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Hallo zusammen
Möchte folgende Aufgabe lösen:
Sei V der reelle VR der Polynome mit reellen Koeffizienten vom Grade kleiner gleich 3.
a) Bestimme die Dimension von V und beweise, dass die Formel
<p,q>=(p''(1)+p'(1))*(q''(1)+q'(1))
eine symmetrische Bilinearform auf V definiert.
b) Entscheide ob diese symmetrische Bilinearform positiv definit ist.
c) Entscheide, ob diese symmetrische Bilinearform entartet oder nicht entartet ist.
d) Bestimme die Signatur der symmetrischen Bilinearform und finde eine Basis, in welcher die Matrix der Bilinearform diagonal ist (eine sogenannte Orthogonalbasis).
Meine Lösung:
a) Mögliche Basis [mm] {1,x,x^2,x^3} \Rightarrow [/mm] dim(V)=4
Dann habe ich einfach folgendes gezeigt:
1) Symmetrie <p,q>=<q,p>
2) Linearität im 1. Argument: <p+h,q>=<p,q>+<h,q> & [mm] <\lambda q,q>=\lambda [/mm] <p,q>
3) Linearität im 2. Argument folgt aus 1 & 2
b) positiv definit [mm] \gdw [/mm] <p,p> > 0 [mm] \forall p\not= [/mm] Nullpolynom
<p,p>=(p''(1)+p'(1))*(p''(1)+p'(1))=(p''(1)+p'(1)) > 0
c) BF entartet, wenn det(A)=0, wobei A die Darstellungsmatrix der Bilinearform ist.
Wähle Basis: [mm] {1,x,x^2,x^3}
[/mm]
Dann habe ich folgende Darstellungsmatrix erhalten:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 9 \\ 0 & 4 & 16 & 36 \\ 0 & 9 & 36 & 81 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] det(A)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] BF ist entartet.
d) Hier habe ich das charakteristische Polynom, die EW und Eigenräume, sowie die alg. VF der EW bestimmt:
[mm] p_A(\lambda)=\lambda^3(\lambda-97)
[/mm]
[mm] \lambda_1=98 [/mm] mit alg. VF: 1
[mm] \lambda_{2,3,4}=0 [/mm] mit alg. VF: 3
Eig(A,98)=span{ [mm] \vektor{0 \\ \bruch{1}{9} \\ \bruch{4}{9} \\ 1 } [/mm] }
Eig(A,0)=span{ [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 },\vektor{0 \\ -4 \\ 1 \\ 0 }, \vektor{0 \\ -9 \\ 0 \\ 1 } [/mm] }
Wegen den Eigenwerten erhalte ich die Signatur = (1,0,3)
Nun zu dieser Basis.
Es ist doch so, dass die Eigenvektoren von symmetrischen BF automatisch orthogonal sind?
Dies gilt natürlich nicht! Aber wie finde ich so eine Basis denn? Muss ich überhaupt über die Eigenvektoren gehen? Wenn ja wie orthogonalisiere ich denn die Eigenvektoren? Kann ich auch einfach die Basis { [mm] 1,x,x^2,x^3 [/mm] } orthogonalisieren???
Somit gilt D=P^tAP, wobei
[mm] P^t=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & 0 \\ 0 & -9 & 0 & 1 \\ 0 & \bruch{1}{9} & \bruch{4}{9} & 1 }
[/mm]
Wenn ich aber D=P^tAP berechne, kommt leider nicht die gewünschte Diagonalmatrix raus....
Wo ist mein Fehler?
Übrigens ist mir aufgefallen, unter b habe ich ja gezeigt, dass die BF positiv definit ist, dann sollte doch die Signatur von der Form (4,0,0) sein, da wenn eine Matrix positiv definit ist, alle Eigenwerte >0 sein sollten.
Also irgendwie stimmen meine Lösungen überhaupt nicht. Aber ich sehe nicht wo der Fehler liegt!
Kann mir jemand weiter helfen?
Liebe Grüsse
Babybel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:21 Mi 03.09.2014 | | Autor: | fred97 |
Nur soviel:
die gegebene Bilinearform ist nicht positiv definit !
FRED
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| Aufgabe | > Sei V der reelle VR der Polynome mit reellen Koeffizienten
> vom Grade kleiner gleich 3.
> a) Bestimme die Dimension von V und beweise, dass die
> Formel
> <p,q>=(p''(1)+p'(1))*(q''(1)+q'(1))
> eine symmetrische Bilinearform auf V definiert.
> b) Entscheide ob diese symmetrische Bilinearform positiv
> definit ist.
> c) Entscheide, ob diese symmetrische Bilinearform entartet
> oder nicht entartet ist.
