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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 Fr 28.09.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Jede quadratische Matrix A $ [mm] \in M_{n \times n} (\IK) [/mm] $ liefert eine Bilinearform auf $ [mm] \IK^n: [/mm] $
$ [mm] \beta_A [/mm] $ : $ [mm] \IK^n \times \IK^n [/mm] $ -> $ [mm] \IK, \beta_A [/mm] $ (x,y) = $ [mm] x^t [/mm] $ A y
Zeige [mm] \beta_A [/mm] symmetrisch <=> [mm] A^t [/mm] =A |
Hallo
Es gelte [mm] A^t [/mm] = A
[mm] \beta_A [/mm] (y,x) = [mm] y^t [/mm] A x
[mm] \beta_{A} [/mm] (x,y) [mm] =\beta_{A^t} [/mm] (x,y) = [mm] x^t A^t [/mm] y= [mm] (Ax)^t [/mm] y=??
WIe komme ich nun zu [mm] y^t [/mm] ??Darf ich den Ausdruck einfach nochmal transponieren?
2) Noch eine Frage wieso gilt:
[mm] \sum_{i,j} x_i A_{ij} y_j [/mm] = [mm] x^t [/mm] A y
wobei A [mm] \in M_{n \times n } (\IK) [/mm] und x,y [mm] \in \IK^n [/mm]
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 Sa 29.09.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Es gelte [mm]A^t[/mm] = A
> [mm]\beta_A[/mm] (y,x) = [mm]y^t[/mm] A x
>
> [mm]\beta_{A}[/mm] (x,y) [mm]=\beta_{A^t}[/mm] (x,y) = [mm]x^t A^t[/mm] y= [mm](Ax)^t[/mm]
> y=??
> WIe komme ich nun zu [mm]y^t[/mm] ??Darf ich den Ausdruck einfach
> nochmal transponieren?
[mm] \beta_A(x,y)=x^t*A*y=(x^t*A*y)^t=y^t*A^t*x=y^t*A*x [/mm] weil [mm] A^t=A [/mm] und damit gilt [mm] \beta_A(x,y)=\beta_A(y,x)
[/mm]
>
>
> 2) Noch eine Frage wieso gilt:
> [mm]\sum_{i,j} x_i A_{ij} y_j[/mm] = [mm]x^t[/mm] A y
> wobei A [mm]\in M_{n \times n } (\IK)[/mm] und x,y [mm]\in \IK^n[/mm]
Das muss man nur ausmultiplizieren.
[mm] (Ay)_i=\summe_{j=1}^{n}A_{ij}y_j [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{n}x_i*(Ay)_i [/mm] ergibt durch einsetzen das Ergebnis.
> Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Sa 29.09.2012 | | Autor: | quasimo |
hallo,
Danke für deinen Post.
Wieso gilt : [mm] x^t\cdot{}A\cdot{}y=(x^t\cdot{}A\cdot{}y)^t [/mm]
?
> Das muss man nur ausmultiplizieren.
> $ [mm] (Ay)_i=\summe_{j=1}^{n}A_{ij}y_j [/mm] $ und $ [mm] \summe_{i=1}^{n}x_i\cdot{}(Ay)_i [/mm] $ ergibt durch einsetzen das Ergebnis.
Das verstehe ich nicht ganz. wie ausmultiplizieren?
$ [mm] (Ay)_i=\summe_{j=1}^{n}A_{ij}y_j [/mm] $ ist mir klar.
LG,
quasimo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Sa 29.09.2012 | | Autor: | ullim |
> hallo,
>
> Danke für deinen Post.
> Wieso gilt : [mm]x^t\cdot{}A\cdot{}y=(x^t\cdot{}A\cdot{}y)^t[/mm]
> ?
>
Stell Dir [mm] \IK [/mm] mal als die reele Zahlen vor und transponiere mal irgendeine Zahl. Was kommt dann raus?
Übrigens muss Du auch noch die andere Aussage zeigen, wenn [mm] \beta_A(x,y)=\beta_A(y,x) [/mm] gilt folgt [mm] A=A^t
[/mm]
>
> > Das muss man nur ausmultiplizieren.
>
> > [mm](Ay)_i=\summe_{j=1}^{n}A_{ij}y_j[/mm] und
> [mm]\summe_{i=1}^{n}x_i\cdot{}(Ay)_i[/mm] ergibt durch einsetzen das
> Ergebnis.
> Das verstehe ich nicht ganz. wie ausmultiplizieren?
> [mm](Ay)_i=\summe_{j=1}^{n}A_{ij}y_j[/mm] ist mir klar.
>
Das was ich hin geschrieben habe ist die Ausmultiplikation.
>
> LG,
> quasimo
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Sa 29.09.2012 | | Autor: | quasimo |
hallo,
Die eine richtung hab ich nun verstanden, danke.
