Bilinearform definition < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten fast Abend,
ich sitze gerade an der Klausurvorbereitung und hab eine Frage zu einer Definition, genauer gesagt nur zur Notation.
Es geht um (symmetrische) Bilinearformen, und in der Aufgabe ist folgendes gegeben:
[mm]\begin {cases}
(u,v) = (v,u)\\
(\lambda_1u_1+\lambda_2u_2,v)= \lambda_1(u_1,v)+\lambda_2(u_2,v)\end {cases}[/mm]
Die Linearität im zweiten Teil hab ich ja verstanden, nur kenn ich die Notation im ersten Punkt nicht. Könnte mir einer kurz erklären, wie ich das zu verstehen hab?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Sa 07.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Guten fast Abend,
>
> ich sitze gerade an der Klausurvorbereitung und hab eine
> Frage zu einer Definition, genauer gesagt nur zur
> Notation.
> Es geht um (symmetrische) Bilinearformen, und in der
> Aufgabe ist folgendes gegeben:
> [mm]\begin {cases}
(u,v) = (v,u)\\
(\lambda_1u_1+\lambda_2u_2,v)= \lambda_1(u_1,v)+\lambda_2(u_2,v)\end {cases}[/mm]
>
> Die Linearität im zweiten Teil hab ich ja verstanden, nur
> kenn ich die Notation im ersten Punkt nicht. Könnte mir
> einer kurz erklären, wie ich das zu verstehen hab?
Sind u und v Vektoren, so ist (u,v) eine Zahl. Der erste Teil sagt: es kommt nicht auf die Reihenfolge an.
Definieren wir mal zum Spass für [mm] u=\vektor{x \\ y} [/mm] und [mm] v=\vektor{a \\ b}:
[/mm]
[u,v]=xb. Dann ist [v,u]=ay, also ist i.a. [u,v] [mm] \ne [/mm] [v,u]
FRED
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> Liebe Grüße
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Okay, das hab ich verstanden. Dann hab ich nurnoch die Frage, verbirgt sich hinter dieser Zahl eine Regel? Oder anders, gibt es eine feste Definition für diese Zahl? So ähnlich wie beim Skalarprodukt zweier Vektoren zb.
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> Okay, das hab ich verstanden. Dann hab ich nurnoch die
> Frage, verbirgt sich hinter dieser Zahl eine Regel? Oder
> anders, gibt es eine feste Definition für diese Zahl? So
> ähnlich wie beim Skalarprodukt zweier Vektoren zb.
Hallo,
wenn ich Deine Frage richtig deute, unterliegst Du einem Irrtum:
es gibt nicht nur das eine Skalarprodukt, welches man in der Schule kennenlernt.
Das Skalarprodukt (über einem [mm] \IR-VR) [/mm] ist eine Funktion mit bestimmten Eigenschaften, nämlich eine nicht ausgeartete, symmetrische, positiv definite Bilinearform,
und ein Beispiel für ein Skalarprodukt ist das wohlbekannte Standardskalarprodukt von Vektoren des [mm] \IR^n.
[/mm]
Bilinearformen sind das, was die Definition dazu sagt, und jede Funktion mit diesen Eigenschaften ist eine Bilinearform.
LG Angela
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Hallo,
wäre nicht das erste Mal, dass ich einem Irrtum unterliege. Aber ich bin ja lernwillig.
Ich tippe die Aufgabe, die dazu gehört mal ab, und versuch dann nochmal zu erklären womit ich nicht klarkomme.
Aufgabe:
Sei A eine symmetrische Matrix, dh. [mm] A = A^T [/mm]. Zeigen sie, dass [mm]F_A: K^n \times K^n \rightarrow K [/mm] gegeben durch [mm](x,y) \rightarrow x^T*A*y [/mm] eine symmetrische Bilinearform definiert.
Da ich die Notation nicht kenne, ist mir noch nicht ganz klar geworden, wie ich das zu prüfen hab.
Intuitiv würde ich die eine Seite in die andere umformen wollen, nur scheiterts bei mir daran, dass ich nicht weiß was ich umformen soll, da ich die Notation nicht übersetzt kriege.
Ich hoffe mein Problem ist jetzt etwas klarer.
Liebe Grüße
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> Aufgabe:
> Sei A eine symmetrische Matrix, dh. [mm]A = A^T [/mm]. Zeigen sie,
> dass [mm]F_A: K^n \times K^n \rightarrow K[/mm] gegeben durch [mm](x,y) \rightarrow x^T*A*y[/mm]
> eine symmetrische Bilinearform definiert.
Hallo,
zunächst einmal müßten wir eigentlich wissen, wie Eure Definition von "symmetrische Bilinearform" aussieht.
Für einen K-Vektorräume V heißt die Abbildung
b: [mm] V\times [/mm] V [mm] \to [/mm] K symmetrische Bilinearform auf V, wenn gilt:
1.
linear im ersten Argument: [mm] b(\lambda_1u_1+\lambda_2u_2,v)= \lambda_1b(u_1,v)+\lambda_2b(u_2,v).
[/mm]
2.
linear im zweiten Argument: [mm] b(u,\mu v_1+\mu v_2)= \mu_1 b(u,v_1)+\mu_2 [/mm] b(u, [mm] v_2).
[/mm]
3.
symmetrisch: b(u,v)=b(v,u).
Statt b(u,v) schreibt man auch <u,v> (oder mancherorten (u,v)), damit sehen die drei Bedingungen so aus:
[mm] <\lambda_1u_1+\lambda_2u_2,v>= \lambda_1+\lambda_2 [/mm] usw.
Du sollst nun zeigen, daß die oben definierte Abbildung eine symmetrische Bilinearform ist, mußt also vorrechnen, daß alle drei Bedingungen gelten.
Zu zeigen ist also
1. [mm] F_A(\lambda_1u_1+\lambda_2u_2,v)= \lambda_1 F_A(u_1,v)+\lambda_2 F_A(u_2,v),
[/mm]
2. [mm] F_A(u,\mu v_1+\mu v_2)= \mu_1 F_A(u,v_1)+\mu_2 F_A(u, v_2)
[/mm]
3. [mm] F_A(u,v)=F_A(v,u).
[/mm]
Beweis:
1.
Es ist
[mm] F_A(\lambda_1u_1+\lambda_2u_2,v) =(\lambda_1u_1+\lambda_2u_2)^TAv= (\lambda_1u_1)^TAv+(\lambda_2u_2)^TAv= [/mm] ...= [mm] \lambda_1 F_A(u_1,v)+\lambda_2 F_A(u_2,v)
[/mm]
usw.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 So 08.06.2014 | | Autor: | Killercat |
Okay, danke :)
ich habs verstanden
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Sa 14.06.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> wäre nicht das erste Mal, dass ich einem Irrtum
> unterliege. Aber ich bin ja lernwillig.
> Ich tippe die Aufgabe, die dazu gehört mal ab, und
> versuch dann nochmal zu erklären womit ich nicht
> klarkomme.
>
> Aufgabe:
> Sei A eine symmetrische Matrix, dh. [mm]A = A^T [/mm]. Zeigen sie,
> dass [mm]F_A: K^n \times K^n \rightarrow K[/mm] gegeben durch [mm](x,y) \rightarrow x^T*A*y[/mm]
> eine symmetrische Bilinearform definiert.
>
> Da ich die Notation nicht kenne, ist mir noch nicht ganz
> klar geworden, wie ich das zu prüfen hab.
na, die Übersetzung wäre diese:
Anstatt [mm] $\red{(}u,v\red{)}\,$ [/mm] steht da [mm] $F_A(u,v)\,.$ [/mm] Die Frage, ob
[mm] $\red{(}u,v\red{)}=\red{(}v,u\red{)}\,$
[/mm]
für $u,v [mm] \in K^n$ [/mm] gilt, besagt nichts anderes, als die Frage, ob (stets) die
Gleichheit
[mm] $F_A(u,v)=F_A(v,u)$
[/mm]
gilt.
Dazu: Es ist per Definitionem
[mm] $F_A(u,v)=u^T [/mm] A v$
und
[mm] $F_A(v,u)=v^T [/mm] A [mm] u\,.$
[/mm]
Aus der linearen Algebra weißt Du sicher (beachte [mm] $(r)^T=(r)\,$ [/mm] für eine $1 [mm] \times [/mm] 1$-Matrix)
[mm] $u^T [/mm] A [mm] v=(u^T [/mm] A [mm] v)^T=v^T (u^T A)^T=v^T A^T (u^T)^T\,.$
[/mm]
Frage an Dich: Wieso stimmt die rechte Seite mit [mm] $v^T [/mm] A [mm] u=F_A(v,u)$ [/mm] überein
(bedenke bitte dabei auch die Voraussetzung an [mm] $A\,$)?
[/mm]
P.S. Oben habe ich, wenn nicht einfach ein Paar $(u,v) [mm] \in K^n \times K^n$ [/mm] gemeint
war, die entsprechende Operation dadurch gekennzeichnet, dass ich die
runden Klammern rot markiert habe. Alleine das kann natürlich schon
verwirrend sein. Vielleicht schreibst Du in Eurer Definition lieber erstmal
[mm] $\,$ [/mm] oder ähnliches, anstelle von [mm] $(u,v)\,.$
[/mm]
Denn etwa in
[mm] $F_A(u,v)$
[/mm]
hat das [mm] $(u,v)\,$ [/mm] nur die Bedeutung eines Arguments aus [mm] $K^n \times K^n\,,$
[/mm]
besser würde man dafür etwa
[mm] $F_A(\;(u,v)\;)$
[/mm]
schreiben, was aber nichts daran ändert, dass die andere Notation von
[mm] $(u,v)\,$ [/mm] (im Sinne einer Bilinearform) hier dennoch für Verwirrung sorgen kann.
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | Sei K ein Körper und V ein K-VR. Wir nennen F=(-,-) [mm] V \times V \rightarrow K [/mm] eine symmetrische Bilinearform, falls gilt:
1) [mm](u,v) = (v,u)[/mm]
2) [mm] (\lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 ,v) = \lambda_1(u_1,v)+\lambda_2(u_2,v)[/mm]
Sei A eine symmetrische Matrix, also [mm]A=A^t[/mm] Zeigen sie, dass [mm]F_A: K^n \times K^n \rightarrow K [/mm] gegeben durch [mm] (x,y) = x^t*A*y[/mm] eine symmetrische Bilinearform definiert.
Sei [mm]B = (v_1,....,v_n)[/mm] eine Basis von V. Dann ist [mm]B_F[/mm] mit Einträgen [mm] b_{ij}= (v_i, v_j) [/mm] die darstellende Matrix von F bzgl B. Beweisen sie, dass B symmetrisch ist und dass folgendes Diagramm von Abbildungen kommutiert:
F: V [mm] \times [/mm] V [mm] \rightarrow [/mm] K
[mm] F_B: [/mm] K [mm] \rightarrow K^n \times K^n
[/mm]
[mm] \delta_B \times \delta_B: K^n \times K^n \rightarrow [/mm] V [mm] \times [/mm] V |
Guten Morgen,
ich schäme mich langsam schon fast, ständig was fragen zu müssen, aber ich hoffe ihr habt Verständnis dafür. Ich beginne mich gerade erst etwas tiefer mit dem Stoff zu befassen und bin deswegen etwas unsicher.
Die Aufgabe ist die Fortführung von der oben, ich tipps aber der Einfachheit halber oben nochmal ganz ab.
Die erste Aufgabe hab ich dank eurer Hilfe ja recht einfach hingekriegt, als ich die Notation verstanden hatte.
Jetzt gehts um den zweiten Teil.
Ich bilde mir ein zu wissen, dass mit der darstellenden Matrix die Abbildungsmatrix gemeint ist. Folglich müssten die [mm]b_{ij}[/mm] Basisvektoren sein.
