Binomial- & Normalverteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | Ein Basketballspieler trifft den Korb bei Strafwürfen in durchschnittlich 4 von 5 Fällen.
a) Er erhält in einem Spiel 8 Strafwürfe. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mehr als 5 mal?
b) 100 Strafwürfe sind es in der ganzen Saison, die er verwerten kann. Gesucht sind der Mittelwert und die Standartabweichung für die Anzahl der erzielten Körbe. |
| Aufgabe 2 | | Peter und Paul beschließen folgendes Spiel: Fünf Karten auf denen die Zahlen 2,3,4,5,6 stehen, liegen verdeckt auf dem Tisch. Zwei Karten werden gezogen. Ist die Summe der Zahlen gerade, gewinnt Peter 1 Franken von Paul - Ist die Summe ungerade, gewinnt Paul von Peter 90 Rappen. Nach 20 Runden hört einer von beiden frustriert auf - warum? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
zu Aufgabe 1:
Aufgabenteil a ist klar und mit Binomialverteilung zu lösen. Trefferwahrscheinlichkeit 0,8 usw.
Aufgabenteil b hört sich nach Normalverteilung an - ABER wie komme ich auf den Mittelwert bzw. auf die Standartabweichung?
Ich schätze mal, dass der Mittelwert bei 80 Treffern liegt. Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt ja 80% (4 aus 5 laut Aufgabenstellung). Ist das richtig?
Die Standartabweichung (sigma) - Keine Ahnung wie man das ermitteln kann! Kann jemand helfen?
zu Aufgabe 2: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe gerade ist sehe ich bei 40%. Dass die Summe ungerade ist bei 60%.
Jetzt multipliziert man (4/10)*1 und (6/10)*0.9. Man erhält 0,4 und 0,54. 0,54 ist 1,35 mal größer als 0,4. Heißt dass Paul pro Runde durchschnittlich 35 Rappen gewinnt. Heißt, dass Peter nach 20 Runden 7 Franken verloren hat.
Stimmt das oder nicht?
Noch kurz zur Hintergrundgeschichte: Ich habe mein Abi in Deutschland gemacht. Studiere jetzt an der ETHZ Maschinenbau. Noch nie hatte ich in sowohl Schule als auch Uni mit Normal- bzw. Binomialverteilung zu tun. Dementsprechend dumm stehe ich jetzt bei diesen Aufgaben da 
Liebe Grüße,
Patric
|
|
| |
|
Hiho,
also vorweg: Normalverteilung brauchst du bei der Aufgabe in keiner Weise.
> Aufgabenteil a ist klar und mit Binomialverteilung zu lösen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Warum nicht auch bei der b) ?
Das ist doch genau das Gleiche, nur dass n=100 ist.
Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz.
> zu Aufgabe 2: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe gerade ist sehe ich bei 40%. Dass die Summe ungerade ist bei 60%.
> Jetzt multipliziert man (4/10)*1 und (6/10)*0.9.
Warum?
> Man erhält 0,4 und 0,54. 0,54 ist 1,35 mal größer als 0,4.
> Heißt dass Paul pro Runde durchschnittlich 35 Rappen gewinnt. Heißt, dass Peter nach 20 Runden 7 Franken verloren hat.
Du meinst schon das richtige.
Was du letztlich machst: Du berechnest den erwarteten Gewinn für einen Spieler.
Der ist für einen positiv, für den anderen negativ.
Für den, der einen positiven Gewinn erwartet, macht das Spiel natürlich mehr Spaß
Die Frage ist aber bescheuert gestellt, denn
> Nach 20 Runden hört einer von beiden frustriert auf - warum?
Weil der andere keinen Sex mit ihm haben wollte!
Nu widerlege mich mal.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
Wow das ging schnell! Großes Dankeschön !!
Ich hab noch eine Frage zum Aufgabenteil b:
> Warum nicht auch bei der b) ?
> Das ist doch genau das Gleiche, nur dass n=100 ist.
> Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz.
