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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Fr 28.09.2012 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | | Sei [mm] \phi [/mm] eine Bilinearform mit [mm] \phi(x,y)=x^TAy [/mm] für [mm] A=\pmat{1&2&0\\2&\lambda &0\\0&0&1}, \lambda\in\IR. [/mm] Bestimme alle [mm] \lambda [/mm] so, dass die Bilinearform positiv-definit ist und berechne für diese Fälle eine Orthonormalbasis. |
Hallo.
Den ersten Teil der Aufgabe würde ich so erledigen, weiss aber nicht, ob es so korrekt ist:
Wenn [mm] \phi(x,x)>0 [/mm] für alle [mm] x\not=0, [/mm] dann ist [mm] \phi [/mm] positiv-definit.
Das heißt [mm] \phi(x,x)=\pmat{x_1&x_2&x_3}\pmat{1&2&0\\2&\lambda &0\\0&0&1}\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\underbrace{x_1^2}_{\ge 0}+4x_1x_2+\lambda\underbrace{x_2^2}_{\ge 0}+\underbrace{x_3^2}_{\ge 0} [/mm] und dann muss doch [mm] \lambda=\bruch{-4x_1x_2}{x_2^2}=\bruch{-4x_1}{x_2} [/mm] sein. (Problematisch, wenn [mm] x_2=0?)
[/mm]
Danke fürs Drüberschauen und
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Hallo triad,
> Sei [mm]\phi[/mm] eine Bilinearform mit [mm]\phi(x,y)=x^TAy[/mm] für
> [mm]A=\pmat{1&2&0\\2&\lambda &0\\0&0&1}, \lambda\in\IR.[/mm]
> Bestimme alle [mm]\lambda[/mm] so, dass die Bilinearform
> positiv-definit ist und berechne für diese Fälle eine
> Orthonormalbasis.
> Hallo.
>
> Den ersten Teil der Aufgabe würde ich so erledigen, weiss
> aber nicht, ob es so korrekt ist:
>
> Wenn [mm]\phi(x,x)>0[/mm] für alle [mm]x\not=0,[/mm] dann ist [mm]\phi[/mm]
> positiv-definit.
> Das heißt
> [mm]\phi(x,x)=\pmat{x_1&x_2&x_3}\pmat{1&2&0\\2&\lambda &0\\0&0&1}\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\underbrace{x_1^2}_{\ge 0}+4x_1x_2+\lambda\underbrace{x_2^2}_{\ge 0}+\underbrace{x_3^2}_{\ge 0}[/mm]
> und dann muss doch
> [mm]\lambda=\bruch{-4x_1x_2}{x_2^2}=\bruch{-4x_1}{x_2}[/mm] sein.
> (Problematisch, wenn [mm]x_2=0?)[/mm]
>
Das ist nicht richtig.
Um die Positivität diese Ausdrucks festzustellen,
musst Du mit quadratischer Ergänzung arbeiten.
Mehr dazu: ![[]](/images/popup.gif) Definitheit von Matrizen
> Danke fürs Drüberschauen und
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Fr 28.09.2012 | | Autor: | triad |
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> Das ist nicht richtig.
>
> Um die Positivität diese Ausdrucks festzustellen,
> musst Du mit quadratischer Ergänzung arbeiten.
>
> Mehr dazu:
> Definitheit von Matrizen
>
>
Nur wie stelle ich das hier an? Bei simplen quadratischen Gleichungen wie [mm] x^2-6x=16 [/mm] ist quad. Ergänzung kein Problem, aber hier habe ich ja [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_3 [/mm] und möchte wissen welche [mm] \lambda [/mm] erlaubt sind, so dass der Term positiv bleibt.
Ich weiss grade nicht weiter.
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Hallo triad,
> >
> > Das ist nicht richtig.
> >
> > Um die Positivität diese Ausdrucks festzustellen,
> > musst Du mit quadratischer Ergänzung arbeiten.
> >
> > Mehr dazu:
> >
> Definitheit von Matrizen
>
> >
> >
>
> Nur wie stelle ich das hier an? Bei simplen quadratischen
> Gleichungen wie [mm]x^2-6x=16[/mm] ist quad. Ergänzung kein
> Problem, aber hier habe ich ja [mm]x_1[/mm] bis [mm]x_3[/mm] und möchte
> wissen welche [mm]\lambda[/mm] erlaubt sind, so dass der Term
> positiv bleibt.
Der Ausdruck
[mm]x_1^2+4x_1x_2+\lambda x_2^2+x_3^2}[/mm]
ist in der Form
[mm]\left(x_{1}+\alpha*x_{2}\right)^{2}+\beta*x_{2}^{2}+x_{3}^{2}[/mm]
zu schreiben.
Dann muss [mm]\beta>0[/mm] sein, damit dieser Ausdruck positiv ist.
> Ich weiss grade nicht weiter.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Fr 28.09.2012 | | Autor: | triad |
> Hallo triad,
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> > >
> > > Das ist nicht richtig.
> > >
> > > Um die Positivität diese Ausdrucks festzustellen,
> > > musst Du mit quadratischer Ergänzung arbeiten.