Dass eine Matrix symmetrisch ist wenn gilt [mm] B= B^t [/mm] weiß ich auch, unahängig davon ob es oben in der Aufgabe steht oder nicht.
Mein Problem ist jetzt, wie zeige ich, dass B symmetrisch ist. Ich kenne die Definition, bzw wir haben das ganze so gelernt das wenn ich [mm] b_{ij}[/mm] transponiere, dass dann [mm]b_{ji}[/mm] daraus wird, aber ich bezweifle stark, dass es so einfach ist.
Beim zweiten Teil fehlt mir der Ansatz allerdings.
Es müsste ja zu zeigen sein, dass [mm] F_B = F\circ \delta_B \times \delta_B [/mm] ist.
Wie immer, ich danke für jede Antwort und - auch wenn es selbstverständlich erscheinen mag - ich verlange keine Lösung, ich möchte lernen sowas selbst zu lösen und wäre daher einfach nur froh über einen (evtl. etwas kräftigeren) Schubs in die richtige Richtung.
Liebe Grüße
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> Sei K ein Körper und V ein K-VR. Wir nennen F=(-,-) [mm]V \times V \rightarrow K[/mm]
> eine symmetrische Bilinearform, falls gilt:
> 1) [mm](u,v) = (v,u)[/mm]
> 2) [mm](\lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 ,v) = \lambda_1(u_1,v)+\lambda_2(u_2,v)[/mm]
>
> Sei A eine symmetrische Matrix, also [mm]A=A^t[/mm] Zeigen sie, dass
> [mm]F_A: K^n \times K^n \rightarrow K[/mm] gegeben durch [mm](x,y) = x^t*A*y[/mm]
> eine symmetrische Bilinearform definiert.
>
> Sei [mm]B = (v_1,....,v_n)[/mm] eine Basis von V. Dann ist [mm]B_F[/mm] mit
> Einträgen [mm]b_{ij}= (v_i, v_j)[/mm] die darstellende Matrix von F
> bzgl B. Beweisen sie, dass B symmetrisch ist und dass
> folgendes Diagramm von Abbildungen kommutiert:
> F: V [mm]\times[/mm] V [mm]\rightarrow[/mm] K
> [mm]F_B:[/mm] K [mm]\rightarrow K^n \times K^n[/mm]
> [mm]\delta_B \times \delta_B: K^n \times K^n \rightarrow[/mm]
> V [mm]\times[/mm] V
Hallo,
könnte es sein, daß die Aufgabenstellung nicht ganz vollständig ist?
Es wäre echt gut, die komplette Aufgabenstellung mit Teilaufgaben, einleitenden Texten (!) und allem Pipapo vor Augen zu haben,
um weniger raten zu müssen und außerdem exakt Eure Notationen verwenden zu können.
Irgendwie fehlt mir die Erklärung dessen, was F bei dieser Teilaufgabe sein soll.
Irgendeine symmetrische Bilinearform?
Und [mm] \delta_B? [/mm] Die Koordinatenabbildung?
> ich schäme mich langsam schon fast, ständig was fragen zu
> müssen,
Dazu ist das Forum da.
Sei also
F:V [mm]\times[/mm] V [mm]\rightarrow[/mm] K
eine symmetrische Bilinearform.
Wahrscheinlich steht noch irgendwie etwas da
> Jetzt gehts um den zweiten Teil.
> Ich bilde mir ein zu wissen, dass mit der darstellenden
> Matrix die Abbildungsmatrix gemeint ist. Folglich müssten
> die [mm]b_{ij}[/mm] Basisvektoren sein.
[mm] B_F [/mm] ist die Darstellungsmatrix von F bzgl der Basis [mm] B:=(v_1,...,v_n).
[/mm]
Was tut diese Matrix?
Dies:
ist [mm] x:=x_1v_1+...+x_nv_n, [/mm]
[mm] y:=y_1v_1+...+y_nv_n,
[/mm]
so liefert [mm] \vektor{x_1&...&x_n}*B_F*\vektor{y_1\\\vdots\\y_n} [/mm] das Ergebnis [mm] B_F [/mm] von F(x,y) in Koordinaten bzgl. B.
Die [mm] b_i_j [/mm] sind die lt. Aufgabenstellung Einträge von [mm] B_F [/mm] an der Position i-te Zeile/j-te Spalte.
Sie entstehen, indem man [mm] F(v_i,v_j) [/mm] berechnet.
(Das ist in der Aufgabenstellung mit [mm] (v_i,v_j) [/mm] gemeint. Macht Ihr da wirklich runde Klammern? Find' ich blöd...)
> Dass eine Matrix symmetrisch ist wenn gilt [mm]B= B^t[/mm] weiß
> ich auch, unahängig davon ob es oben in der Aufgabe steht
> oder nicht.
>
> Mein Problem ist jetzt, wie zeige ich, dass B symmetrisch
> ist.
Eine Matrix ist symmetrisch, wenn der Eintrag an der Position i-te Zeile/j-te Spalte derselbe ist wie an der Position j-te Zeile/i-te Spalte.
Du mußt ale zeigen, daß [mm] b_i_j=b_j_i,
[/mm]
und da die Bilinearform symmetrisch ist, sollte das leicht sein.
> Beim zweiten Teil fehlt mir der Ansatz allerdings.
> Es müsste ja zu zeigen sein, dass [mm]F_B = F\circ \delta_B \times \delta_B[/mm]
> ist.
Hm.
[mm] F_B:K\to K^n\times K^n
[/mm]
(wie ist [mm] F_B [/mm] eigentlich definiert?),
und
[mm] F\circ \delta_B \times \delta_B: K^n\times K^n\to [/mm] K.
Da können die irgendwie nicht gleich sein...
LG Angela
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> Hallo,
>
> könnte es sein, daß die Aufgabenstellung nicht ganz
> vollständig ist?
> Es wäre echt gut, die komplette Aufgabenstellung mit
> Teilaufgaben, einleitenden Texten (!) und allem Pipapo vor
> Augen zu haben,
> um weniger raten zu müssen und außerdem exakt Eure
> Notationen verwenden zu können.
Das dachte ich mir, es tut mir leid dich da enttäuschen zu müssen, aber die Aufgabenstellung steht tatsächlich 1:1 so auf dem Blatt. Ich hab eig Buchstabe für Buchstabe abgetippt
> Irgendwie fehlt mir die Erklärung dessen, was F bei
> dieser Teilaufgabe sein soll.
> Irgendeine symmetrische Bilinearform?
Das deckt sich in gewisser Hinsicht mit meinem Problem. Ich hätte angenommen die Abbildung [mm] F_A [/mm] aus Teilaufgabe 1 verwenden zu dürfen, bin mir da aber nicht so sicher.
> Und [mm]\delta_B?[/mm] Die Koordinatenabbildung?
In der Vorlesung kam [mm] \delta [/mm] in der Form nur für die Abbildung in den dualen Raum vor. Wir haben zwar auchnoch die Delta- Funktion und das Kronecker (?) Symbol behandelt, aber ich glaube nicht, dass das dazu gehört.
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> > ich schäme mich langsam schon fast, ständig was fragen zu
> > müssen,
>
> Dazu ist das Forum da.
>
> Sei also
> F:V [mm]\times[/mm] V [mm]\rightarrow[/mm] K
> eine symmetrische Bilinearform.
>
> Wahrscheinlich steht noch irgendwie etwas da
Noch nicht, vllt findet sich gleich noch was. (Spaß beiseite, ich müsste eig alles abgetippt haben)
>
> > Jetzt gehts um den zweiten Teil.
> > Ich bilde mir ein zu wissen, dass mit der darstellenden
> > Matrix die Abbildungsmatrix gemeint ist. Folglich müssten
> > die [mm]b_{ij}[/mm] Basisvektoren sein.
>
> [mm]B_F[/mm] ist die Darstellungsmatrix von F bzgl der Basis
> [mm]B:=(v_1,...,v_n).[/mm]
>
> Was tut diese Matrix?
> Dies:
> ist [mm]x:=x_1v_1+...+x_nv_n,[/mm]
> [mm]y:=y_1v_1+...+y_nv_n,[/mm]
>
> so liefert
> [mm]\vektor{x_1&...&x_n}*B_F*\vektor{y_1\\\vdots\\y_n}[/mm] das
> Ergebnis [mm]B_F[/mm] von F(x,y) in Koordinaten bzgl. B.
>
> Die [mm]b_i_j[/mm] sind die lt. Aufgabenstellung Einträge von [mm]B_F[/mm]
> an der Position i-te Zeile/j-te Spalte.
> Sie entstehen, indem man [mm]F(v_i,v_j)[/mm] berechnet.
> (Das ist in der Aufgabenstellung mit [mm](v_i,v_j)[/mm] gemeint.
> Macht Ihr da wirklich runde Klammern? Find' ich blöd...)
>
>
> > Dass eine Matrix symmetrisch ist wenn gilt [mm]B= B^t[/mm] weiß
> > ich auch, unahängig davon ob es oben in der Aufgabe steht
> > oder nicht.
> >
> > Mein Problem ist jetzt, wie zeige ich, dass B symmetrisch
> > ist.
>
> Eine Matrix ist symmetrisch, wenn der Eintrag an der
> Position i-te Zeile/j-te Spalte derselbe ist wie an der
> Position j-te Zeile/i-te Spalte.
>
> Du mußt ale zeigen, daß [mm]b_i_j=b_j_i,[/mm]
> und da die Bilinearform symmetrisch ist, sollte das leicht
> sein.
Des einen Freud des anderen Leid. Versuchen werd ichs trotzdem.
Was mir beim Lesen auffällt ist folgendes:
Wenn die [mm]b_{ij}[/mm] durch [mm]F(V-i,v_j) [/mm] zustande kommen und [mm]b_{ij}= b_{ji}[/mm] gelten muss, impliziert das nicht automatisch, dass [mm]F(V-i,v_j) = F(v_j,v_i)[/mm] sein muss? Was ja, da die Bilinearform symmetrisch ist offenbar der Fall ist.?
>
> > Beim zweiten Teil fehlt mir der Ansatz allerdings.
> > Es müsste ja zu zeigen sein, dass [mm]F_B = F\circ \delta_B \times \delta_B[/mm]
> > ist.
>
> Hm.
>
> [mm]F_B:K\to K^n\times K^n[/mm]
> (wie ist [mm]F_B[/mm] eigentlich
> definiert?),
Keine Info gegeben
> und
> [mm]F\circ \delta_B \times \delta_B: K^n\times K^n\to[/mm] K.
>
> Da können die irgendwie nicht gleich sein...
Ich setz mich jetzt mal eben an die Symmetrie, und, aus Erfahrung weiß ich ich bin etwas blind, deswegen hier einfach mal der Link zur Übung, ich müsste aber alles erwähnt haben.
http://www.mi.uni-koeln.de/~burban/Blatt10.pdf
>
> LG Angela
>
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> > Irgendwie fehlt mir die Erklärung dessen, was F bei
> > dieser Teilaufgabe sein soll.
Hallo,
wir denken uns also, daß da noch steht: sei [mm] F:V\times V\to [/mm] K eine symmetrische Bilinearform,
und der einleitenden Definition entnehmen wir, daß das, was ich als F(v,w) schreibe, mit (v,w) bezeichnet wird.
Vielleicht sollten wir uns darauf einigen, daß wir, wenn wir Klammern nehmen wollen, lieber eckige nehmen, also darauf, daß F(v,w):=<v,w>.
Das birgt weniger Verwirrungspotential.
> > Und [mm]\delta_B?[/mm] Die Koordinatenabbildung?
[mm] \delta_B [/mm] ist die Koordinatenabbildung, ich denke, sie ist aus der VL bekannt im Zusammenhang mit darstellenden Matrizen von linearen Abbildungen.