Mit dem Mittelwert=80 stimmst Du mir zu, oder? Aber wie errechne ich die Varianz?
> Was du letztlich machst: Du berechnest den erwarteten Gewinn
Yes. Jetzt hab ich glaub ich sogar den richtigen Rechenweg. Pro Runde macht der eine 0,54 Rappen und der andere 0,44 Rappen Gewinn. Nach 20 Runden hat der eine somit 2 Franken mehr als der Andere. Looooooift.
Ich fange jetzt schon an dieses Forum zu lieben <3
|
|
|
| |
|
Hallo,
> > Warum nicht auch bei der b) ?
> > Das ist doch genau das Gleiche, nur dass n=100 ist.
> > Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz.
>
> Mit dem Mittelwert=80 stimmst Du mir zu, oder? Aber wie
> errechne ich die Varianz?
Der Erwartungswert ist hier gleich n*p=100*0.8=80.
Die Varianz der Binomialverteilung ist
[mm] \sigma^2=n*p*(1-p)
[/mm]
Hierzu ein kurzer ![[]](/images/popup.gif) Beweis auf Wikipedia.
>
> > Was du letztlich machst: Du berechnest den erwarteten
> Gewinn
>
> Yes. Jetzt hab ich glaub ich sogar den richtigen Rechenweg.
> Pro Runde macht der eine 0,54 Rappen und der andere 0,44
> Rappen Gewinn. Nach 20 Runden hat der eine somit 2 Franken
> mehr als der Andere. Looooooift.
Nein, das hast du noch nicht richtig verstanden. Auch bei Aufgabe 2 geht es um einen Erwartungswert. Von Peters Standpunkt aus sieht dieser so aus:
E(X)=1*0.4-0.9*0.6=-0.14
Was bedeutet das wohl?
Gruß, Diophant
PS: Ich kenne das Problem, dass man Stochatsik in der Schule nicht durchgenommen hat, aber im Studium wird es benötigt. Wir hatten damals (1985) im Abi (LK BaWü) auch 'nur' Analysis und Analytische Geometrie. Ich habe mir dann recht schnell den ganzen Papula besorgt, kennst du den? Wenn man nicht gearde Mathe studiert, dann ist er eine sehr gute Quelle, um solche Lücken rasch aufzuarbeiten. Stochastik kommt übrigens im 3. Band.
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | Es wurden 500 Taschenrechner geliefert. Nach Auskunft des Verkäufers sind davon 20% defekt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit könnte man mit höchstens 100 defekten Taschenrechner rechnen. |
Okay der Erwartungswert dürfte jetzt E(X) = np = 500 * 0,2 = 100 sein.
Frage: Müsste die Wahrscheinlichkeit, dass es weniger/gleich als 100 defekte Taschenrechner sind jetzt nicht gleich 50% sein? Ich geh mal davon aus.
Aber: sollte jetzt gefragt sein: Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind es höchstens 80 defekte Taschenrechner:
Müsste ich jetzt die Wahrscheinlichkeit für: 0 defekte, 1 defekter, 2 defekte, 3 defekte......80 defekte ausrechnen um dann alle Wahrscheinlichkeiten zu addieren? Oder kann ich das mit dem Taschenrechner irgendwie ausrechnen - Eventuell mit einer Integralfunktion?
Bzw. muss ich dann die Wahrscheinlichkeit für 100 Defekte nehmen (50%), um dann anschließend die Wahrscheinlichkeit von 99 Defekte, 98 Defekte.....81 Defekte abzuziehen?
Was mich halt irritiert ist, dass man bei der Binomialverteilung ein Sigma (Standartabweichung) erhält, ohne wirklich damit rechnen zu können. Das kommt ja in keiner Formel vor. Oder kann man das mit dem Sigma der Normalverteilung irgendwie kombinieren? Nach meinem Ermessen dürfte das nicht funktionieren.
