q^{n-1}[/mm]
>
> Induktionsschritt:
> (n --> n+1)
> [mm]a_n+1[/mm] = [mm]a_1[/mm] · [mm]q^{n-1+1}[/mm]
> [mm]a_n+1[/mm] = [mm]a_1[/mm] · [mm]q^{n-1}[/mm] * [mm]q^{1}[/mm]
>
> Da setzt man nun [mm]a_n[/mm] ein:
> [mm]a_n+1[/mm] = [mm]a_n*q^{1}[/mm]
>
> Ist warscheinlich komplett falsch oder? Komm damit
> irgendwie nich zurecht
Das ist schon ganz passabel, nur Im Induktionsschritt hapert's etwas.
Wie bekommst du denn [mm] $a_{n+1}$ [/mm] aus [mm] $a_n$?
[/mm]
(Setze übrigens Exponenten und Indizes, die länger als 1 Zeichen sind, in geschweifte Klammern {})
Es ist doch [mm] $a_{n+1}=a_n\cdot{}q$ [/mm] (rekursive Def.)
Was folgt also direkt mit der Induktionsvor.?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Do 07.05.2009 | | Autor: | ownshake |
Ich verstehs einfach nicht :(
Auf dem Aufgabenblatt steht noch die Formel:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = q
Das würde ja dem entsprechen was ich am Ende rausbekommen, wenn man diese Formel nach [mm] a_{n+1} [/mm] umstellt.
aber ich versteh den beweis jetzt nicht, mir ist auch unklar was ich am Ende rausbekommen muss, damit das Gesetz bewiesen ist?
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Hallo ownshake,
Du hast jetzt alles Material zusammen. Du sollst ja die Gültigkeit des (nicht rekursiven) Bildungsgesetzes zeigen.
Den Induktionsanfang hast Du: die Formel stimmt für [mm] a_1.
[/mm]
Du hast die Induktionsvoraussetzung, also die Annahme, dass die Formel für ein [mm] a_n [/mm] stimmt.
Nun sollst Du zeigen, dass sie dann auch für [mm] a_{n+1} [/mm] stimmt.
Dazu ziehst Du die ebenfalls vorliegende Rekursionsformel [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}=q [/mm] mit heran.
Rechnerisch ist das vielleicht geradezu zu einfach. Mach Dir klar, was jeweils als bekannt vorausgesetzt werden darf, und was in dem betreffenden Schritt zu zeigen ist.
Der logische Zusammenhang der Induktion ist doch dieser: meine Behauptung stimmt für ein bestimmtes [mm] n_0 [/mm] (hier: 1). Wenn meine Behauptung für irgendein k stimmt, dann stimmt sie auch für die Folgezahl, k+1. Also stimmt die Behauptung für alle [mm] n\ge n_0.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Do 07.05.2009 | | Autor: | ownshake |
heisst das ich setzte in meinen letzten Schritt für q das hier ein [mm] q=\bruch{a_{n+1}}{a_n}?
[/mm]
wenn ich das mache erhalte ich aber am Ende nach dem Umstellen [mm] 1=\bruch{a1}{an}
[/mm]
Das kann doch auch nich so recht sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Do 07.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist viel einfacher als du denkst.
Ind, Vors.
[mm] a_n=a_1*q^{n-1}
[/mm]
nach Def. gilt [mm] a_{n=1}/a_n=q
[/mm]
also [mm] a_{n=1}=a_n*q
[/mm]
fuer [mm] a_n [/mm] die Ind.Vors eingesetzt ergibt:
[mm] a_{n+1}=a_1*q^{n-1}*q=a_1*q^{(n+1)-1} [/mm]
was die Indktionsbehauptung ist.
Der eigentliche Induktionsschritt ist hier so kurz, dass du vielleicht dadurch irritiert bist.
Gruss leduart
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