[mm] \delta_B: K^n\to V^n
[/mm]
[mm] \delta_B(\vektor{x_1\\\vdots\\x_n}:=x_1v_1+...+x_nv_n
[/mm]
> > [mm]B_F[/mm] ist die Darstellungsmatrix von F bzgl der Basis
> > [mm]\mathcal{B}:=(v_1,...,v_n).[/mm]
> > Die [mm]b_i_j[/mm] sind die lt. Aufgabenstellung Einträge von [mm]B_F[/mm]
> > Du mußt ale zeigen, daß [mm]b_i_j=b_j_i,[/mm]
> > und da die Bilinearform symmetrisch ist, sollte das
> leicht
> > sein.
> Des einen Freud des anderen Leid. Versuchen werd ichs
> trotzdem.
> Was mir beim Lesen auffällt ist folgendes:
> Wenn die [mm]b_{ij}[/mm] durch [mm]F(v_i,v_j)[/mm] zustande kommen
Ja, genau.
> und
> [mm]b_{ij}= b_{ji}[/mm] gelten muss, impliziert das nicht
> automatisch, dass [mm]F(V-i,v_j) = F(v_j,v_i)[/mm] sein muss?
Umgekehrt:
es ist nach Voraussetzung (F symmetrische Bilinearform)
[mm] =, [/mm] und daraus folgt, daß [mm] b_i_j=b_j_i [/mm] für alle i,j.
> > > Beim zweiten Teil fehlt mir der Ansatz allerdings.
Wir haben an Zutaten die Abbildungen
[mm] F:V\times V\to [/mm] K,
welche eine symmetrische Bilinearform ist,
[mm] \delta_B\times \delta_B: K^n\times K^n\to V\times [/mm] V,
welche die Koordinatenabbildung ist
[mm] F_B: K^n\times K^n \to [/mm] K (nicht etwa umgekehrt, wie Du es schriebst!) mit
[mm] F_B(x,y):=x^TBy.
[/mm]
> > > Es müsste ja zu zeigen sein, dass [mm]F_B = F\circ \delta_B \times \delta_B[/mm]
Genau, und jetzt paßt das ja auch.
Jetzt solltest Du vorrechnen, daß es stimmt:
seien [mm] x:=\vektor{x_1\\\vdots\\x_n}, y:=\vektor{y_1\\\vdots\\y_n}\in [/mm] K.
Zeige nun, daß [mm] F_B(x,y) [/mm] dasselbe ergibt wie [mm] (F\circ \delta_B \times \delta_B)(x,y)=F((\delta_B \times \delta_B)(x,y))=F(\delta_B(x), \delta_b(y)).
[/mm]
LG Angela
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> wir denken uns also, daß da noch steht: sei [mm]F:V\times V\to[/mm]
> K eine symmetrische Bilinearform,
>
> und der einleitenden Definition entnehmen wir, daß das,
> was ich als F(v,w) schreibe, mit (v,w) bezeichnet wird.
> Vielleicht sollten wir uns darauf einigen, daß wir, wenn
> wir Klammern nehmen wollen, lieber eckige nehmen, also
> darauf, daß F(v,w):=<v,w>.
> Das birgt weniger Verwirrungspotential.
>
> > > Und [mm]\delta_B?[/mm] Die Koordinatenabbildung?
>
> [mm]\delta_B[/mm] ist die Koordinatenabbildung, ich denke, sie ist
> aus der VL bekannt im Zusammenhang mit darstellenden
> Matrizen von linearen Abbildungen.
>
> [mm]\delta_B: K^n\to V^n[/mm]
>
> [mm]\delta_B(\vektor{x_1\\\vdots\\x_n}:=x_1v_1+...+x_nv_n[/mm]
>
> > > [mm]B_F[/mm] ist die Darstellungsmatrix von F bzgl der Basis
> > > [mm]\mathcal{B}:=(v_1,...,v_n).[/mm]
>
> > > Die [mm]b_i_j[/mm] sind die lt. Aufgabenstellung Einträge von [mm]B_F[/mm]
>
> > > Du mußt ale zeigen, daß [mm]b_i_j=b_j_i,[/mm]
> > > und da die Bilinearform symmetrisch ist, sollte das
> > leicht
> > > sein.
> > Des einen Freud des anderen Leid. Versuchen werd ichs
> > trotzdem.
> > Was mir beim Lesen auffällt ist folgendes:
> > Wenn die [mm]b_{ij}[/mm] durch [mm]F(v_i,v_j)[/mm] zustande kommen
>
> Ja, genau.
>
> > und
> > [mm]b_{ij}= b_{ji}[/mm] gelten muss, impliziert das nicht
> > automatisch, dass [mm]F(V-i,v_j) = F(v_j,v_i)[/mm] sein muss?
>
> Umgekehrt:
> es ist nach Voraussetzung (F symmetrische Bilinearform)
>
> [mm]=,[/mm] und daraus folgt, daß [mm]b_i_j=b_j_i[/mm]
> für alle i,j.
>
>
> > > > Beim zweiten Teil fehlt mir der Ansatz allerdings.
>
> Wir haben an Zutaten die Abbildungen
>
> [mm]F:V\times V\to[/mm] K,
> welche eine symmetrische Bilinearform ist,
>
> [mm]\delta_B\times \delta_B: K^n\times K^n\to V\times[/mm] V,
> welche die Koordinatenabbildung ist
>
> [mm]F_B: K^n\times K^n \to[/mm] K (nicht etwa umgekehrt, wie Du es
> schriebst!) mit
> [mm]F_B(x,y):=x^TBy.[/mm]
>
>
> > > > Es müsste ja zu zeigen sein, dass [mm]F_B = F\circ \delta_B \times \delta_B[/mm]
>
> Genau, und jetzt paßt das ja auch.
>
> Jetzt solltest Du vorrechnen, daß es stimmt:
>
> seien [mm]x:=\vektor{x_1\\\vdots\\x_n}, y:=\vektor{y_1\\\vdots\\y_n}\in[/mm]
> K.
>
> Zeige nun, daß [mm]F_B(x,y)[/mm] dasselbe ergibt wie [mm](F\circ \delta_B \times \delta_B)(x,y)=F((\delta_B \times \delta_B)(x,y))=F(\delta_B(x), \delta_b(y)).[/mm]
>
Welcher Abbildungsvorschrift unterliegt F denn? Nachdem es ja mehr als einen Weg gibt, eine Abbildung V [mm] \times [/mm] V [mm] \rightarrow [/mm] K zu definieren. Das ist der letzte Schritt der mir noch fehlt dabei.
> LG Angela
Liebe Grüße
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> > sei [mm]F:V\times V\to[/mm]
> > K eine symmetrische Bilinearform,
> > [mm]\delta_B: K^n\to V^n[/mm]
> > [mm]\delta_B(\vektor{x_1\\\vdots\\x_n}:=x_1v_1+...+x_nv_n[/mm]
> >
> > > > [mm]B_F[/mm] ist die Darstellungsmatrix von F bzgl der Basis
> > > > [mm]\mathcal{B}:=(v_1,...,v_n).[/mm]
> >
> > [mm]F_B: K^n\times K^n \to[/mm] K
> > [mm]F_B(x,y):=x^TBy.[/mm]
> >
> >
> > > > > Es müsste ja zu zeigen sein, dass [mm]F_B = F\circ \delta_B \times \delta_B[/mm]
> >
> > Jetzt solltest Du vorrechnen, daß es stimmt:
> >
> > seien [mm]x:=\vektor{x_1\\\vdots\\x_n}, y:=\vektor{y_1\\\vdots\\y_n}\in[/mm]
> > K.
> >
> > Zeige nun, daß [mm]F_B(x,y)[/mm] dasselbe ergibt wie [mm](F\circ \delta_B \times \delta_B)(x,y)=F((\delta_B \times \delta_B)(x,y))=F(\delta_B(x), \delta_b(y)).[/mm]
>
> >
> Welcher Abbildungsvorschrift unterliegt F denn?
Hallo,
wir haben hier keine spezielle Abbildungsvorschrift.
F ist einfach eine symmetrische Bilinearform, erfüllt also alle Forderungen, die man an eine symmetrische Bilinearform hat.
Wenn [mm] (e_1,...,e_n) [/mm] die Standardbasis des [mm] K^n [/mm] ist,
[mm] B:=(v_1,...,v_n) [/mm] die gegebene Basis von V.
Dann ist doch [mm] x=\summe x_ie_i, [/mm] und [mm] \delta_B(x)= [/mm] ???
Das würd' ich mal passend [mm] F_B(x,y) [/mm] und in [mm] (F\circ \delta_B \times \delta_B)(x,y)=F(\delta_B(x), \delta_b(y)) [/mm] einsetzen und gucken, ob dasselbe herauskommt.
LG Angela
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> [mm]\delta_B(\vektor{x_1\\\vdots\\x_n}:=x_1v_1+...+x_nv_n[/mm]
>
>
> Wenn [mm](e_1,...,e_n)[/mm] die Standardbasis des [mm]K^n[/mm] ist,
> [mm]B:=(v_1,...,v_n)[/mm] die gegebene Basis von V.
>
> Dann ist doch [mm]x=\Summe x_ie_i,[/mm] und [mm]\delta_B(x)=[/mm] ???
[mm] \delta_B(x) [/mm] ist, nach dem was du oben geschrieben hast [mm] x_1v_1e_1+....+x_nv_ne_n
[/mm]
>
> Das würd' ich mal passend [mm]F_B(x,y)[/mm] und in [mm](F\circ \delta_B \times \delta_B)(x,y)=F(\delta_B(x), \delta_b(y))[/mm]
> einsetzen und gucken, ob dasselbe herauskommt.
[mm]F_B(x,y) = x^tBy [/mm]
[mm] \delta_B(x) [/mm] = [mm] x_1v_1e_1+....+x_nv_ne_n
[/mm]
[mm] \delta_B(y) [/mm] = [mm] y_1v_1e_1+....+y_nv_ne_n
[/mm]
Jetzt stellt sich mir die Frage, was ist [mm] F(\delta_B(x),\delta_b(y))
[/mm]
Ich denke jetzt einfach mal laut. Da F eine symmetrische Bilinearform ist gilt erstmal <v,w> = <w,v>, dh [mm] <\delta_B(x), \delta_B(y)> [/mm] = [mm] <\delta_B(y), \delta_B(x)>
[/mm]
Die nächste Frage für mich ist, was ist denn [mm]F_B(x,y) = x^tBy [/mm] explizit?
[mm] x^t [/mm] ist ein transponierter Vektor, so wie ich es verstanden habe. Man kann aber ja nur mit einer Matrix multiplizieren, wenn diese die selbe Spaltenanzahl wie mein Multiplikator (ich meine [mm]x^t[/mm]) hat.
Als nächstens geht es um
[mm] \delta_B(x) [/mm] = [mm] x_1v_1e_1+....+x_nv_ne_n
[/mm]
[mm] \delta_B(y) [/mm] = [mm] y_1v_1e_1+....+y_nv_ne_n
[/mm]
Ich frage mich, ob ich daraus nicht machen kann:
[mm] \delta_B(x,y) [/mm] = [mm] (x_1y_1)v_1e_1+....+(x_ny_n)v_ne_n
[/mm]
(Was mir das bringen soll weiß ich auch nicht, ich versuche gerade einen Kuchen zu backen indem ich wahrlos Zutaten reinschmeiße und hoffe, dass ein Kuchen bei rauskommt)
Dabei muss ich es erstmal belassen, antwort darauf bereits wäre schön, ich führe meine Überlegungen aber noch weiter zu einem späteren Zeitpunkt.
>
>
> LG Angela
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> > [mm]\delta_B(\vektor{x_1\\\vdots\\x_n}:=x_1v_1+...+x_nv_n[/mm]
>
> >
> >
> > Wenn [mm](e_1,...,e_n)[/mm] die Standardbasis des [mm]K^n[/mm] ist,
> > [mm]B:=(v_1,...,v_n)[/mm] die gegebene Basis von V.