> d) Bestimme die Signatur der symmetrischen Bilinearform und
> finde eine Basis, in welcher die Matrix der Bilinearform
> diagonal ist (eine sogenannte Orthogonalbasis). |
Hallo fred
Ja sie ist wirklich nicht positiv definit.
Dann kann ich bei b) hinschreiben:
Gegenbeispiel: <1,1>=0, d.h. obwohl ich nicht das Nullpolynom nehme gilt <p,q> = 0, was der Definition der positiven Definitheit widerspricht.
Und was ist mit dem anderen?
> c) BF entartet, wenn det(A)=0, wobei A die
> Darstellungsmatrix der Bilinearform ist.
> Wähle Basis: [mm]{1,x,x^2,x^3}[/mm]
> Dann habe ich folgende Darstellungsmatrix erhalten:
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 9 \\ 0 & 4 & 16 & 36 \\ 0 & 9 & 36 & 81 }[/mm]
>
Stimmt die Darstellungsmatrix?
> [mm]\Rightarrow[/mm] det(A)=0 [mm]\Rightarrow[/mm] BF ist entartet.
>
> d) Hier habe ich das charakteristische Polynom, die EW und
> Eigenräume, sowie die alg. VF der EW bestimmt:
> [mm]p_A(\lambda)=\lambda^3(\lambda-97)[/mm]
> [mm]\lambda_1=98[/mm] mit alg. VF: 1
> [mm]\lambda_{2,3,4}=0[/mm] mit alg. VF: 3
> Eig(A,98)=span{ [mm] \vektor{0 \\ \bruch{1}{9} \\ \bruch{4}{9} \\ 1 } [/mm] }
> Eig(A,0)=span{ [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 },\vektor{0 \\ -4 \\ 1 \\ 0 }, \vektor{0 \\ -9 \\ 0 \\ 1} [/mm] }
>
Wie finde ich nun eine solche Basis?
Liebe Grüsse
Babybel
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:14 Mi 03.09.2014 | | Autor: | Babybel73 |
Habe mich soeben nochmals an der Aufgabe versucht, indem ich die Basis [mm] {1,x,x^2,x^3} [/mm] genommen habe und diese orthogonaliseren wollte. Aber es funktioniert einfach nicht.....
Kann mir jemand weiterhelfen???
Liebe Grüsse
Babybel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 Do 04.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Habe mich soeben nochmals an der Aufgabe versucht, indem
> ich die Basis [mm]{1,x,x^2,x^3}[/mm] genommen habe und diese
> orthogonaliseren wollte. Aber es funktioniert einfach
> nicht.....
> Kann mir jemand weiterhelfen???
erzähl' mal bitte, um was es hierbei nun geht (für was willst Du orthogonalisieren)
und zeige ggf. Deine Rechnung, damit wir auch sehen, "wo" und "was" hier
(angeblich) nicht funktioniert.
Aber mal davon abgesehen: Du benutzt hier doch hoffentlich nicht das
![[]](/images/popup.gif) Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt?
Falls doch: Schau' Dir bitte an, welche Voraussetzungen man für dieses
benötigt. Da steht etwas davon, dass man einen Prähilbertraum haben
will. Und jetzt denke mal nach, welche Eigenschaft ein Skalarprodukt
insbesondere hat, die uns hier aber fehlt...
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> > Habe mich soeben nochmals an der Aufgabe versucht, indem
> > ich die Basis [mm]{1,x,x^2,x^3}[/mm] genommen habe und diese
> > orthogonaliseren wollte. Aber es funktioniert einfach
> > nicht.....
> > Kann mir jemand weiterhelfen???
>
> erzähl' mal bitte, um was es hierbei nun geht (für was
> willst Du orthogonalisieren)
> und zeige ggf. Deine Rechnung, damit wir auch sehen, "wo"
> und "was" hier
> (angeblich) nicht funktioniert.
>
> Aber mal davon abgesehen: Du benutzt hier doch hoffentlich
> nicht das
>
> Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt?
>
> Falls doch: Schau' Dir bitte an, welche Voraussetzungen man
> für dieses
> benötigt. Da steht etwas davon, dass man einen
> Prähilbertraum haben
> will. Und jetzt denke mal nach, welche Eigenschaft ein
> Skalarprodukt
> insbesondere hat, die uns hier aber fehlt...
>
Hallo Marcel
Ich weiss dass unsere gegebene Bilinearform kein Skalarprodukt darstellt, weil es eben nicht positiv definit ist. Aber in der Aufgabenstellung steht eben:
"d) Bestimme die Signatur der symmetrischen Bilinearform und finde eine Basis, in welcher die Matrix der Bilinearform diagonal ist (eine sogenannte Orthogonalbasis)"
Wie mache ich denn eine Orthogonalbasis ohne Gram Schmidt?
