www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Bilinearform
Bilinearform < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Bilinearform: Tipp!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:22 Do 05.03.2009
Autor: daisa

Aufgabe
Seien V ein reeller Vektorraum und s: V x V [mm] \to \IR [/mm] eine symmetrische Bilinearform mit s(v,v) [mm] \ge [/mm] 0 für alle v [mm] \in [/mm] V (man bezeichnet solches s als positiv semidefinit). Zeigen Sie:

a) U:= {v [mm] \in [/mm] V | s(v,v) = 0} ist ein Untervektorraum von V.

b) Die Abbildung [mm] \overline{s}: [/mm] (V/U) x (V/U) [mm] \to \IR, \overline{s}(v+U,w+U) [/mm] := s(v,w) ist wohldefiniert und ist ein Skalarprodukt auf dem Quotientenvektorraum V/U.

Hallo zusammen,

ich bin wieder mal am verzweifeln....

Ich denke, dass man bei a) eventuell die Axiome des Untervektorraum d.h.
i) U [mm] \not= \emptyset [/mm]
ii) v,w [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] v + w [mm] \in [/mm] W
iii) v [mm] \in [/mm] W, [mm] \lambda*v \in [/mm] W
überprüfen muss..
Stimmt das? Und wie kann man da vorgehen?
Zu b): Ich kapier bis heute nicht, was "wohldefiniert" bedeutet. Kann mir jemand eine einfache und kurze Erklärung geben? Und eventuell noch ein Tipp?

Vielen Dank im voraus!!

lg, daisa



        
Bezug
Bilinearform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:46 Do 05.03.2009
Autor: angela.h.b.


> Seien V ein reeller Vektorraum und s: V x V [mm]\to \IR[/mm] eine
> symmetrische Bilinearform mit s(v,v) [mm]\ge[/mm] 0 für alle v [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

V

> (man bezeichnet solches s als positiv semidefinit). Zeigen
> Sie:
>  
> a) U:= {v [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

V | s(v,v) = 0} ist ein Untervektorraum von

> V.
>  
> b) Die Abbildung [mm]\overline{s}:[/mm] (V/U) x (V/U) [mm]\to \IR, \overline{s}(v+U,w+U)[/mm]
> := s(v,w) ist wohldefiniert und ist ein Skalarprodukt auf
> dem Quotientenvektorraum V/U.
>  Hallo zusammen,
>  
> ich bin wieder mal am verzweifeln....
>  
> Ich denke, dass man bei a) eventuell die Axiome des
> Untervektorraum d.h.
> i) U [mm]\not= \emptyset[/mm]
>  ii) v,w [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] v + w [mm]\in[/mm]
> W
>  iii) v [mm]\in[/mm] W, [mm]\lambda*v \in[/mm] W
>  überprüfen muss..
>  Stimmt das?

Hallo,

ja.

> Und wie kann man da vorgehen?

Genau wie immer bei diesen Aufgaben:

zeige, daß die 0 drin ist, zeige, daß für [mm] u,v\in [/mm] U auch u+v drin ist, für [mm] \lamda [/mm] v entsprechend.

Woran erkennst Du denn, ob ein Vektor, nennen wir ihn w, in U liegt? genau diese Eigenschaft mußt Du nachweisen.


>  Zu b): Ich kapier bis heute nicht, was "wohldefiniert"
> bedeutet. Kann mir jemand eine einfache und kurze Erklärung
> geben? Und eventuell noch ein Tipp?

Wenn Du eine Funktion [mm] f:A\to [/mm] B hast, mußt Du zweierlei sicherstellen:

- daß wirklich jedem Element des Definitionsbereiches ein Funktionswert zugewiesen wird
- a,b [mm] \in [/mm] A mit a=b ==> f(a)=f(b).

Und genau der zweite Punkt könnte in Deiner Aufgabe ein Problem sein. Bedenke, daß v+U=v'+U sein kann, obgleich v und v' verschieden sind, und Du mußt sicherstellen, daß wirklich derselbe Funktionswert herauskommt.

Gruß v. Angela



Bezug
                
Bezug
Bilinearform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:44 So 08.03.2009
Autor: daisa

zu a):

1) Mir ist klar, dass 0 [mm] \in [/mm] U und somit U [mm] \not= \emptyset. [/mm] Doch wie kann ich das schön und mathematisch aufschreiben?