> >
> > Dann ist doch [mm]x=\Summe x_ie_i,[/mm] und [mm]\delta_B(x)=[/mm] ???
> [mm]\delta_B(x)[/mm] ist, nach dem was du oben geschrieben hast
> [mm]x_1v_1e_1+....+x_nv_ne_n[/mm]
Hallo,
wie hast Du das anhand dessen, was ich schrieb, herausgefunden?
(Wie verknüpfst Du die [mm] v_i [/mm] mit den [mm] e_i?)
[/mm]
Du mußt Dir klarmachen, was die Koordinatenabbildung macht!
LG Angela
> >
> > Das würd' ich mal passend [mm]F_B(x,y)[/mm] und in [mm](F\circ \delta_B \times \delta_B)(x,y)=F(\delta_B(x), \delta_b(y))[/mm]
> > einsetzen und gucken, ob dasselbe herauskommt.
> [mm]F_B(x,y) = x^tBy[/mm]
> [mm]\delta_B(x)[/mm] = [mm]x_1v_1e_1+....+x_nv_ne_n[/mm]
> [mm]\delta_B(y)[/mm] = [mm]y_1v_1e_1+....+y_nv_ne_n[/mm]
> Jetzt stellt sich mir die Frage, was ist
> [mm]F(\delta_B(x),\delta_b(y))[/mm]
> Ich denke jetzt einfach mal laut. Da F eine symmetrische
> Bilinearform ist gilt erstmal <v,w> = <w,v>, dh
> [mm]<\delta_B(x), \delta_B(y)>[/mm] = [mm]<\delta_B(y), \delta_B(x)>[/mm]
>
> Die nächste Frage für mich ist, was ist denn [mm]F_B(x,y) = x^tBy[/mm]
> explizit?
> [mm]x^t[/mm] ist ein transponierter Vektor, so wie ich es
> verstanden habe. Man kann aber ja nur mit einer Matrix
> multiplizieren, wenn diese die selbe Spaltenanzahl wie mein
> Multiplikator (ich meine [mm]x^t[/mm]) hat.
>
> Als nächstens geht es um
> [mm]\delta_B(x)[/mm] = [mm]x_1v_1e_1+....+x_nv_ne_n[/mm]
> [mm]\delta_B(y)[/mm] = [mm]y_1v_1e_1+....+y_nv_ne_n[/mm]
> Ich frage mich, ob ich daraus nicht machen kann:
> [mm]\delta_B(x,y)[/mm] = [mm](x_1y_1)v_1e_1+....+(x_ny_n)v_ne_n[/mm]
> (Was mir das bringen soll weiß ich auch nicht, ich
> versuche gerade einen Kuchen zu backen indem ich wahrlos
> Zutaten reinschmeiße und hoffe, dass ein Kuchen bei
> rauskommt)
> Dabei muss ich es erstmal belassen, antwort darauf bereits
> wäre schön, ich führe meine Überlegungen aber noch
> weiter zu einem späteren Zeitpunkt.
> >
> >
> > LG Angela
>
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Hallo,
ich hab mich mal etwas intensiver hingesetzt und mich damit beschäftigt. Es fühlt sich zwar selbst für mich bereits an wie Zähne ziehen, deswegen erstmal ein danke und entschuldigung an dieser Stelle.
Es hat ein bisschen gedauert, ich musste mich durch die Beziechnungen einmal durchwuseln. Auch wenn das vllt. nicht so scheint, aber ich fühle mich zumindest schonmal schlauer.
Also, für mich einmal zusammengefasst.
Es ist zu zeigen, dass:
[mm] F_B(x,y) [/mm] = [mm] F(\delta_B(x), \delta_B(y)), [/mm] wobei [mm] F_B(x,y) [/mm] = [mm]x^tBy[/mm] ist.
Seien im folgenden also x= [mm] \vektor{x_1\\\vdots\\x_n}
[/mm]
und y= [mm] (\vektor{y_1\\\vdots\\y_n}
[/mm]
So wie B = [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] und C = [mm] (w_1,.....,w_n) [/mm] Basen.
Da x und y beide aus den K-VR V sind, existiert für beide Basisbedingt eine eindeutige Darstellung mit:
x= [mm] \lambda_1v_1+....+\lambda_nv_n
[/mm]
y= [mm] \mu_1v_1+...+\mu_nv_n
[/mm]
Die Koordinatenabbildung [mm] \delta_B [/mm] macht jetzt, wenn ich das richtig verstanden habe folgendes:
[mm] \delta_B [/mm] : x [mm] \rightarrow (\vektor{\lambda_1\\\vdots\\\lambda_n}
[/mm]
D.h für mich folgendes:
[mm] F(\delta_B(x),\delta_B(y)) [/mm] = [mm] F(\vektor{\lambda_1\\\vdots\\\lambda_n}, \vektor{\mu_1\\\vdots\\\mu_n})
[/mm]
Der nächste Schritt für mich wäre, x = [mm] \lambda1v_1+....+\lambda_nv_n [/mm] in [mm] F_B [/mm] einzusetzen.
Da B ja symmetrisch ist, wird hierbei irgendwo wohl [mm]B=B^t[/mm] einzusetzen, das muss aber bis gleich warten. Ich poste das hier dann rein.
Liebe Grüße
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> Hallo,
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> ich hab mich mal etwas intensiver hingesetzt und mich damit
> beschäftigt.
Hallo,
das ist oftmals der Schlüssel zum Erfolg.
> Also, für mich einmal zusammengefasst.
> Es ist zu zeigen, dass:
> [mm]F_B(x,y)[/mm] = [mm]F(\delta_B(x), \delta_B(y)),[/mm] wobei [mm]F_B(x,y)[/mm] =
> [mm]x^tBy[/mm] ist.
> Seien im folgenden also x= [mm]\vektor{x_1\\\vdots\\x_n}[/mm]
> und y= [mm](\vektor{y_1\\\vdots\\y_n}[/mm]
> So wie B = [mm](v_1,...,v_n)[/mm] und C = [mm](w_1,.....,w_n)[/mm] Basen
von V, nehme ich an.
> Da x und y beide aus den K-VR V sind, existiert für beide
> Basisbedingt eine eindeutige Darstellung mit:
> x= [mm]\lambda_1v_1+....+\lambda_nv_n[/mm]
> y= [mm]\mu_1v_1+...+\mu_nv_n[/mm]
Ja.
>
> Die Koordinatenabbildung [mm]\delta_B[/mm] macht jetzt, wenn ich das
> richtig verstanden habe folgendes:
> [mm]\delta_B[/mm] : x [mm]\rightarrow (\vektor{\lambda_1\\\vdots\\\lambda_n}[/mm]
>
> D.h für mich folgendes:
> [mm]F(\delta_B(x),\delta_B(y))[/mm] =
> [mm]F(\vektor{\lambda_1\\\vdots\\\lambda_n}, \vektor{\mu_1\\\vdots\\\mu_n})[/mm]
Genau umgekehrt (s. das Diagramm):
[mm] \delta_B:K^n\to [/mm] V mit
[mm] \vektor{\lambda_1\\vdots\\lambda:n}\mapsto \lambda_1v_1+....+\lambda_nv_n.
[/mm]
Die Abbildung, von der Du sprichst, ist [mm] \delta_B^{-1}, [/mm] welche jedem Element aus V seinen Koordinatenvektor bzgl. B zuordnet.
>
> Der nächste Schritt für mich wäre, x =
> [mm]\lambda1v_1+....+\lambda_nv_n[/mm] in [mm]F_B[/mm] einzusetzen.
Nein, [mm] F_B [/mm] "frißt" keine Elemente aus V, sondern Elemente des [mm] K^n.
[/mm]
[mm] \delta_B(\vektor{\lambda_1\\\vdots\\\lambda_n} =\lambda1v_1+....+\lambda_nv_n [/mm] gehört in F.
LG Angela
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Okay, dann wollen wir das mal verarbeiten.
Die Zusammenfassung am Anfang. Im wesentlichen hab ich 2 Probleme.
Ich hafte gedanklich immernoch an dieser Vektordarstellung.
Du hast gesagt x und y seien aus K. Dabei hast du die als Tupel (ich werfe mit Fremdwörtern rum, entschuldige falls das nicht ganz angemessen ist) angegeben, in Vektorrschreibweise. Die Elemente des [mm]K^n [/mm] (es geht jetzt um die Elemente von [mm] F_B) [/mm] können ja sowohl Tupel als auch Vektoren sein.
Mein Problem ist, den Weg zu finden, die Elemente aus V in die Elemente des [mm] K^n [/mm] zu überführen. Bzw, das ist nicht ganz richtig, da ja beide Abbildungen nach K gehen.
Ich versuchs nochmal anders zu beschreiben:
[mm]F_B(x,y) = x^tBy [/mm]
x und y sind Elemente des [mm]K^n [/mm], und damit Koordinatenvektoren.
Auf der anderen Seite ist [mm] \delta_B(x) [/mm] = [mm] \lambda_1v_1+...+\lamba_nv_n [/mm] mit x als Basisvektoren dargestellt, dh [mm] \delta_B(x) [/mm] = [mm] \sum \lambda_iv_i.
[/mm]
[mm] \lambda_i [/mm] sind dabei eigentlich Skalare aus K.
Weiter unten gibt es die etwas ausgefächertere Variante.
> > Also, für mich einmal zusammengefasst.
> > Es ist zu zeigen, dass:
> > [mm]F_B(x,y)[/mm] = [mm]F(\delta_B(x), \delta_B(y)),[/mm] wobei [mm]F_B(x,y)[/mm]
> =
> > [mm]x^tBy[/mm] ist.
> > Seien im folgenden also x= [mm]\vektor{x_1\\\vdots\\x_n}[/mm]
> > und y= [mm](\vektor{y_1\\\vdots\\y_n}[/mm]
> > So wie B = [mm](v_1,...,v_n)[/mm] und C = [mm](w_1,.....,w_n)[/mm] Basen
> von V, nehme ich an.
ja
>
> > Da x und y beide aus den K-VR V sind, existiert für beide
> > Basisbedingt eine eindeutige Darstellung mit:
> > x= [mm]\lambda_1v_1+....+\lambda_nv_n[/mm]
> > y= [mm]\mu_1v_1+...+\mu_nv_n[/mm]
>
> Ja.
Okay, Fortschritt
>
> >
> > Die Koordinatenabbildung [mm]\delta_B[/mm] macht jetzt, wenn ich das
> > richtig verstanden habe folgendes:
> > [mm]\delta_B[/mm] : x [mm]\rightarrow (\vektor{\lambda_1\\\vdots\\\lambda_n}[/mm]
>
> >
> > D.h für mich folgendes:
> > [mm]F(\delta_B(x),\delta_B(y))[/mm] =
> > [mm]F(\vektor{\lambda_1\\\vdots\\\lambda_n}, \vektor{\mu_1\\\vdots\\\mu_n})[/mm]
>
> Genau umgekehrt (s. das Diagramm):
>
> [mm]\delta_B:K^n\to[/mm] V mit
> [mm]\vektor{\lambda_1\\vdots\\lambda:n}\mapsto \lambda_1v_1+....+\lambda_nv_n.[/mm]
>
> Die Abbildung, von der Du sprichst, ist [mm]\delta_B^{-1},[/mm]
> welche jedem Element aus V seinen Koordinatenvektor bzgl. B
> zuordnet.
D.h, [mm] \delta_B(x) [/mm] = [mm] \lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n [/mm] und äquivalent dazu [mm] \delta_B(y) [/mm] = [mm] \mu_1v_1+...+\mu_nv_n.