Wie finde ich eine solche Basis???
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 06.09.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 So 07.09.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Do 04.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen
>
> Möchte folgende Aufgabe lösen:
>
> Sei V der reelle VR der Polynome mit reellen Koeffizienten
> vom Grade kleiner gleich 3.
> a) Bestimme die Dimension von V und beweise, dass die
> Formel
> <p,q>=(p''(1)+p'(1))*(q''(1)+q'(1))
> eine symmetrische Bilinearform auf V definiert.
> b) Entscheide ob diese symmetrische Bilinearform positiv
> definit ist.
> c) Entscheide, ob diese symmetrische Bilinearform entartet
> oder nicht entartet ist.
> d) Bestimme die Signatur der symmetrischen Bilinearform und
> finde eine Basis, in welcher die Matrix der Bilinearform
> diagonal ist (eine sogenannte Orthogonalbasis).
>
>
> Meine Lösung:
> a) Mögliche Basis [mm]{1,x,x^2,x^3} \Rightarrow[/mm] dim(V)=4
hast Du Das auch bewiesen? Nebenbei: Mit vorangestelltem Backslash machst
Du Mengenklammern sichtbar: [mm] [nomm]$\{\}$[/nomm] [/mm] liefert [mm] $\{\}$.
[/mm]
> Dann habe ich einfach folgendes gezeigt:
> 1) Symmetrie <p,q>=<q,p>
Warum schreibst Du hier nicht hin, wie Du das gezeigt hast? Aber ja: Das
folgt i.W. per Definitionem wegen der Kommutativität der Multiplikation in [mm] $\IR\,.$
[/mm]
> 2) Linearität im 1. Argument: <p+h,q>=<p,q>+<h,q>
Wie gesagt: hinschreiben wäre sinnvoll, es sei denn, Du willst das nicht
kontrolliert bekommen. Aber dann kannst Du Dir das auch sparen, dies zu
erwähnen...
> & [mm]<\lambda q,q>=\lambda[/mm] <p,q>
Da hast Du linkerhand ein [mm] $q\,$ [/mm] zuviel stehen, wo eigentlich ein [mm] $p\,$ [/mm] hingehört!
> 3) Linearität im 2. Argument folgt aus 1 & 2
Genau: Wegen der Symmetrie und 1. folgt das.
> b) positiv definit [mm]\gdw[/mm] <p,p> > 0 [mm]\forall p\not=[/mm]
> Nullpolynom
> <p,p>=(p''(1)+p'(1))*(p''(1)+p'(1))=(p''(1)+p'(1)) > 0
Das hast Du nun - nach Freds Hinweis - richtig erkannt. Ich sag' Dir aber
durchaus mal, "wie Du den Haken hier selbst hättest bemerken können":
Frage: Gibt es Polynome, deren 1. und 2. Ableitung an der Stelle 1 Null
sind, die aber nicht das Nullpolynom sind?
Du hast die konstante Polynomfunktion [mm] $p=1\,$ [/mm] hergenommen. Es geht auch "komplizierter":
Du weißt sicher bzw. kannst schnell nachprüfen, dass "die Funktion [mm] $x^3$" [/mm] an
der Stelle [mm] $x=0\,$ [/mm] die erste und zweite Ableitung [mm] $0\,$ [/mm] hat:
[mm] $3*0^2=0$ [/mm] und [mm] $6*0=0\,.$
[/mm]
Verschieben wir diese Funktion mal um [mm] $1\,$ [/mm] nach rechts, dann haben wir "die
Funktion [mm] $(x-1)^3$". [/mm] Etwas "lasch" notiert würde also auch
[mm] $<\,(x-1)^3,\;(x-1)^3\,>\;=\;0$
[/mm]
gelten. Das ist jetzt zwar nur nebensächlich, aber ich wollte nur darauf
hinaus, dass man durchaus *mit konstruktiven Überlegungen* erkennen
kann, wie man *geeignetes basteln kann*.
Und nebenbei: Du hast geschrieben:
> Gegenbeispiel: <1,1>=0, d.h. obwohl ich nicht das Nullpolynom nehme
> gilt <p,q> = 0, was der Definition der positiven Definitheit widerspricht.
Rechts solltest Du [mm] $q=p\,$ [/mm] ergänzen oder direkt [mm] $\;=\;0$ [/mm] schreiben. Für
$p [mm] \not=q$ [/mm] steht nirgends, dass [mm] $\;>\;0$ [/mm] sein soll. Vielleicht hast Du Dich
da aber auch einfach nur verschrieben (die Wahrscheinlichkeit dafür ist ja
nun nicht sehr klein), drauf hinweisen wollte ich dennoch).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 So 07.09.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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