2) v, w [mm] \in [/mm] V, s(v+w, v+w) = 0 [mm] \in [/mm] U

3) [mm] \lambda \in \IR, [/mm] v [mm] \in [/mm] V, [mm] s(\lambda [/mm] * v, [mm] \lambda [/mm] * v) = 0 [mm] \in [/mm] U

Stimmt das so?

lg, daisa

Bezug
                        
Bezug
Bilinearform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:10 So 08.03.2009
Autor: angela.h.b.


> zu a):
>  
> 1) Mir ist klar, dass 0 [mm]\in[/mm] U und somit U [mm]\not= \emptyset.[/mm]
> Doch wie kann ich das schön und mathematisch aufschreiben?

Hallo,

Du mußt glaubhaft begründen, daß s(0,0)=0 ist, entweder durch Rückgriff auf Definitionen oder durch Vorrechnen unter Zuhilfenahme der Definitionen.

Entweder kommt das in Eurer Def. für symmetrische

>  
> 2) v, w [mm]\in[/mm] V, s(v+w, v+w) = 0 [mm]\in[/mm] U
>  
> 3) [mm]\lambda \in \IR,[/mm] v [mm]\in[/mm] V, [mm]s(\lambda[/mm] * v, [mm]\lambda[/mm] * v) =
> 0 [mm]\in[/mm] U
>  
> Stimmt das so?

Das sind die Dinge, die zu zeigen sind,

Du mußt nun vorrechnen, daß sie stimmen

Gruß v. Angela

>  
> lg, daisa


Bezug
                                
Bezug
Bilinearform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:34 So 08.03.2009
Autor: daisa

3)  [mm] s(\lambda [/mm] * v, [mm] \lambda [/mm] * v) = [mm] \lambda [/mm] * [mm] s(v,\lambda [/mm] * v) = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \overline{\lambda} [/mm] * s(v,v) = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \overline{\lambda} [/mm] * 0 = 0 [mm] \in [/mm] U.
richtig so?

2) s(v+w,v+w) = s(v,v+w) + s(w,v+w) = s(v,v) + s(v,w) + s(w,v) + s(w,w)
da s(v,v) = s(w,w) = 0
und da es sich um eine SYMMETRISCHE Bilinearform handelt gilt: s(v,w) = s(w,v)
deshalb:
s(v+w,v+w) = 2* s(v,w)
jetzt müsste ich zeigen, dass s(v,w) = 0 ist.
wie zeigt man sowas?

Bezug
                                        
Bezug
Bilinearform: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:27 Mo 09.03.2009
Autor: daisa

bei 3) ist mir ein kleiner Fehler unterlaufen. ich meine beide [mm] \lambda [/mm] nicht komplex..

Bezug
                                        
Bezug
Bilinearform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:47 Mo 09.03.2009
Autor: fred97


> 3)  [mm]s(\lambda[/mm] * v, [mm]\lambda[/mm] * v) = [mm]\lambda[/mm] * [mm]s(v,\lambda[/mm] *
> v) = [mm]\lambda[/mm] * [mm]\overline{\lambda}[/mm] * s(v,v) = [mm]\lambda[/mm] *
> [mm]\overline{\lambda}[/mm] * 0 = 0 [mm]\in[/mm] U.
>  richtig so?
>  
> 2) s(v+w,v+w) = s(v,v+w) + s(w,v+w) = s(v,v) + s(v,w) +
> s(w,v) + s(w,w)
>  da s(v,v) = s(w,w) = 0
>  und da es sich um eine SYMMETRISCHE Bilinearform handelt
> gilt: s(v,w) = s(w,v)
>  deshalb:
>  s(v+w,v+w) = 2* s(v,w)
>  jetzt müsste ich zeigen, dass s(v,w) = 0 ist.
>  wie zeigt man sowas?

Du hast doch: s(x,x) [mm] \ge [/mm] 0 für jedes x.

Also ist, für v,w [mm] \in [/mm] U:  s(v+w,v+w) = 2* s(v,w) [mm] \ge [/mm] 0

und                               s(v-w,v-w) = -2* s(v,w) [mm] \ge [/mm] 0.


Somit: s(v,w) = 0


FRED




Bezug
                                                
Bezug
Bilinearform: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:21 Mo 09.03.2009
Autor: daisa

hallo fred
so ist es ja ganz einfach.. vielen dank!
lg, daisa

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de