Bilinearformen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Sa 13.06.2015 | | Autor: | Lara001 |
| Aufgabe | Welche der folgenden Abbildungen f : [mm] K^{2} [/mm] → K sind Bilinearformen?
1. f(x, y) = x + y
2. f(x, y) = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2}
[/mm]
3. f(x, y) = xy
4. f(x, y) = [mm] xy^{2} [/mm] |
Hallo :)
also ich soll generell die folgenden Abbildungen untersuchen ob sie Bilinearform sind.
Da gibt es ja die Folgenden Kriterien:
[mm] f(x_{1}+x_{2},y)=f(x_{1},y)+f(x_{2},y)
[/mm]
[mm] f(\lambda x,y)=\lambda [/mm] f(x,y)
[mm] f(x,y_{1}+y_{2})=f(x,y_{1})+f(x,y_{2})
[/mm]
[mm] f(x,\lambda y)=\lambda [/mm] f(x,y)
jetzt bin ich etwas irritiert weil ich in den Aufgaben als Ergebnis nix mit [mm] x_{1} [/mm] und oder [mm] x_{2} [/mm] habe sondern nur wieder generelles x und y.
generell würde ich sagen dass 1. und 2. nicht bilinear sind weil für x= [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] und y= [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] nicht Null rauskommt und daher sie nicht linear sind.
liebe grüße :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Sa 13.06.2015 | | Autor: | abakus |
> Welche der folgenden Abbildungen f : [mm]K^{2}[/mm] → K sind
> Bilinearformen?
> 1. f(x, y) = x + y
> 2. f(x, y) = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm]
> 3. f(x, y) = xy
> 4. f(x, y) = [mm]xy^{2}[/mm]
> Hallo :)
>
> also ich soll generell die folgenden Abbildungen
> untersuchen ob sie Bilinearform sind.
>
> Da gibt es ja die Folgenden Kriterien:
>
> [mm]f(x_{1}+x_{2},y)=f(x_{1},y)+f(x_{2},y)[/mm]
> [mm]f(\lambda x,y)=\lambda[/mm] f(x,y)
> [mm]f(x,y_{1}+y_{2})=f(x,y_{1})+f(x,y_{2})[/mm]
> [mm]f(x,\lambda y)=\lambda[/mm] f(x,y)
>
> jetzt bin ich etwas irritiert weil ich in den Aufgaben als
> Ergebnis nix mit [mm]x_{1}[/mm] und oder [mm]x_{2}[/mm] habe sondern nur
> wieder generelles x und y.
>
> generell würde ich sagen dass 1. und 2. nicht bilinear
> sind weil für x= [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] und y= [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
> nicht Null rauskommt und daher sie nicht linear sind.
>
> liebe grüße :)
Hallo,
wenn du f(x, y) = x + y
auf [mm]f(x_{1}+x_{2},y)[/mm] anwendest, erhältst du
[mm](x_{1}+x_{2})+y[/mm].
Das ist allerdings nicht dasselbe wie
[mm]f(x_{1},y)+f(x_{2},y)[/mm], denn hier müsste nach Anwendung von
f(x, y) = x + y auf beide Summanden die Summe
[mm](x_1+y)+(x_2+y)[/mm] rauskommen, was sich durch einen zusätzlichen Summanden y von [mm](x_{1}+x_{2})+y[/mm]unterscheidet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Sa 13.06.2015 | | Autor: | Lara001 |
also muss ich auf der rechten Seite einfach für x [mm] \to (x_{1}+x_{2}) [/mm] einsetzten?
bzw ist meine Argumentation mit der Nullabbildung auf 0 auch richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Sa 13.06.2015 | | Autor: | hippias |
Du musst beachten wie $f$ definiert ist: Es ist [mm] $f:K^{2}\to [/mm] K$, d.h. in $f(x,y)$ sind $x$ und $y$ Skalare; Du aber wollest $f$ auf Vektoren anwenden. Und ja: $f(0,y)=0$ fuer alle [mm] $y\in [/mm] K$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 So 14.06.2015 | | Autor: | Lara001 |
danke erstmal für eure antworten :)
du meinst sicher f(0,y)=y oder?
Ich glaube ich hab die Art von Abbildung jetzt verstanden.
Dass bei [mm] K^{2} \to K^1 [/mm] einfach 2 Skalare in eines umgewandelt werden.
Wohingegen bei [mm] V^{2} [/mm] x [mm] V^{2} \to K^1 [/mm] zwei Vektoren in ein Skalar umgewandelt werden.
so erstmal korrekt?
Ist dann jedoch die Argumentation von abakus richtig? Weil ich ja da mit [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] argumentiere und das ja Komponeneten eines Vekors darstellen.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 So 14.06.2015 | | Autor: | hippias |
> danke erstmal für eure antworten :)
>
> du meinst sicher f(0,y)=y oder?
Nein, ich meinte es so wie ich geschrieben habe. Ich bezog mich damit auf Deine erste Mitteilung, in der es unter anderem um die Feststellung ging, dass $f(0,y)=0$ ist, falls $f$ bilinear ist.
>
> Ich glaube ich hab die Art von Abbildung jetzt verstanden.
>
> Dass bei [mm]K^{2} \to K^1[/mm] einfach 2 Skalare in eines
> umgewandelt werden.
> Wohingegen bei [mm]V^{2}[/mm] x [mm]V^{2} \to K^1[/mm] zwei Vektoren in ein
> Skalar umgewandelt werden.
>
> so erstmal korrekt?
>
> Ist dann jedoch die Argumentation von abakus richtig? Weil
> ich ja da mit [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] argumentiere und das ja
> Komponeneten eines Vekors darstellen.
>
> Liebe Grüße
>
Ueberpruefe einfach, ob die Funktion die geforderten Eigenschaften hat. Sei beispielsweise $f(x,y)=x+y$ und seien $a,b,c$ Skalare. Gilt dann $f(a+b,c)= f(a,c)+f(b,c)$?
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