PS: Ich hab mir jetzt mal das Tafelwerk bestellt. Dieses dürfte dem Papula ähneln, jedoch ist der Papula nicht als offizielles Hilfsmittel bei ETH Prüfungen zugelassen - Im Gegensatz zum Tafelwerk.
Und für Deine Antwort: Danke, Danke, Danke, Danke
|
|
|
| |
|
Hallo,
vorneweg: erstelle bitte in Zukunft für jede Aufgabe einen eigenen Thread, das wird sonst zu unübersichtlich.
> Es wurden 500 Taschenrechner geliefert. Nach Auskunft des
> Verkäufers sind davon 20% defekt. Mit welcher
> Wahrscheinlichkeit könnte man mit höchstens 100 defekten
> Taschenrechner rechnen.
> Okay der Erwartungswert dürfte jetzt E(X) = np = 500 *
> 0,2 = 100 sein.
Ja, aber wenn man mit der Binomialverteilung rechnet, braucht man ihn hier nicht, wenn man allerdings per Normalverteilung approximieren möchte, dann schon.
>
> Frage: Müsste die Wahrscheinlichkeit, dass es
> weniger/gleich als 100 defekte Taschenrechner sind jetzt
> nicht gleich 50% sein? Ich geh mal davon aus.
>
Gefragt ist die Wahrscheinlichkeit [mm] P(X\le{100}) [/mm] einer B(500,0.2)-verteilten Zufallsvariablen. Da brauchst du
- entweder eine Tabelle
- oder einen GTR/CAS-Rechner
- oder es soll mit der Normalverteilung gerechnet werden, dafür brauchst du
- eine Tabelle
- oder einen GTR/CAS-Rechner
> Aber: sollte jetzt gefragt sein: Mit welcher
> Wahrscheinlichkeit sind es höchstens 80 defekte
> Taschenrechner:
>
> Müsste ich jetzt die Wahrscheinlichkeit für: 0 defekte, 1
> defekter, 2 defekte, 3 defekte......80 defekte ausrechnen
> um dann alle Wahrscheinlichkeiten zu addieren? Oder kann
> ich das mit dem Taschenrechner irgendwie ausrechnen -
Genau so verhält es sich. Bei modernen TR gibt es oft eine Funktion binomcdf oder ähnlich, mit der sich die sog. kumulierte Wahrscheinlichkeit, also der betreffende Wert der Verteilungsfunktion, direkt berechnen lässt.
> Eventuell mit einer Integralfunktion?
Nur, wenn mit Normalverteilung approximiert werden soll. Aber auch dann wird der Rechner die Verteilungsfunktion an Bord haben.
> Bzw. muss ich dann die Wahrscheinlichkeit für 100 Defekte
> nehmen (50%), um dann anschließend die Wahrscheinlichkeit
> von 99 Defekte, 98 Defekte.....81 Defekte abzuziehen?
>
> Was mich halt irritiert ist, dass man bei der
> Binomialverteilung ein Sigma (Standartabweichung) erhält,
> ohne wirklich damit rechnen zu können. Das kommt ja in
> keiner Formel vor. Oder kann man das mit dem Sigma der
> Normalverteilung irgendwie kombinieren? Nach meinem
> Ermessen dürfte das nicht funktionieren.
Das ist für mich ein Anzeichen dafür, dass mit Normalverteilung gerechnet werden soll. Da braucht man zwingend die Maßzahlen [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma, [/mm] da sie die Verteilungsfunktion festlegen, welche die entsprechnde Binomialverteilung approximiert.
> PS: Ich hab mir jetzt mal das Tafelwerk bestellt. Dieses
> dürfte dem Papula ähneln, jedoch ist der Papula nicht als
> offizielles Hilfsmittel bei ETH Prüfungen zugelassen - Im
> Gegensatz zum Tafelwerk.
Ich dachte nicht an die Formelsammlung, sondern an das dreibändige Werk
Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler
welches sehr gut zum Selbststudium geeignet ist, allerdings vom Stoff her nicht sehr in die Tiefe geht.
Gruß, Diophant
|
|
|
|