[/mm]
>
> Nein, [mm]F_B[/mm] "frißt" keine Elemente aus V, sondern Elemente
> des [mm]K^n.[/mm]
Ich hab meinen Denkfehler gefunden. Ich bin davon ausgegangen, dass V und der [mm]K^n [/mm] identische Vektorräume sind, und das deswegen die Darstellung durch Basisvektoren aus V auch im [mm]K^n [/mm]
funktioniert (was ja Schwachsinn ist).
Das heißt aber, dass auf der einen Seite der zu zeigenden Gleichung Elemente aus V, und auf der anderen Elemente des [mm]K^n[/mm] reingehen.
Daran anschließend fügt sich dann der Umstand, die Elemente aus V, die in F reingehen, in die von [mm] F_B [/mm] zu "transformieren".
Auffallen tut mir dabei, dass beiden Abbildungen, sowohl F, als auch [mm] F_B [/mm] die selbe Basis zugrunde liegt (oder zumindest müsste, da F ja aus V kommt und B nach Aufgabe eine Basis von V ist).
Eine Frage zur Abildung [mm] F_B. [/mm] So wie ich das verstanden habe ist der Vektorraum K der Raum der Skalaren, sprich er besteht aus einfachen Zahlen, im [mm]K^n[/mm] sind es dann nun n-tupel aus diesen Zahlen.
Des Weiteren liegt, laut Aufgabe der Abbildung [mm] F_B [/mm] ja die darstellende Matrix [mm] B_F [/mm] zugrunde.
Die "funktioniert" nach meinen Aufzeichnungen in etwa so:
Ich hab eine lineare Abbildung f: V [mm] \rightarrow [/mm] W
Dazu 2 Basen. Die darstellende Matrix, oder abbildende Matrix, besteht jetzt aus den Koordinaten, die gebraucht werden um die Elemente aus V durch Basiselemente aus W darzustellen.
Nur damit keine Missverständnisse entstehen:
Seien D = [mm] (d_1,....,d_n) [/mm] Basis von V und c = [mm] (c_1,...,c_n) [/mm] Basis von W.
Jetzt ist [mm] f(d_1) [/mm] = [mm] \mu_1c_1+....+\mu_nc_n
[/mm]
[mm] \mu_1,....,\mu_n [/mm] sind jetzt Elemente der darstellenden Matrix.
Jetzt wage ich mal einen gedanklichen Sprung.
Ich muss ja [mm][mm] F_B(x,y) [/mm] = [mm] F(\delta_B(x),\delta_B(y))
[/mm]
zeigen. [mm]F_B[/mm] benutzt Elemente des [mm]K^n[/mm]
und F Elemente aus V.
Der Übergang, bzw das transformieren meiner Eingabe müsste über die Koordinatenabbildung gehen.
Jetzt hast du gesagt, x und y seien aus K.
> [mm]\delta_B(\vektor{\lambda_1\\\vdots\\\lambda_n}
=\lambda1v_1+....+\lambda_nv_n[/mm]
> gehört in F.
>
> LG Angela
Vielen lieben Dank
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Hallo,
> Du hast gesagt x und y seien aus K.
Eher aus dem [mm] K^n, [/mm] oder?
> Dabei hast du die als
> Tupel (ich werfe mit Fremdwörtern rum, entschuldige falls
> das nicht ganz angemessen ist) angegeben, in
> Vektorrschreibweise. Die Elemente des [mm]K^n[/mm] (es geht jetzt um
> die Elemente von [mm]F_B)[/mm]
[mm] F_B [/mm] hat keine Elemente.
Du meinstwohl eher den Definitionsbereich von [mm] F_B [/mm] oder das Argument von [mm] F_B.
[/mm]
> können ja sowohl Tupel als auch
> Vektoren sein.
???
Vektor= Element eines Vektorraumes.
Die Elemente des [mm] K^n [/mm] sind Vektoren, weil es ein Vektorraum ist.
Die Vektoren des [mm] K^n [/mm] sind Spalten mit n Eintragen.
(Ausflug: betrachten wir den Vektorraum der Polynome, dann ist das Polynom [mm] x^2+3x+13 [/mm] ein Vektor=Element des Vektorraumes.)
> Ich versuchs nochmal anders zu beschreiben:
> [mm]F_B(x,y) = x^tBy[/mm]
> x und y sind Elemente des [mm]K^n [/mm], und
> damit Koordinatenvektoren.
und die Matrix B kann diese Elemente verarbeiten.
Elemente aus V könnte die Matrix i.a. nicht verabeiten, denn Matrizen "fressen" Elemente des [mm] K^n.
[/mm]
> Auf der anderen Seite ist [mm]\delta_B(x)[/mm] =
> [mm]\lambda_1v_1+...+\lamba_nv_n[/mm] mit x als Basisvektoren
> dargestellt, dh [mm]\delta_B(x)[/mm] = [mm]\sum \lambda_iv_i.[/mm]
Genau. F "frißt" Elemente aus V.
> [mm]\lambda_i[/mm]
> sind dabei eigentlich Skalare aus K.
Eigentlich? Nein. Sie sind Skalare.
> > [mm]\delta_B:K^n\to[/mm] V mit
> > [mm]\vektor{\lambda_1\\vdots\\lambda:n}\mapsto \lambda_1v_1+....+\lambda_nv_n.[/mm]
> Das heißt aber, dass auf der einen Seite der zu zeigenden
> Gleichung Elemente aus V, und auf der anderen Elemente des
> [mm]K^n[/mm] reingehen.
Nein. Wir wollen ja die Gleichheit von Funktionen zeigen, nämlich von [mm] F_B [/mm] und von [mm] F\circ(\delta_B\times\delta_B).
[/mm]
Funktionen können nur gleich sein, wenn die denselben Definitionsbereich haben.
Haben sie auch:
[mm] F_B: K^n\times K^n\to [/mm] K,
[mm] F\circ(\delta_B\times\delta_B): K^n\times K^n\to [/mm] K.
Wir zeigen: für alle [mm] x,y\in K^n [/mm] ist
[mm] F_B(x,y)=F\circ(\delta_B\times\delta_B)(x,y).
[/mm]
[mm] F\circ(\delta_B\times\delta_B)(x,y)=F(\delta_B(x),\delta_B(y)),
[/mm]
aber x und y sind immer aus dem [mm] K^n.
[/mm]
Aus V sind [mm] \delta_B(x) [/mm] und [mm] \delta_B(y).
[/mm]
Vielleicht meintest Du das.
> Daran anschließend fügt sich dann der Umstand, die
> Elemente aus V, die in F reingehen, in die von [mm]F_B[/mm] zu
> "transformieren".
Ja. F verarbeitet Elemente des [mm] V\times [/mm] V, und wenn wir mit der Darstellungsmatrix arbeiten wollen, müssen wir für jedes Element aus V ein passendes aus [mm] K^n [/mm] zur Hand haben.
Diese Elemente verarbeitet dann [mm] F_B, [/mm] und das schöne ist: das Ergebnis ist dasselbe, als hätten wir F mit den Vektoren aus V gefüttert.
Und genau das sollen wir hier zeigen.
> Auffallen tut mir dabei, dass beiden Abbildungen, sowohl
> F, als auch [mm]F_B[/mm] die selbe Basis zugrunde liegt
??? Abbildungen haben keine Basis. Vektorräume haben eine Basis.
B ist eine Basis von V.
Für die "Verarbeitung" mit [mm] F_B [/mm] werden statt der Vektoren aus V ihre Koordinatenvektoren bzgl B genommen.
Zu Koordinatenvektoren gehört immer die Angabe der Basis, bzgl. welcher die Vektoren sein sollen.
Wenn ich einen Vektor [mm] v\in [/mm] V habe, so sieht sein Koordinatenvektor bzgl. B anders aus als der bzgl. einer zweiten Basis C.
Entsprechend hätte man auch eine andere Darstellungsmatrix.
>
> Eine Frage zur Abildung [mm]F_B.[/mm] So wie ich das verstanden habe
> ist der Vektorraum K der Raum der Skalaren, sprich er
> besteht aus einfachen Zahlen,
Er besteht aus Elementen des Körpers K. Ist [mm] K=\IR [/mm] sind es Zahlen, aber wenn irgendein Körper aus Türklinken besteht, sind es Türklinken.
> im [mm]K^n[/mm] sind es dann nun
> n-tupel aus diesen Zahlen.
n-Tupel aus Elementen von K, also aus Zahlen oder Türklinken oder was auch immer.
> Des Weiteren liegt, laut Aufgabe der Abbildung [mm]F_B[/mm] ja die
> darstellende Matrix [mm]B_F[/mm] zugrunde.
Ja.
Diese Matrix aus dem [mm] K^{n\times n} [/mm] hat viel mit F und der Basis B von V zu tun.
Du möchtest jetzt über lineare Abbildungen reden?
> Die "funktioniert" nach meinen Aufzeichnungen in etwa so:
> Ich hab eine lineare Abbildung f: V [mm]\rightarrow[/mm] W
> Dazu 2 Basen. Die darstellende Matrix, oder abbildende
> Matrix, besteht jetzt aus den Koordinaten, die gebraucht
> werden um die Elemente aus V durch Basiselemente aus W
> darzustellen.
Die Einträge der Abbildungsmatrix müssen so gemacht werden, das für Koordinatenvektoren bzgl einer gegebenen Basis des V die Bilder dieser Vektoren in Koordinaten bzgl einer gegebenen Basis des W geliefert werden.
> Nur damit keine Missverständnisse entstehen:
> Seien D = [mm](d_1,....,d_n)[/mm] Basis von V und c = [mm](c_1,...,c_n)[/mm]
> Basis von W.
> Jetzt ist [mm]f(d_1)[/mm] = [mm]\mu_1c_1+....+\mu_nc_n[/mm]
> [mm]\mu_1,....,\mu_n[/mm] sind jetzt Elemente der darstellenden
> Matrix.
Das sind die Einträge der ersten Spalte der Darstellungsmatrix von f.
>
> Jetzt wage ich mal einen gedanklichen Sprung.
> Ich muss ja [mm][mm]F_B(x,y)[/mm] = [mm]F(\delta_B(x),\delta_B(y))[/mm]
zeigen. [mm]F_B[/mm] benutzt Elemente des [mm]K^n[/mm]
und F Elemente aus V.
Der Übergang, bzw das transformieren meiner Eingabe müsste über die Koordinatenabbildung gehen.
Jetzt hast du gesagt, x und y seien aus K.
Aus dem [mm] K^n.
[/mm]
> [mm]\delta_B(\vektor{\lambda_1\\\vdots\\\lambda_n}
> =\lambda1v_1+....+\lambda_nv_n[/mm]
> gehört in F.
Ja.
LG Angela
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Hallo,
Nachdem wir jetzt einen ziemlichen Bogen gemacht haben und wieder fast am Anfang sind, hab ich zumindest schonmal deutlich mehr verstanden als zu Beginn.
Ich werfe meine Ideen jetzt einfach mal in den Raum, vllt findet sich dabei ja etwas verwertbares.
Gedacht hab ich mir folgendes:
[mm]F_B(x,y) = x^TBy [/mm] mit x,y aus [mm]K^n[/mm] = [mm](x_1....x_n)B \vektor{y_1\\ \vdots\\y_n}[/mm]
Das liefert das Ergebnis von F(x,y) in Koordinaten bzgl B.
D.h, das Ergebnis wird irgendwie sowas sein wie [mm] \vektor{a_1\\ \vdots \\a_n} [/mm] (schlicht und einfach das Ergebnis in Koordinaten).
[mm] \delta_B(x) [/mm] = [mm] \lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n [/mm] ist die Darstellung eines Elementes des [mm]K^n [/mm] bzgl der Basis von B von V.
[mm] F(\delta_B(x),\delta_B(y)) [/mm] wendet ja zuerst die Koordinatenabbildung auf meine Eingabeelemente x und y an.
