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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Menge der Bilinearformen auf V, BIL(V), mit den Verknüpfungen
(f+g)(v,w):=f(v,w)+g(v,w), [mm] f,g\in [/mm] BIL(V), [mm] v,w\in [/mm] V
(xf)(v,w):=x*f(v,w) [mm] f\in [/mm] BIL(V), [mm] v,w\in [/mm] V
zu einem K-Vektorraum wird |
Hallo nochmal,
dieses mal sind auf meinem Übungsblatt echt nervige Aufgaben. Ich denke die Aufgabe an sich ist nicht schwer aber ich habe Probleme mit dem Begriff der Bilinearität (Ja, ich hab auch schon nachgeforscht). Kann mir jemand vielleicht den Begriff kurz und einfach erklären?
Welche Eigenschaften muss ich in dieser AUfgabe zeigen?
Gruß und Danke
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Moin,
> Zeigen Sie, dass die Menge der Bilinearformen auf V,
> BIL(V), mit den Verknüpfungen
V ist sicherlich endlichdimensional?
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> (f+g)(v,w):=f(v,w)+g(v,w), [mm]f,g\in[/mm] BIL(V), [mm]v,w\in[/mm] V
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> (xf)(v,w):=x*f(v,w) [mm]f\in[/mm] BIL(V), [mm]v,w\in[/mm] V
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> zu einem K-Vektorraum wird
> Hallo nochmal,
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> dieses mal sind auf meinem Übungsblatt echt nervige
> Aufgaben. Ich denke die Aufgabe an sich ist nicht schwer
> aber ich habe Probleme mit dem Begriff der Bilinearität
> (Ja, ich hab auch schon nachgeforscht). Kann mir jemand
> vielleicht den Begriff kurz und einfach erklären?
Eine Bilinearform [mm] b:V\times V\to\IR, (v,w)\mapsto [/mm] b(v,w) hat folgende Eigenschaften:
a) Lineariät im ersten Argument: Für alle [mm] v,w,x\in [/mm] V und [mm] \lambda, \mu\in [/mm] k gilt
[mm] $b(\lambda*v+\mu*w, x)=\lambda [/mm] b(v, [mm] x)+\mu [/mm] b(w, x)$
b) Analog Linearität im zweiten Argument.
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> Welche Eigenschaften muss ich in dieser AUfgabe zeigen?
Tipp: Mit jeder Bilinearform ist eine Matrix eineindeutig assoziiert. Hat V also Dimension n, dann reicht es zu zeigen, dass BIL(V) ein Untervektorraum der [mm] n\times [/mm] n Matrizen ist.
Zeige also [mm] 0\in [/mm] BIL(V) sowie Abgeschlossenheit bzgl Skalarmultiplikation und Vektoraddition (die wurden oben definiert).
>
> Gruß und Danke
LG
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