Bilinearform und mehr < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Fr 29.07.2005 | | Autor: | Britta82 |
Hi,
kann mir jemand erklären wie man an der Gramschen Matrix erkennt ob die zugehörige Bilinearform ein Skalarprodukt ist?
was ist das orthogonale komplement eines Untervektorraums bzgl einer Bilinearform?
Was ist eine Hauptraumzerlegung?
Vielen Dank für die Hilfe schon mal im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Britta
|
|
| |
|
Grüße!
So viele Fragen auf einmal... also, ich werde versuchen, da etwas zu zu sagen.
> kann mir jemand erklären wie man an der Gramschen Matrix
> erkennt ob die zugehörige Bilinearform ein Skalarprodukt
> ist?
Ich kann nur raten, was bei euch die "Gramsche Matrix" ist (höre ich zum ersten Mal), aber falls es die darstellende Matrix der Bilinearform ist, braqucht man, dass diese symmetrisch und positiv definit ist. Für letzteres gibt es bei Matrizen einige Kriterien, z.B. dass alle Eigenwerte positiv sind oder dass die Hauptminoren (Determinanten gewisser Untermatrizen) positiv sind.
> was ist das orthogonale komplement eines Untervektorraums
> bzgl einer Bilinearform?
Falls [mm] $\beta$ [/mm] eine Bilinearform und $U$ ein Untervektorraum ist, dann kann man definieren
[mm] $U^\perp [/mm] = [mm] \{ v \in V : \beta(u,v) = 0 \; \forall \; u \in U \}$
[/mm]
Diese Definition ist für allgemeines [mm] $\beta$ [/mm] etwas mit Vorsicht zu genießen. Falls [mm] $\beta$ [/mm] z.B. nicht symmetrisch ist, gibt es zwei verschiedene Komplemente ("links" und "rechts"), weil es dann eine Rolle spielt, wo in der Definition das $u$ und wo das $v$ steht.
Und falls [mm] $\beta$ [/mm] nicht pos. definit ist, dann ist das kein Komplement im eigentlichen Sinn, es kann z.B. sein, dass $U$ und [mm] $U^\perp$ [/mm] nicht-trivialen Schnitt haben.
> Was ist eine Hauptraumzerlegung?
Gegeben sei ein Endomorphismus $f$ eines Vektorraumes $V$. Falls $f$ diagonalisierbar ist, zerlegt sich $V$ in die direkte Summe der Eigenräume. Wunderbar. Falls nicht, dann ist diese Sumem aber noch nicht ganz $V$ - und dann sollte man die Hauptraumzerlegung betrachten.
Ist [mm] $\lambda$ [/mm] ein Eigenwert von $f$, so ist [mm] $\mbox{Kern}(f [/mm] - [mm] \lambda \id)^n$, [/mm] wo $n = [mm] \dim [/mm] V$ der Hauptraum zu [mm] $\lambda$. [/mm] Dieser enthält den Eigenraum zu [mm] $\lambda$ [/mm] natürlich immer. Ein Satz aus der linearen Algebra besagt, dass sich für $f$ beliebig das $V$ immer in die direkte Summe der Haupträume zerlegt. Diese Erkenntnis führt später zur Jordanschen Normalform - die Haupträume entsprechen den Jordan-Kästchen (genauer: die Einschränkung von $f$ auf die Haupträume werden in geeigneter Basis durch die Jordan-Kästchen beschrieben. Da die Haupträume $f$-invariant sind, macht das auch Sinn.)
Alles klar? 
Lars
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Mo 01.08.2005 | | Autor: | Britta82 |
Gegeben sei ein Endomorphismus eines Vektorraumes . Falls diagonalisierbar ist, zerlegt sich in die direkte Summe der Eigenräume. Wunderbar. Falls nicht, dann ist diese Sumem aber noch nicht ganz - und dann sollte man die Hauptraumzerlegung betrachten.
Ist ein Eigenwert von , so ist , wo der Hauptraum zu . Dieser enthält den Eigenraum zu natürlich immer. Ein Satz aus der linearen Algebra besagt, dass sich für beliebig das immer in die direkte Summe der Haupträume zerlegt. Diese Erkenntnis führt später zur Jordanschen Normalform - die Haupträume entsprechen den Jordan-Kästchen (genauer: die Einschränkung von auf die Haupträume werden in geeigneter Basis durch die Jordan-Kästchen beschrieben. Da die Haupträume -invariant sind, macht das auch Sinn.)
Wenn f diagonalisierbar ist, sind dann die Eigenräume die Haupträume?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Mo 01.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Britta!
>> Wenn f diagonalisierbar ist, sind dann die Eigenräume die
> Haupträume?
Ja, das ist richtig!
In diesem Fall ist für alle Eigenwerte
[mm] $Kern(f-\lambda id_V)$ [/mm] (also der Eigenraum)
der Hauptraum, d.h. für $n [mm] \ge [/mm] 2$ gilt:
$Kern(f - [mm] \lambda id_V)^n [/mm] = [mm] Kern(f-\lambda id_V)$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