D.h, x und y eingesetzt müsste eigentlich erstmal folgendes darstehen:
[mm] F(\delta_B(x),\delta_B(y)) [/mm] = [mm] F((\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n),(\mu_1v_1+....+\mu_nv_n))
[/mm]
[mm] \lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n [/mm] müsste ich ja eigentlich umformen können zu:
[mm](v_1 \dots v_n)[/mm] [mm]\vektor{\lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n} [/mm]
Auf diesen Umstand wird jetzt F angewendet.
Da F ja von V [mm] \times [/mm] V [mm] \rightarrow [/mm] K geht (symmetrische Bilinearform), wird dieser Konstruktion von oben [mm] (\delta_b(x)) [/mm] ein Skalares zugeordnet.
Das wiederrum heißt (das das sehr sehr stark vereinfacht ist und so nicht stimmt weiß ich, aber ich kanns nicht anders erklären) aus [mm] F((\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n),(\mu_1v_1+....+\mu_nv_n)) [/mm] wird [mm] \vektor {\lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n} \vektor{\mu_1 \\ \vdots \\ \mu_n}
[/mm]
Das mal so als nächste Gedankengänge
Liebe Grüße
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Hallo,
> Gedacht hab ich mir folgendes:
> [mm]F_B(x,y) = x^TBy[/mm] mit x,y aus [mm]K^n[/mm] = [mm](x_1....x_n)B \vektor{y_1\\ \vdots\\y_n}[/mm]
>
> Das liefert das Ergebnis von F(x,y)
Es liefert einfach das Ergebnis von F(x,y), ein Element des Körpers K.
> in Koordinaten bzgl B.
Ganz sicher nicht. B ist eine Basis von V. Für ein Körperelement paßt die nicht.
Ist [mm] K=\IR, [/mm] so ist das Ergebnis eine reelle Zahl.
> D.h, das Ergebnis wird irgendwie sowas sein wie
> [mm]\vektor{a_1\\ \vdots \\a_n}[/mm] (schlicht und einfach das
> Ergebnis in Koordinaten).
Nein. S.o. Das Ergebnis ist ein Element aus K.
>
> [mm]\delta_B(x)[/mm] = [mm]\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n[/mm] ist die
> Darstellung eines Elementes des [mm]K^n[/mm] bzgl der Basis von B
> von V.
Nein. [mm] x=\vektor{\lambda_1\\\vdots \\ \lambda_n} [/mm] ist der Koordinatenvektor von [mm] \lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n [/mm] bzgl. B.
Es ist [mm] \delta_B^{-1}(\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n)=x.
[/mm]
> [mm]F(\delta_B(x),\delta_B(y))[/mm] wendet ja zuerst die
> Koordinatenabbildung auf meine Eingabeelemente x und y an.
Ja.
> D.h, x und y eingesetzt müsste eigentlich erstmal
> folgendes darstehen:
> [mm]F(\delta_B(x),\delta_B(y))[/mm] =
> [mm]F((\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n),(\mu_1v_1+....+\mu_nv_n))[/mm]
Genau.
> [mm]\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n[/mm] müsste ich ja eigentlich
> umformen können zu:
> [mm](v_1 \dots v_n)[/mm] [mm]\vektor{\lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n}[/mm]
Nein. Sondern: wenn [mm] \delta_B(x)=\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n, [/mm] so ist [mm] x=\vektor{\lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n}
[/mm]
>
> Auf diesen Umstand wird jetzt F angewendet.
> Da F ja von V [mm]\times[/mm] V [mm]\rightarrow[/mm] K geht (symmetrische
> Bilinearform), wird dieser Konstruktion von oben
> [mm](\delta_b(x))[/mm] ein Skalares zugeordnet.
[mm] F(\delta_B(x), \delta_B(y)) [/mm] ist ein Skalar.
> Das wiederrum heißt (das das sehr sehr stark vereinfacht
> ist und so nicht stimmt weiß ich, aber ich kanns nicht
> anders erklären) aus
> [mm]F((\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n),(\mu_1v_1+....+\mu_nv_n))[/mm]
> wird [mm]\vektor{\lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n} \vektor{\mu_1 \\ \vdots \\ \mu_n}[/mm]
Nein.
Du mußt zeigen, daß [mm] F((\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n),(\mu_1v_1+....+\mu_nv_n)) [/mm] dasselbe ist wie
[mm] F_B(x,y)=\vektor{\lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n}^TB_F \vektor{\mu_1 \\ \vdots \\ \mu_n}.
[/mm]
Für den Beweis muß man sicher die Bilinearität von F verwenden und die Tatsache, daß wir aus einer vorhergehenden Teilaufgabe wissen, wie [mm] B_F [/mm] aussieht.
Man könnte sich vorm wilden Rechnen auch mal überlegen, ob es Gründe dafür gibt, daß man sich auf die Betrachtung der Standardbasisvektoren [mm] (e_1,...,e_n) [/mm] des [mm] K^n [/mm] beschränken kann, es also reicht zu prüfen, ob immer
[mm] F_B(e_i,e_j) [/mm] und [mm] F(\delta_B(e_i), \delta_B(e_j)) [/mm] gleich sind.
LG Angela
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> Hallo,
>
> > Gedacht hab ich mir folgendes:
> > [mm]F_B(x,y) = x^TBy[/mm] mit x,y aus [mm]K^n[/mm] = [mm](x_1....x_n)B \vektor{y_1\\ \vdots\\y_n}[/mm]
>
> >
> > Das liefert das Ergebnis von F(x,y)
>
> Es liefert einfach das Ergebnis von F(x,y), ein Element des
> Körpers K.
Verstanden
> Ist [mm]K=\IR,[/mm] so ist das Ergebnis eine reelle Zahl.
Verstanden.
>
> > [mm]\delta_B(x)[/mm] = [mm]\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n[/mm] ist die
> > Darstellung eines Elementes des [mm]K^n[/mm] bzgl der Basis von B
> > von V.
>
> Nein. [mm]x=\vektor{\lambda_1\\\vdots \\ \lambda_n}[/mm] ist der
> Koordinatenvektor von [mm]\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n[/mm] bzgl.
> B.
> Es ist [mm]\delta_B^{-1}(\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n)=x.[/mm]
Auch verstanden.
>
> > [mm]F(\delta_B(x),\delta_B(y))[/mm] wendet ja zuerst die
> > Koordinatenabbildung auf meine Eingabeelemente x und y an.
>
> Ja.
>
> > D.h, x und y eingesetzt müsste eigentlich erstmal
> > folgendes darstehen:
> > [mm]F(\delta_B(x),\delta_B(y))[/mm] =
> >
> [mm]F((\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n),(\mu_1v_1+....+\mu_nv_n))[/mm]
>
> Genau.
>
> > [mm]\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n[/mm] müsste ich ja eigentlich
> > umformen können zu:
> > [mm](v_1 \dots v_n)[/mm] [mm]\vektor{\lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n}[/mm]
>
> Nein. Sondern: wenn
> [mm]\delta_B(x)=\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n,[/mm] so ist
> [mm]x=\vektor{\lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n}[/mm]
das hab ich ja verstanden. Ich wollte auch x nicht haben. Was ich versucht habe war die Summe [mm] \lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n [/mm] anders darzustellen (ob das sinnvoll war ode rnicht sei mal dahingestellt)
>
> >
> > Auf diesen Umstand wird jetzt F angewendet.
> > Da F ja von V [mm]\times[/mm] V [mm]\rightarrow[/mm] K geht (symmetrische
> > Bilinearform), wird dieser Konstruktion von oben
> > [mm](\delta_b(x))[/mm] ein Skalares zugeordnet.
>
> [mm]F(\delta_B(x), \delta_B(y))[/mm] ist ein Skalar.
>
>
> > Das wiederrum heißt (das das sehr sehr stark vereinfacht
> > ist und so nicht stimmt weiß ich, aber ich kanns nicht
> > anders erklären) aus
> > [mm]F((\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n),(\mu_1v_1+....+\mu_nv_n))[/mm]
> > wird [mm]\vektor{\lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n} \vektor{\mu_1 \\ \vdots \\ \mu_n}[/mm]
>
> Nein.
>
> Du mußt zeigen, daß
> [mm]F((\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n),(\mu_1v_1+....+\mu_nv_n))[/mm]
> dasselbe ist wie
>
> [mm]F_B(x,y)=\vektor{\lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n}^TB_F \vektor{\mu_1 \\ \vdots \\ \mu_n}.[/mm]
>
Und hier kommt das zu Tage, was ich nicht verstehe. [mm]F((\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n),(\mu_1v_1+....+\mu_nv_n))[/mm] gibt ein Skalar aus.
[mm]F_B(x,y)=\vektor{\lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n}^TB_F \vektor{\mu_1 \\ \vdots \\ \mu_n}.[/mm] gibt ebenfalls ein Skalar aus. Mir fehlt der Zusammenhang zwischen den beiden.( Anders ausgedrückt: ich weiß nicht wie aus dieser Reihenfolge von Vektor Matrix Vektor ein Skalares entsteht. Noch anders: Ich weiß nicht, was [mm] B_F [/mm] mit diesen Vektoren macht)
Erstmal wäre nach (weit oben) genannter Definition:
[mm] <\lambda [/mm] v,w> = [mm] \lambda [/mm] <v,w> es ja möglich aus [mm]F((\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n),(\mu_1v_1+....+\mu_nv_n))[/mm] [mm] \lambda_i [/mm] und [mm] \mu_i [/mm] rauszuziehen.
Da F ja eine symmetrische Bilinearform ist, kann ich die Eigenschaften da ja drauf anwenden, wenigstens das sollte kein Problem sein.
F kann ich dank der Bilinearität umformen, das hat Potential dazu. Jetzt mal zu [mm] B_F. [/mm] Die Frage, die ich mir jetzt gerade stelle ist, was passiert, wenn ich [mm] (\lambda_1 \dots \lambda_n) [/mm] (oder auch [mm] \mu_1 \dots \mu_n) [/mm] mit der darstellenden Matrix multipliziere.
Es kann der Uhrzeit geschuldet sein (kleiner Scherz), aber:
B = [mm] (v_1 [/mm] ... [mm] v_n) [/mm] ist Basis von V. [mm]\delta_B(x) ^{-1} [/mm]schickt jetzt ein v aus V auf seine Darstellung durch die Basisvektoren [mm]a_1v_1+....+a_nv_n[/mm]. Dabei ist dann [mm] \vektor {a_1 \\ \vdots \\ a_n} [/mm] der (durch die Wahl der Basis eindeutig bestimmte) Koordinatenvektor.
Diese Elemente des [mm]K^n [/mm] multipliziere ich jetzt mit [mm] B_F. [/mm]
Was passiert jetzt ist für mich die nächste Frage.
>
> Für den Beweis muß man sicher die Bilinearität von F
> verwenden und die Tatsache, daß wir aus einer
> vorhergehenden Teilaufgabe wissen, wie [mm]B_F[/mm] aussieht.
Außer dem Umstand, dass [mm]B_F = {B_F} ^T[/mm] ist, weißt du da mehr als ich?
>
> Man könnte sich vorm wilden Rechnen auch mal überlegen,
> ob es Gründe dafür gibt, daß man sich auf die
> Betrachtung der Standardbasisvektoren [mm](e_1,...,e_n)[/mm] des [mm]K^n[/mm]
> beschränken kann, es also reicht zu prüfen, ob immer
> [mm]F_B(e_i,e_j)[/mm] und [mm]F(\delta_B(e_i), \delta_B(e_j))[/mm] gleich
> sind.
Du kannst das mit Sicherheit, bei mir wird das eine etwas schwere Aufgabe. Ich wäre dir dankbar, wenn du es mir entweder erklären würdest (in einem Rutsch) oder wir das hinten anstellen und erst den Beweis machen, weil ich so langsam etwas in Zeitnot gerate.Ich wills wirklich verstehen, allerdings hängt auch ein etwas größerer Teil meiner Klausurzulassung an dieser Aufgabe, von daher würde ich sie gerne fertig bearbeiten und abgeben können. Ich brauche erstmal nur einen Beweis, wie man den effizienter und besser gestalten kann würde ich mir dann angucken. Ich hoffe du verstehst mich dabei.
