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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Mo 29.04.2013 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | | Sei [mm] \beta(x,y)=3x_1y_2-2x_1y_3+x_2y_1-x_2y_2+5x_2y_3-x_3y_2+x_3y_3. [/mm] Bestimme für f gegeben durch [mm] \pmat{ 1 & 2 & 2 \\ 5 & 7 & -1 \\ -3 & 9 & 4 } [/mm] die Matrix der Abbildung g mit g [mm] \in End(K^3) [/mm] für die gilt: [mm] \beta(f(x),y)=\beta(f,g(x)). [/mm] |
Hallo, ich bräuchte bei obiger Aufgabe Hilfe.
Es scheitert schon daran, dass ich mir nicht vorstellen kann, wie f(x) bzw. [mm] \beta(f(x),y) [/mm] aussehen soll. Etwa so:
[mm] x_1y_1+6x_1y_2-4x_1y_3+5x_2y_1-7x_2y_2-5x_2y_3-3x_3y_1-9x_3y_2+4x_3y_3 [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 Mo 29.04.2013 | | Autor: | Trikolon |
Und wie finde ich dann das g(x)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Mo 29.04.2013 | | Autor: | Trikolon |
Hat jemand eine Idee?
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> Sei
> [mm]\beta(x,y)=3x_1y_2-2x_1y_3+x_2y_1-x_2y_2+5x_2y_3-x_3y_2+x_3y_3.[/mm]
> Bestimme für f gegeben durch [mm]\pmat{ 1 & 2 & 2 \\ 5 & 7 & -1 \\ -3 & 9 & 4 }[/mm]
> die Matrix der Abbildung g mit g [mm]\in End(K^3)[/mm] für die
> gilt: [mm]\beta(f(x),y)=\beta(f,g(x)).[/mm]
Hallo,
als erstes solltest Du mal die Aufgabenstellung prüfen.
[mm] \beta(f(x),y)=\beta(f,g(x)) [/mm] scheint mir Unfug zu sein.
> Hallo, ich bräuchte bei obiger Aufgabe Hilfe.
> Es scheitert schon daran, dass ich mir nicht vorstellen
> kann, wie f(x) bzw.
Mit f ist die durch die Matrix gegebene lineare Abbildung gemeint , also f(x):=Ax [mm] (=\vektor{x_1+2x_2+2x_3\\...\\...})
[/mm]
> [mm]\beta(f(x),y)[/mm] aussehen soll.
[mm] \beta [/mm] (f(x),y)
[mm] =\beta(\vektor{x_1+2x_2+2x_3\\...\\...}, \vektor{y_1\\y_2\\y_3})
[/mm]
[mm] =3(x_1+2x_2+2x_3)y_2-2(x_1+2x_2+2x_3)y_3+...y_1-...y_2+5...y_3-...y_2+...y_3=
[/mm]
Nun zusammenfassen.
Etwa so:
>
> [mm]x_1y_1+6x_1y_2-4x_1y_3+5x_2y_1-7x_2y_2-5x_2y_3-3x_3y_1-9x_3y_2+4x_3y_3[/mm]
> ?
K.A., ich hab's nicht gerechnet, aber Du wirst dann ja sehen, obs übereinstimmt.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Mo 29.04.2013 | | Autor: | Trikolon |
Hallo,
danke schonmal für deine Antwort.
Stimmt, es muss natürlich $ [mm] \beta(f(x),y)=\beta(x,g(y)) [/mm] $ heißen.
Ok, wenn man das f(x) jetzt bestimmt hat, wie kriegt man denn dann das g raus?
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> Ok, wenn man das f(x) jetzt bestimmt hat,
Hallo,
Du hast nun gelernt, daß f(x)=Ax.
Du solltest wissen, daß es eine Matrix B gibt (und diese auch bestimmen können) mit
[mm] \beta(x,y)=x^By.
[/mm]
> wie kriegt man
> denn dann das g raus?
Da g linear sein soll, gibt es eine Matrix C mit g(x)=Cx, und diese unbekannte Matrix C müßte nun gesucht werden.
es soll sein [mm] \beta(Ax, y)=\beta(x,Cy),
[/mm]
also (Ax)^TBy=x^TB(Cy) f.a. x,y.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:58 Di 30.04.2013 | | Autor: | Trikolon |
Hallo nochmal,
ist die Matrix B nicht einfach dadurch gegeben dass man den Term, der für [mm] \beta(x,y) [/mm] gegeben ist, als Gram-Matrix hinschreibt?
Und um die Matrix C zu ergalten, muss ich wohl ein Gleichungssystem lösen, oder?
[mm] x^{T}A^{T}By=x^{T}B(Cy) [/mm] <-- Wie erhalte ich aber daraus ein Gleichungssystem, welches ich lösen kann? Man hat doch dann auf beiden Seiten noch ein [mm] x^{T} [/mm] und ein y stehen...
Danke schonmal.
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> Hallo nochmal,
>
> ist die Matrix B nicht einfach dadurch gegeben dass man den
> Term, der für [mm]\beta(x,y)[/mm] gegeben ist, als Gram-Matrix
> hinschreibt?
Hallo,
ja.
>
> Und um die Matrix C zu ergalten, muss ich wohl ein
> Gleichungssystem lösen, oder?
>
> [mm]x^{T}A^{T}By=x^{T}B(Cy)[/mm] <-- Wie erhalte ich aber daraus ein
> Gleichungssystem, welches ich lösen kann? Man hat doch
> dann auf beiden Seiten noch ein [mm]x^{T}[/mm] und ein y stehen...
Das soll ja für alle x, y gelten, insbesondere also gilt das für die Einheitsvektoren.
Daraus bekommt man doch Gleichungen.
Aber es ist doch B invertierbar, oder nicht?
Dann kann man doch einfach ein C suchen mit
A^TB=BC.
LG Angela
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