Andere Richtung:
Sei $ [mm] \beta_A(x,y)=\beta_A(y,x) [/mm] $
[mm] \beta_A(x,y) [/mm] = [mm] x^t [/mm] A y = [mm] y^t [/mm] A [mm] x=\beta_A(y,x) [/mm]
=> [mm] x^t [/mm] A y = [mm] y^t [/mm] A x
[mm] x^t [/mm] A y = [mm] (x^t\cdot{}A\cdot{}y)^t=y^t\cdot{}A^t\cdot{}x=y^t\cdot{}A\cdot{}x
[/mm]
=> [mm] A^t [/mm] = A
> Das was ich hin geschrieben habe ist die Ausmultiplikation.
Mhm. Villeicht kannst du mir das nochmal ausführlicher erklären. Ich komme damit leider nicht ganz zurecht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Sa 29.09.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
> hallo,
> Die eine richtung hab ich nun verstanden, danke.
>
> Andere Richtung:
> Sei [mm]\beta_A(x,y)=\beta_A(y,x)[/mm]
> [mm]\beta_A(x,y)[/mm] = [mm]x^t[/mm] A y = [mm]y^t[/mm] A [mm]x=\beta_A(y,x)[/mm]
> => [mm]x^t[/mm] A y = [mm]y^t[/mm] A x
> [mm]x^t[/mm] A y =
> [mm](x^t\cdot{}A\cdot{}y)^t=y^t\cdot{}A^t\cdot{}x=y^t\cdot{}A\cdot{}x[/mm]
> => [mm]A^t[/mm] = A
Wahrscheinlich steht in der Aufgabenstellung das [mm] \beta_A(x,y)=\beta_A(y,x) [/mm] für alle x,y gelten soll. Wenn das so ist, setze für x den i-ten und für y den j-ten Einheitsvektor ein und rechne [mm] \beta_A(x,y) [/mm] und [mm] \beta_A(y,x) [/mm] aus. Da beide Ausdrücke gleich sind, ergibt sich eine Beziehung für die [mm] A_{i,j}
[/mm]
> > Das was ich hin geschrieben habe ist die Ausmultiplikation.
> Mhm. Villeicht kannst du mir das nochmal ausführlicher
> erklären. Ich komme damit leider nicht ganz zurecht.
Wenn ma A*y ausmultipliziert kommt [mm] \summe_{i=1}^{n}A_{ij}y_j [/mm] heraus. Das Ergebnis muss noch mit [mm] x^t [/mm] von links multipliziert werden. Dann hast Du das Ergebnis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Sa 29.09.2012 | | Autor: | quasimo |
[mm] \beta_A [/mm] symmetrisch
<=>$ [mm] \beta_A(x,y) [/mm] $ = $ [mm] \beta_A(y,x) [/mm] $
Insbesondere: [mm] \beta_A(e_i, e_j) [/mm] $ = $ [mm] \beta_A (e_j, e_i)
[/mm]
d.h. [mm] e_i^t [/mm] A [mm] e_j [/mm] = [mm] e_j^t [/mm] A [mm] e_i
[/mm]
<=> [mm] A_{ij} [/mm] = [mm] A_{ji}
[/mm]
da [mm] A_{ji}=A_{ij}^t [/mm] folgt was zu zeigen war
Passts?
Danke,liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 So 30.09.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
> [mm] \beta_A [/mm] symmetrisch
> <=> [mm] \beta_A(x,y) [/mm] = [mm] \beta_A(y,x)
[/mm]
> Insbesondere: [mm] \beta_A(e_i, e_j) [/mm] = [mm] \beta_A (e_j, e_i)
[/mm]
>
> d.h. [mm] e_i^t [/mm] A [mm] e_j [/mm] = [mm] e_j^t [/mm] A [mm] e_i
[/mm]
> <=> [mm] A_{ij} [/mm] = [mm] A_{ji}
[/mm]
Aus der Gleichung [mm] e_i^t*A*e_j [/mm] = [mm] e_j^t*A*e_i [/mm] folgt [mm] A_{ij}=A_{ji} [/mm] wenn Du jeweils die Summe [mm] \summe_{k=1,l=1}^{n}A_{kl}*\left(e_j\right)_k*\left(e_i\right)_l [/mm] ausgewertet hast. Und da die Gleichung für alle [mm] e_i [/mm] und [mm] e_j [/mm] gilt sind gilt auch für alle i und j [mm] A_{ij}=A_{ji} [/mm] und damit ist die Matrix symetrisch.
> da [mm]A_{ji}=A_{ij}^t[/mm] folgt was zu zeigen war
Das versteh ich nicht, was willst Du damit zeigen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:02 So 30.09.2012 | | Autor: | quasimo |
danke ;=)
Genauso hab ich es gemeint.
LG
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