Liebe Grüße und nochmal vielen Dank
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> > Du mußt zeigen, daß
> > [mm]F((\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n),(\mu_1v_1+....+\mu_nv_n))[/mm]
> > dasselbe ist wie
> >
> > [mm]F_B(x,y)=\vektor{\lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n}^TB_F \vektor{\mu_1 \\ \vdots \\ \mu_n}.[/mm]
Moin,
>
> >
> Und hier kommt das zu Tage, was ich nicht verstehe.
> [mm]F((\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n),(\mu_1v_1+....+\mu_nv_n))[/mm]
> gibt ein Skalar aus.
Ja. Weil's eine Bilinearform ist.
> [mm]F_B(x,y)=\vektor{\lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n}^TB_F \vektor{\mu_1 \\ \vdots \\ \mu_n}.[/mm]
> gibt ebenfalls ein Skalar aus.
Ja.
> Mir fehlt der Zusammenhang
> zwischen den beiden.( Anders ausgedrückt: ich weiß nicht
> wie aus dieser Reihenfolge von Vektor Matrix Vektor ein
> Skalares entsteht.
Das hätte Dir gern schon bei Teilaufgabe (1) auffallen dürfen...
Bist Du der Sache mal auf den Grund gegangen?
Hast Du mal sowas wie [mm] \pmat{1&2&3}\pmat{4&5&6\\7&8&9\\10&11&12}\vektor{13\\14\\15} [/mm] ausgerechnet?
Da dürfstest Du dann merken, daß ein Skalar herauskommt.
Allgemein: überleg Dir was die Multiplikation von Matrizen der Formate [mm] (1\times n)*(n\times n)*(n\times [/mm] 1) ergibt. Das solltest Du schnell sehen.
>Noch anders: Ich weiß nicht, was [mm]B_F[/mm]
> mit diesen Vektoren macht)
Naja, [mm] B_F [/mm] kennen wir: [mm] B_F=(b_i_j) [/mm] mit [mm] b_i_j=F(v_i,v_j).
[/mm]
Die Vektoren der Multiplikation kann man als Matrizen auffassen,
du kannst Matrizen miteinander multiplizieren, "Zeile *Spalte", und irgendwo in Deinen Unterlagen wirst Du auch notiert haben, wie man die Einträge des Produktes zweier Matrizen bekommt.
>
> Erstmal wäre nach (weit oben) genannter Definition:
> [mm]<\lambda[/mm] v,w> = [mm]\lambda[/mm] <v,w> es ja möglich aus
> [mm]F((\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n),(\mu_1v_1+....+\mu_nv_n))[/mm]
> [mm]\lambda_i[/mm] und [mm]\mu_i[/mm] rauszuziehen.
> Da F ja eine symmetrische Bilinearform ist, kann ich die
> Eigenschaften da ja drauf anwenden, wenigstens das sollte
> kein Problem sein.
Dann mach doch mal!
>
> F kann ich dank der Bilinearität umformen, das hat
> Potential dazu.
Dann tu's doch!!!
Am Ende müßtest Du sehen, daß es einen Schwung Summen mit [mm] F(v_i,v_j) [/mm] gibt.
[mm] F_B(x,y)=\vektor{\lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n}^TB_F \vektor{\mu_1 \\ \vdots \\ \mu_n}
[/mm]
[mm] =(\lambda_1e_1^T+...+\lambda e_n^T)B_F(\mu_1e_1+...+\mu_ne_n) [/mm]
kannst Du auch so umformen, daß es Summen mit [mm] e_i^TB_Fe_j [/mm] gibt.
[mm] e_i^TB_Fe_j [/mm] solltest Du berechnen können - immerhin kennst Du die Einträge von [mm] B_F, [/mm] und die [mm] e_i, e_j [/mm] haben viele Nullen, wenn sie als Spaltenvektoren dastehen.
LG Angela
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> Allgemein: überleg Dir was die Multiplikation von
> Matrizen der Formate [mm](1\times n)*(n\times n)*(n\times[/mm] 1)
> ergibt. Das solltest Du schnell sehen.
Erledigt.
>
> >Noch anders: Ich weiß nicht, was [mm]B_F[/mm]
> > mit diesen Vektoren macht)
>
> Naja, [mm]B_F[/mm] kennen wir: [mm]B_F=(b_i_j)[/mm] mit
> [mm]b_i_j=F(v_i,v_j).[/mm]
> Die Vektoren der Multiplikation kann man als Matrizen
> auffassen,
> du kannst Matrizen miteinander multiplizieren, "Zeile
> *Spalte", und irgendwo in Deinen Unterlagen wirst Du auch
> notiert haben, wie man die Einträge des Produktes zweier
> Matrizen bekommt.
Ich bin mir gerade nicht zu 100% sicher was genau du meinst, aber Matrizen multiplizieren gehört noch zu den wenigen Dingen die ich hinkriege. Wenn ich dich richtig verstanden habe meinst du was in der Richtung hier? :
[mm]c_{ij} = \sum{_{1=s}^m} {a_{is}b_{sj}} [/mm]
>
>
> >
> > F kann ich dank der Bilinearität umformen, das hat
> > Potential dazu.
>
> Dann tu's doch!!!
> Am Ende müßtest Du sehen, daß es einen Schwung Summen
> mit [mm]F(v_i,v_j)[/mm] gibt.
Hab ich gemacht. Ich versteh auch wo es hingehen soll. Du müsstest mir nur einmal formal bei der Sache helfen, weil ich mir nicht ganz sicher bin was ich mit den [mm] \lambda_i [/mm] und [mm] \mu_i [/mm] mache.
Ich hab aus [mm] F((\lamba_1v_1+...+\lambda_nv_n),(\mu_1v_1+...+\mu_nv_n)) [/mm] jetzt folgendes gemacht:
[mm] (\lambda_1 \dots \lambda_n) (F(v_1,v_1)+F(v_2,v_2)+ \dots +F(v_n,v_n)) (\mu_1 \dots \mu_n) [/mm] gemacht. In der Mitte stehen jetzt die [mm] F_{ij} [/mm] aus [mm] B_F.
[/mm]
>
>
> [mm]F_B(x,y)=\vektor{\lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n}^TB_F \vektor{\mu_1 \\ \vdots \\ \mu_n}[/mm]
>
> [mm]=(\lambda_1e_1^T+...+\lambda e_n^T)B_F(\mu_1e_1+...+\mu_ne_n)[/mm]
>
> kannst Du auch so umformen, daß es Summen mit [mm]e_i^TB_Fe_j[/mm]
> gibt.
> [mm]e_i^TB_Fe_j[/mm] solltest Du berechnen können - immerhin
> kennst Du die Einträge von [mm]B_F,[/mm]
[mm] (b_{ij})
[/mm]
> und die [mm]e_i, e_j[/mm] haben
> viele Nullen, wenn sie als Spaltenvektoren dastehen.
Da setz ich mich jetzt mal dran. Ich editier das dann nachher rein.
>
> LG Angela
Ich denke ich weiß wo es hingeht mit dem Beweis, ich schau mal dass ich die Struktur bis heute Abend so weit ich es schaffe formuliert kriege, es wäre nett wenn du mir dann beim sauberen Notieren helfen könntest.
Liebe Grüße
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> Ich bin mir gerade nicht zu 100% sicher was genau du
> meinst, aber Matrizen multiplizieren gehört noch zu den
> wenigen Dingen die ich hinkriege. Wenn ich dich richtig
> verstanden habe meinst du was in der Richtung hier? :
> [mm]c_{ij} = \sum{_{1=s}^m} {a_{is}b_{sj}}[/mm]
Hallo,
ja, das meinte ich.
> Ich hab aus
> [mm]F((\lamba_1v_1+...+\lambda_nv_n),(\mu_1v_1+...+\mu_nv_n))[/mm]
> jetzt folgendes gemacht:
> [mm](\lambda_1 \dots \lambda_n) (F(v_1,v_1)+F(v_2,v_2)+ \dots +F(v_n,v_n)) (\mu_1 \dots \mu_n)[/mm]
Du müßtest mal erklären, nach welchen Regeln Du das umgeformt hast...
Du solltest wirklich weniger wischiwaschi arbeiten, dann wärest Du schneller am Ziel.
Forme doch mal übungshalber [mm] F((\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3),(\mu_1v_1+\mu_2v_2+\mu_3v_3)) [/mm] um,
und zwar Schritt für Schritt mit Begründung für jeden Schritt.
LG Angela
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> > Ich hab aus
> > [mm]F((\lamba_1v_1+...+\lambda_nv_n),(\mu_1v_1+...+\mu_nv_n))[/mm]
> > jetzt folgendes gemacht:
> > [mm](\lambda_1 \dots \lambda_n) (F(v_1,v_1)+F(v_2,v_2)+ \dots +F(v_n,v_n)) (\mu_1 \dots \mu_n)[/mm]
>
> Du müßtest mal erklären, nach welchen Regeln Du das
> umgeformt hast...
> Du solltest wirklich weniger wischiwaschi arbeiten, dann
> wärest Du schneller am Ziel.
Ich geb mir Mühe.
>
> Forme doch mal übungshalber
> [mm]F((\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3),(\mu_1v_1+\mu_2v_2+\mu_3v_3))[/mm]
> um,
> und zwar Schritt für Schritt mit Begründung für jeden
> Schritt.
Gerne.
1.
linear im ersten Argument: $ [mm] b(\lambda_1u_1+\lambda_2u_2,v)= \lambda_1b(u_1,v)+\lambda_2b(u_2,v). [/mm] $
2.
linear im zweiten Argument: $ [mm] b(u,\mu v_1+\mu v_2)= \mu_1 b(u,v_1)+\mu_2 [/mm] $ b(u, $ [mm] v_2). [/mm] $
3.
symmetrisch: b(u,v)=b(v,u).
Das sind die Regeln, die ich zugrunde lege.
Ich mach das jetzt mal sehr sehr kleinschrittig.
Dein Beispiel [mm]F((\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3),(\mu_1v_1+\mu_2v_2+\mu_3v_3))[/mm] ist linear in beiden Argumenten.
Da ich nicht multitasking fähig bin, widme ich mich beiden Argumenten getrennt und mache aus [mm]F((\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3),(\mu_1v_1+\mu_2v_2+\mu_3v_3))[/mm] erstmal [mm]F((\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3),(v))[/mm]
Nach der ersten Regel wird daraus:
[mm] \lambda_1 F(v_1,v)+ \lambda_2 F(v_2,v) + \lambda_3 F(v_3,v) [/mm]
Da würde ich jetzt für v einfach wieder das zweite Argument einsetzen.
Das ergäbe dann:
[mm] \lambda_1 F(v_1,\mu_1v_1+\mu_2v_2+\mu_3v_3)+ \lambda_2 F(v_2,\mu_1v_1+\mu_2v_2+\mu_3v_3) + \lambda_3 F(v_3,\mu_1v_1+\mu_2v_2+\mu_3v_3) [/mm]
Nach der zweiten Regel wäre das dann folgendes:
[mm] \lambda_1\mu_1F(v_1,v_1)+\lambda_1\mu_2F(v_1,v_2)+\lambda_1\mu_3F(v_1,v_3)+\lambda_2\mu_1F(v_2,v_1)+\lambda_2\mu_2F(v_2,v_2)+\lambda_2\mu_3F(v_2,v_3)+\lambda_3\mu_1F(v_3,v_1)+\lambda_3\mu_2F(v_3,v_2)+\lambda_3\mu_3F(v_3,v_3)
[/mm]
So würde ich es jetzt machen.
