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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 So 14.06.2009 | | Autor: | HILFE16 |
| Aufgabe | Es sei V der [mm] \IR-Vektorraum [/mm] der reellen Polynome [mm] \le1. [/mm] Bestimmen Sie in Bezug auf die BAsis 1,x die darstellende Matrix der Bilinearform
a) [mm] \nu [/mm] (f,g) := [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{(x+y)f(x)g(x) dxdy}
[/mm]
c) Bestimmen sie eine Basis von V, bezüglich der [mm] \nu [/mm] eine darstellende Matrix in Diagonalform hat. |
Bei a)
Setze ich dann einfach Polynome ein? ich weiß ja x und y nicht. Ich hab leider keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen soll.
c)
Kann ich dies über Hauptachsentransformation lösen?
Wär lieb, wenn mir jemand helfen könnte. Eigentlich komm ich mit LA gut zurecht, nur diesmal schein ich voll auf der Leitung zu stehen.
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 So 14.06.2009 | | Autor: | andreas |
hi
> Es sei V der [mm]\IR-Vektorraum[/mm] der reellen Polynome [mm]\le1.[/mm]
> Bestimmen Sie in Bezug auf die BAsis 1,x die darstellende
> Matrix der Bilinearform
> a) [mm]\nu[/mm] (f,g) :=
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{(x+y)f(x)g(x) dxdy}[/mm]
soll hier wirklich $g(x)$ und nicht $g(y)$ stehen?
> c)
> Bestimmen sie eine Basis von V, bezüglich der [mm]\nu[/mm] eine
> darstellende Matrix in Diagonalform hat.
> Bei a)
> Setze ich dann einfach Polynome ein? ich weiß ja x und y
> nicht.
genau du setzt für $f$ und $g$ einfach die angegeben polynome ein, etwa erhälst du [mm] $\nu(1,1) [/mm] = [mm] \int_0^1\int_0^1 [/mm] (x + [mm] y)\cdot1\cdot [/mm] 1 [mm] \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d} [/mm] y$. vereinfachen und dann einfach die beiden integrale ausrechnen, dann verschwinden $x$ und $y$ und du erhälst einfach eine zahl. wenn du alle kombinationen durch hast erhälst du eine darstellende $2 [mm] \times [/mm] 2$-matrix.
> c)
> Kann ich dies über Hauptachsentransformation lösen?
ja, kannst du dann, sobald du die entsprechende matrix in teil a) aufgestellt hast.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 So 14.06.2009 | | Autor: | HILFE16 |
sorry. ich hab mich vertippt. es muss g(y) statt g(x) lauten...
ich habs nun mal ausgerechnet.also...
[mm] \nu(1,1):= \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{(x.y)*1*1 dxdy} [/mm] = 1
[mm] \nu(1,x) :=\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{(x.y)*1*x dxdy} [/mm] = 7/12
[mm] \nu(x,1):=\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{(x.y)*x*1 dxdy}=7/12
[/mm]
[mm] \nu(x,x):=\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{(x.y)*x*x dxdy}=1/24
[/mm]
Kann das stimmen?
Wenn ja muss ich ja die Werte nur noch in die Matrix eintragen.
[mm] \pmat{ \nu(1,1) & \nu(1,x) \\ \nu(x,1) & \nu(x,x) }
[/mm]
richtig?
Dankeschön schon mal für deine Hilfe!
Grüße
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> sorry. ich hab mich vertippt. es muss g(y) statt g(x)
> lauten...
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Und bei dem, was Du unrten schreibst, soll es statt (x.y) gewiß immer (x+y) heißen wie in der Aufgabenstellung.
>
> ich habs nun mal ausgerechnet.also...
>
> [mm]\nu(1,1):= \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{(x.y)*1*1 dxdy}[/mm]
> = 1
> [mm]\nu(1,x) :=\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{(x.y)*1*x dxdy}[/mm]
> = 7/12
> [mm]\nu(x,1):=\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{(x.y)*x*1 dxdy}=7/12[/mm]
>
> [mm]\nu(x,x):=\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{(x.y)*x*x dxdy}=1/24[/mm]
>
> Kann das stimmen?
Die ersten beiden jedenfalls stimmen, und den Rest glaub' ich Dir.
>
> Wenn ja muss ich ja die Werte nur noch in die Matrix
> eintragen.
>
> [mm]\pmat{ \nu(1,1) & \nu(1,x) \\ \nu(x,1) & \nu(x,x) }[/mm]
>
> richtig?
Ja.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:46 Mo 15.06.2009 | | Autor: | HILFE16 |
super...dankeschön.
war eigentlich gar nicht schwer, nur dass ich einfach ein lange leitung hatte dieses wochenende...
schöne grüße und danke nochmal
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Di 16.06.2009 | | Autor: | HILFE16 |
| Aufgabe | Es bezeichen e1,e2,e3 e3 [mm] \in \IR^3 [/mm] und a1:= (1,1,0) a2:=(0,1,1) a3:= (1,0,1).
a) Es bezeichner [mm] \nu [/mm] die Bilinearform auf dem [mm] \IR^3 [/mm] mit [mm] \nu(ei,ej):=\delta [/mm] i,j. (kroneckar delta). Bestimmen Sie die darstellende Matrix [mm] \nu [/mm] in der Basis a1,a2,a3. |
Wie funkioniert dies nun?
Mein Gedanke:
[mm] \nu [/mm] (a1,a1) = 1
[mm] \nu [/mm] (a2,a1) = 0
usw.
dann ergibt sich die matrix
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Stimmen meine Gedanken oder hab ich die Aufgabe falsch verstanden?
Grüße
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> Es bezeichen e1,e2,e3 e3 [mm]\in \IR^3[/mm] und a1:= (1,1,0)
> a2:=(0,1,1) a3:= (1,0,1).
>
> a) Es bezeichner [mm]\nu[/mm] die Bilinearform auf dem [mm]\IR^3[/mm] mit
> [mm]\nu(ei,ej):=\delta[/mm] i,j. (kroneckar delta). Bestimmen Sie
> die darstellende Matrix [mm]\nu[/mm] in der Basis a1,a2,a3.
> [...]
> dann ergibt sich die matrix
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
Hallo,
die Matrix, die Du hier stehen hast, ist die darstellende Matrix bzgl der Basis [mm] (e_1, e_2, e_3).
[/mm]
> Mein Gedanke:
> [mm]\nu[/mm] (a1,a1) = 1
> [mm]\nu[/mm] (a2,a1) = 0
> usw.
>
Genau diese Produkte mußt Du ausrechnen - aber richtig
Es ist
[mm] _1=1*e_1+1*e_2+0*e_3=e_1+e_2
[/mm]
[mm] a_2=e_2+e_3
[/mm]
[mm] a_3=e_1+e_3.
[/mm]
[mm]\nu[/mm] (a1,a1)= [mm] \nu(e_1+e_2,e_1+e_2)= [/mm] (Eigenschaften der Bilinearform verwenden) [mm] \nu(e_1,e_1)+2\nu(e_1,e_2)+\nu(e_2,e_2)=1+0+1=2
[/mm]
Die anderen Produkte ebenso. (Du hast es hier übrigens mit den Skalarprodukt zu tun, wie Du es aus der Schule kennst.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Di 16.06.2009 | | Autor: | HILFE16 |
Dann ist die Matrix
D = [mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 } [/mm] ?
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> Dann ist die Matrix
>
> D = [mm]\pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 }[/mm] ?
Ja, genau.
Gruß v. Angela
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