> > >
> > > Mehr dazu:
> > >
> >
> Definitheit von Matrizen
>
> >
> > >
> > >
> >
> > Nur wie stelle ich das hier an? Bei simplen quadratischen
> > Gleichungen wie [mm]x^2-6x=16[/mm] ist quad. Ergänzung kein
> > Problem, aber hier habe ich ja [mm]x_1[/mm] bis [mm]x_3[/mm] und möchte
> > wissen welche [mm]\lambda[/mm] erlaubt sind, so dass der Term
> > positiv bleibt.
>
>
> Der Ausdruck
>
> [mm]x_1^2+4x_1x_2+\lambda x_2^2+x_3^2}[/mm]
>
> ist in der Form
>
> [mm]\left(x_{1}+\alpha*x_{2}\right)^{2}+\beta*x_{2}^{2}+x_{3}^{2}[/mm]
>
> zu schreiben.
>
> Dann muss [mm]\beta>0[/mm] sein, damit dieser Ausdruck positiv ist.
>
>
OK, da hätte ich selber drauf kommen müssen. Deine Umformung verstehe ich, aber was heißt das für das Lambda, denn es war ja nicht nach Beta gefragt?
Das heisst es muss definitiv [mm] \alpha=2>0 [/mm] sein (wegen der 1. Binomischen Formel) und folglich genügt ein [mm] \beta>0 [/mm] zur Positivität des ganzen Ausdrucks. Da offensichtlich [mm] \lambda=\alpha^2+\beta [/mm] gilt, muss dann [mm] \lambda>4 [/mm] , richtig?
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Hallo triad,
> > Hallo triad,
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> > > >
> > > > Das ist nicht richtig.
> > > >
> > > > Um die Positivität diese Ausdrucks festzustellen,
> > > > musst Du mit quadratischer Ergänzung arbeiten.
> > > >
> > > > Mehr dazu:
> > > >
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> >
> Definitheit von Matrizen
>
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> > >
> > > >
> > > >
> > >
> > > Nur wie stelle ich das hier an? Bei simplen quadratischen
> > > Gleichungen wie [mm]x^2-6x=16[/mm] ist quad. Ergänzung kein
> > > Problem, aber hier habe ich ja [mm]x_1[/mm] bis [mm]x_3[/mm] und möchte
> > > wissen welche [mm]\lambda[/mm] erlaubt sind, so dass der Term
> > > positiv bleibt.
> >
> >
> > Der Ausdruck
> >
> > [mm]x_1^2+4x_1x_2+\lambda x_2^2+x_3^2}[/mm]
> >
> > ist in der Form
> >
> >
> [mm]\left(x_{1}+\alpha*x_{2}\right)^{2}+\beta*x_{2}^{2}+x_{3}^{2}[/mm]
> >
> > zu schreiben.
> >
> > Dann muss [mm]\beta>0[/mm] sein, damit dieser Ausdruck positiv ist.
> >
> >
>
> OK, da hätte ich selber drauf kommen müssen. Deine
> Umformung verstehe ich, aber was heißt das für das
> Lambda, denn es war ja nicht nach Beta gefragt?
> Das heisst es muss definitiv [mm]\alpha=2>0[/mm] sein (wegen der 1.
> Binomischen Formel) und folglich genügt ein [mm]\beta>0[/mm] zur
> Positivität des ganzen Ausdrucks. Da offensichtlich
> [mm]\lambda=\alpha^2+\beta[/mm] gilt, muss dann [mm]\lambda>4[/mm] ,
> richtig?
>
Ja, das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Fr 28.09.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Alternativ hatten wir in Analysis 2 den Satz:
Eine Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren positiv sind. Also muss man nur die Determinante der Matrix [mm] A=\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & \lambda }.
[/mm]
Stimmt doch, oder?
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> Alternativ hatten wir in Analysis 2 den Satz:
>
> Eine Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle
> Hauptminoren positiv sind. Also muss man nur die
> Determinante der Matrix [mm]A=\pmat{ 1 & 2 \\
2 & \lambda }.[/mm]
>
> Stimmt doch, oder?
Hallo,
ja. So ist man fix dabei!
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Sa 29.09.2012 | | Autor: | triad |
Wie soll man jetzt für die Fälle [mm] \lambda>4 [/mm] eine ONB berechnen? Muss man das Lambda durch die Rechnungen ziehen, weil da kommen Polynome in Lambda raus? Ich hab Gram-Schmidt bis jetzt nur mit reinen Zahlen gemacht. Oder wählt man für Lambda einfach irgendeinen Wert größer 4?
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> Wie soll man jetzt für die Fälle [mm]\lambda>4[/mm] eine ONB
> berechnen?
Hallo,
da die Bilinearform positiv definit ist, kannst Du das mit dem Gram-Schmidt-Verfahren machen.
> Muss man das Lambda durch die Rechnungen ziehen,
Ja. Das [mm] \lambda [/mm] wird in den Rechnungen bleiben.
> weil da kommen Polynome in Lambda raus?
> Ich hab
> Gram-Schmidt bis jetzt nur mit reinen Zahlen gemacht. Oder
> wählt man für Lambda einfach irgendeinen Wert größer 4?
Nein. Du sollst die Aufgabe ja allgemein bearbeiten und nicht für ein spezielles [mm] \lambda.
[/mm]
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Sa 29.09.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Ist die Aufgabenstellung eigentlich vollständig? Von was soll denn eine Orthonormalbasis bestimmt werden?
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Hallo,
vom [mm] \IR^3 [/mm] tät ich mal meinen.
LG Angela
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