Liebe Grüße
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> So würde ich es jetzt machen.
So bekommst Du auch das Richtige heraus.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 Mo 16.06.2014 | | Autor: | Killercat |
Dann mach ich das jetzt mal... mal gucken ob es genauso gut klappt
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:42 Sa 14.06.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi Angela,
> > > Irgendwie fehlt mir die Erklärung dessen, was F bei
> > > dieser Teilaufgabe sein soll.
>
> Hallo,
>
> wir denken uns also, daß da noch steht: sei [mm]F:V\times V\to[/mm]
> K eine symmetrische Bilinearform,
>
> und der einleitenden Definition entnehmen wir, daß das,
> was ich als F(v,w) schreibe, mit (v,w) bezeichnet wird.
> Vielleicht sollten wir uns darauf einigen, daß wir, wenn
> wir Klammern nehmen wollen, lieber eckige nehmen, also
> darauf, daß F(v,w):=<v,w>.
den Doppelpunkt lieber auf die andere Seite, schließlich willst Du [mm] $\,$
[/mm]
definieren, und [mm] $F(v,w)\,$ [/mm] ist was vorgegebenes. 
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | | F heißt genau dann nicht ausgeartet, wenn [mm] det(B_F) \ne [/mm] 0 ist |
Jetzt gehts mir erstmal um eine Verständnisfrage.
Die Definition auf dem Blatt besagt:
F heißt nicht ausgeartet, wenn für alle v aus V gilt:
[mm] = 0[/mm] [mm]\forall w \mathbf{\epsilon} V \Rightarrow v = 0 [/mm]
das bedeutet für mich in Worten: Das Skalarprodukt bzw. eben jene Operation, die hinter "<>" steckt bildet zwei Vektoren v und w auf die 0 ab für jeden Vektor w, den ich einsetze. Und daraus folgt, dass v = 0 ist.
Es kann sein, dass ich mich dabei ein wenig am Standartskalarprodukt aus Schulzeiten aufhänge, aber bedeutet das nicht, das der VR V nur aus dem Nullvektor besteht?
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Di 10.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> F heißt genau dann nicht ausgeartet, wenn [mm]det(B_F) \ne[/mm] 0
> ist
> Jetzt gehts mir erstmal um eine Verständnisfrage.
>
> Die Definition auf dem Blatt besagt:
> F heißt nicht ausgeartet, wenn für alle v aus V gilt:
> [mm] = 0[/mm] [mm]\forall w \mathbf{\epsilon} V \Rightarrow v = 0[/mm]
>
> das bedeutet für mich in Worten: Das Skalarprodukt bzw.
> eben jene Operation, die hinter "<>" steckt bildet zwei
> Vektoren v und w auf die 0 ab für jeden Vektor w, den ich
> einsetze. Und daraus folgt, dass v = 0 ist.
>
> Es kann sein, dass ich mich dabei ein wenig am
> Standartskalarprodukt aus Schulzeiten aufhänge, aber
> bedeutet das nicht, das der VR V nur aus dem Nullvektor
> besteht?
Nein. Ist <*,*> das standardskalarprodukt auf dem [mm] \IR^n [/mm] und gilt für v [mm] \in \IR^n:
[/mm]
<v,w> = 0 für alle w [mm] \in \IR^n, [/mm]
so haben wir insbesondere <v,v>=0, also v=0.
FRED
>
> Liebe Grüße
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:42 Di 10.06.2014 | | Autor: | Killercat |
Okay, danke dir erstmal.
Ich sollte mir abgewöhnen an Schulmathe zu denken.
Zur Aufgabe:
Ich hab mich etwas verfangen glaube ich. Mir fehlt der gedanklich nächste Argumentationschritt.
Nach Vorraussetzung ist [mm] det( B_F) \ne 0 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] [mm]B_F[/mm] ist invertierbar.
Das wiederum impliziert, dass Zeilen und Spalten von [mm]B_F[/mm] linear unabhängig sind.
Das sind erstmal jetzt nur Folgerungen aus dem Umstand, dass die Determinante [mm] \ne [/mm] 0 ist.
Ich glaube ich habe noch nicht wirklich verstanden, was ich denn jetzt zu zeigen habe.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:07 Do 12.06.2014 | | Autor: | Killercat |
Ich habs hingekriegt,
danke an alle die dabei geholfen haben :)
Liebe Grüße
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Ich glaube es gelöst zu haben**
Die Aufgabe war zu zeigen:
[mm] B_F [/mm] sei die darstellende Matrix von F bzgl B, wobei F eine symmetrische Bilinearform ist.
Sei nun det [mm] (B_F) \ne [/mm] 0. Dann ist F nicht ausgeartet.
Ich hab mir dazu jetzt folgendes überlegt:
Es müsste eigentlich ja die darstellende Matrix bzgl der Basis B ja gerade A = [mm] (F(v_i,v_j)) [/mm] sein. Das bedeutet aber ja, das meine Matrix A invertierbar ist. Damit sind die Vektoren linear unabhängig und der Kern hat nur die triviale Lösung. Zeigt dass nicht eig die Aussage bereits schon?
Liebe Grüße
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> Ich glaube es gelöst zu haben**
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> Die Aufgabe war zu zeigen:
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> [mm]B_F[/mm] sei die darstellende Matrix von F bzgl B, wobei F eine
> symmetrische Bilinearform ist.
> Sei nun det [mm](B_F) \ne[/mm] 0. Dann ist F nicht ausgeartet.
>
> Ich hab mir dazu jetzt folgendes überlegt:
Hallo,
erstmal solltest Du sagen, welche Richtung Du gerade zeigst.
> Es müsste eigentlich ja die darstellende Matrix bzgl der
> Basis B ja gerade A = [mm](F(v_i,v_j))[/mm] sein.
Ja.
> Das bedeutet aber
> ja, das meine Matrix A invertierbar ist.
Wieso?
LG Angela
Damit sind die
> Vektoren linear unabhängig und der Kern hat nur die
> triviale Lösung. Zeigt dass nicht eig die Aussage bereits
> schon?
>
> Liebe Grüße
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> > Ich glaube es gelöst zu haben**
> >
> > Die Aufgabe war zu zeigen:
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> > [mm]B_F[/mm] sei die darstellende Matrix von F bzgl B, wobei F eine
> > symmetrische Bilinearform ist.
> > Sei nun det [mm](B_F) \ne[/mm] 0. Dann ist F nicht ausgeartet.
> >
> > Ich hab mir dazu jetzt folgendes überlegt:
>
> Hallo,
>
> erstmal solltest Du sagen, welche Richtung Du gerade
> zeigst.
det [mm] \ne [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] F nicht ausgeartet
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> > Es müsste eigentlich ja die darstellende Matrix bzgl der
> > Basis B ja gerade A = [mm](F(v_i,v_j))[/mm] sein.
>
> Ja.
>
> > Das bedeutet aber
> > ja, das meine Matrix A invertierbar ist.
>
> Wieso?
Wenn [mm] B_F [/mm] = A ist und det [mm] (B_F) \ne [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] det(A) [mm] \ne [/mm] 0 und das ist ja äquivalent dazu, dass A invertierbar ist. Das war mein Gedankengang dabei
Liebe Grüße
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> Wenn [mm]B_F[/mm] = A ist und det [mm](B_F) \ne[/mm] 0 [mm]\Rightarrow[/mm] det(A)
> [mm]\ne[/mm] 0 und das ist ja äquivalent dazu, dass A invertierbar
> ist.
Hallo,
das stimmt natürlich. Besonders weit im Beweis ist man damit aber noch nicht.
Zu beweisen ist:
F nicht ausgeartet <==> det [mm] B_F\not=0
[/mm]
Zeigen wir zunächst also
det [mm] B_F\not=0 [/mm] ==> F ist nicht ausgeartet.
Dazu überlegen wir erstmal, was wir zeigen müssen:
Wir müssen zeigen, daß, sofern es ein [mm] v\in [/mm] V gibt mit F(v,w)=0 für alle [mm] w\in [/mm] W, wegen det [mm] B_F\not=0 [/mm] folgt, daß v=0.
Los geht's:
Es sei det [mm] B_F\not=0, [/mm] und es sei [mm] v\in [/mm] V mit F(v,w)=0 für alle [mm] w\in [/mm] V.
==> [mm] 0=\underbrace{(\delta_B(v))^TB_F}_{\in K^n}\delta_B(w) [/mm] für alle [mm] w\in [/mm] V
==> [mm] 0=\underbrace{(\delta_B(v))^TB_F}_{\in K^n}y [/mm] für alle [mm] y\in K^n
[/mm]
==> [mm] (\delta_B(v))^TB_F=0 [/mm] ==> ... ... ... ... ... ... ...
Nun die andere Richtung: F nicht ausgeartet ==> det [mm] B_F\not=0
[/mm]
Beweis:
Sei F nicht ausgeartet.
Angenommen, det [mm] B_F=0.
[/mm]
Dann gibt es ein [mm] 0\not=x\in K^n [/mm] mit B_Fx=0,
dh. es gibt ein [mm] 0\not=v\in [/mm] V mit [mm] B_F\delta_B(v)=0
[/mm]
==> für alle [mm] y\in K^n [/mm] ist ...
==> ... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ...
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Mo 16.06.2014 | | Autor: | Killercat |
Ich habs (endlich) hingekriegt, vielen vielen lieben Dank dafür.
Lieben Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Sa 14.06.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Killercat,
> Guten fast Abend,
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> ich sitze gerade an der Klausurvorbereitung und hab eine
> Frage zu einer Definition, genauer gesagt nur zur
> Notation.
> Es geht um (symmetrische) Bilinearformen, und in der
> Aufgabe ist folgendes gegeben:
> [mm]\begin {cases}
(u,v) = (v,u)\\
(\lambda_1u_1+\lambda_2u_2,v)= \lambda_1(u_1,v)+\lambda_2(u_2,v)\end {cases}[/mm]
erster Tipp: Schreibe Dir das Ganze mal ein wenig um. Eine symmetrische
Bilinearform ist eine Abbildung
$B [mm] \colon [/mm] ... [mm] \to [/mm] ...,$
so dass für alle [mm] $u,u_1,u_2 \in [/mm] ...$ und $v [mm] \in [/mm] ...$ und [mm] $\lambda_1,\lambda_2 \in [/mm] ...$ gilt
$B(u,v)=B(v,u)$
und
[mm] $B(\lambda_1 u_1+\lambda_2 u_2,v)=\lambda_1 B(u_1,v)+\lambda_2 B(u_2,v)\,.$
[/mm]
Ich finde es nie besonders gut, wenn [mm] $(u,v)\,$ [/mm] sowohl "für ein Vektorpaar" als
auch für das Ergebnis der Anwendung einer Funktionsvorschrift auf ein
solches Vektorpaar verwendet wird.
Beispiel: Wenn wir
[mm] $(x,y):=x^T*y$
[/mm]
für $x,y [mm] \in \IR^3$ [/mm] schreiben, dann müssen wir aus dem Zshg. heraus immer
wissen, ob etwa
[mm] $(\vektor{1\\2\\3},\vektor{4\\5\\6})$ [/mm] als Element des [mm] $\IR^3 \times \IR^3\,,$
[/mm]
oder ob
[mm] $(\vektor{1\\2\\3},\vektor{4\\5\\6})=(1,2,3)*\vektor{4\\5\\6}=1*4+2*5+3*6=32$
[/mm]
gemeint war. Sowas ist nicht besonders schön...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:48 So 15.06.2014 | | Autor: | Killercat |
Hi,
eventuell war das gerade der Knackpunkt, den ich gebraucht habe. Auch wenn ich jetzt (gemessen an der bisherigen Diskussion) nicht die Lösung finde, aber es hat mich einen riesen Schritt weitergebracht.
Liebe Grüße
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