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Forum "Schul-Analysis" - Binomial Koeffizienten
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Binomial Koeffizienten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:15 Di 08.11.2005
Autor: Chessmaster

Hallo,

Kann mir jemand helfen folgende Aufgabe zu lösen:

Aufgabe:

Beweisen Sie(direkter Beweis):

[mm] \forall [/mm] n,k [mm] \in \IN, [/mm] k [mm] \le [/mm] n: [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm]

Ansatz:

Wenn ich zum Beispiel [mm] \vektor{4 \\ 3} [/mm] nehme. Dann bedeutet das doch ?!
Aus einer Menge mit 4 Elementen werden alle 3-elementigen Teilmengen
bestimmt. M = [mm] \{a,b,c,d \} \Rightarrow \{a,b,c \}, \{b,c,d \}, \{a,b,d \}, \{a,c,d \}. [/mm] So bekomm ich dann 4 Teilmengen.
Das wäre ja dann das selbe wie:


[mm] \vektor{4 \\ 3} [/mm] = [mm] \bruch{4!}{3!(4-3)!} [/mm] = [mm] \bruch{4*3*2}{3*2} [/mm] = 4


Kann ich das so beweisen oder ist das falsch ?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
Binomial Koeffizienten: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:24 Di 08.11.2005
Autor: Loddar

Hallo Chessmaster,


[willkommenmr] !!


Eine kleine Rückfrage: wie habt ihr den Binomialkoeffizienten [mm] $\vektor{n \\ k}$ [/mm] eigentlich definiert?


Denn so wie das bei Dir steht und was Du da beweisen sollst, entspricht das exakt der Definition, die ich kenne.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Binomial Koeffizienten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:25 Di 08.11.2005
Autor: Chessmaster


> Hallo Chessmaster,
>  
>
> [willkommenmr] !!
>  
>
> Eine kleine Rückfrage: wie habt ihr den
> Binomialkoeffizienten [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] eigentlich
> definiert?
>  
>
> Denn so wie das bei Dir steht und was Du da beweisen
> sollst, entspricht das exakt der Definition, die ich
> kenne.
>  
>
> Gruß
>  Loddar

>

Danke erst mal :-)

Ja das stimmt.
[mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm]
ist die Definition. Man könnte ja auch
[mm] \bruch{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!} [/mm] schreiben.
In meinem Beispiel:
[mm] \vektor{4 \\ 3} [/mm] würde das dann so aussehen:
[mm] \bruch{4(4-1)(4-2)}{3*2*1}= [/mm] 4
Aber wir sollen jetzt beweisen, dass für alle n's und k's die [mm] \in [/mm] von [mm] \IN [/mm] sind:  [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] gilt.    


Bezug
                        
Bezug
Binomial Koeffizienten: Definition nicht beweisbar
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:26 Di 08.11.2005
Autor: informix

Hallo chessmaster,
[willkommenmr] !!

>  >  
> >
> > Eine kleine Rückfrage: wie habt ihr den
> > Binomialkoeffizienten [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] eigentlich
> > definiert?
>  >  
> >
> > Denn so wie das bei Dir steht und was Du da beweisen
> > sollst, entspricht das exakt der Definition, die ich
> > kenne.

[]http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient

ich kenne auch keine andere Definition - und Definitionen kann man nur dann beweisen, wenn man eine andere Definition zu Grunde legt und zeigen will, dass sie gleichwertig sind.

> >
> > Gruß
>  >  Loddar
>  >
>  
> Danke erst mal :-)
>  
> Ja das stimmt.
> [mm]\bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm]  ist die Definition. Man könnte ja
> auch
> [mm]\bruch{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}[/mm] schreiben.
> In meinem Beispiel:
>   [mm]\vektor{4 \\ 3}[/mm] würde das dann so aussehen:
>  [mm]\bruch{4(4-1)(4-2)}{3*2*1}=[/mm] 4
>  Aber wir sollen jetzt beweisen, dass für alle n's und k's
> die [mm]\in[/mm] von [mm]\IN[/mm] sind:  [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] =
> [mm]\bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm] gilt.    
>  

Gruß informix


Bezug
        
Bezug
Binomial Koeffizienten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:48 Di 08.11.2005
Autor: Kohei

Ich hab zwar keine Ahnung ob es hilft aber  
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] = [mm] \vektor{n \\n-k} [/mm] für [mm] 0\le k\le [/mm] n

Das kann man glaube ich dann auch beweisen.
Zudem gibt es noch einen Hilfssatz:

Für alle [mm] n\in\IN n\ge1 [/mm] und alle [mm] k\in\IZ [/mm] gilt:

[mm] \vektor{n \\ k}= \vektor{n-1 \\ k-1}+ \vektor{n -1\\ k} [/mm]

Diesen Satz kann man soweit ich weiß auch zeigen.
Vieleicht  kann man dann auch zeigen dass [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm]
Ciao.

Bezug
        
Bezug
Binomial Koeffizienten: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:58 Mi 09.11.2005
Autor: Kohei

Hallo!

Ich nochmal!

[mm] \vektor{n \\ k}= \bruch{n(n-1)...(n-k+1)}{k!} [/mm]
                        = [mm] \bruch{n(n-1)...(n-k+1)(n-k)(n-k-1)...2*1}{1*2...k(n-k)(n-k-1)...2*1} [/mm]
                        = [mm] \bruch{n!}{k!(n-k!)} [/mm]

So müsste es sein.

Bezug
                
Bezug
Binomial Koeffizienten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:58 Mi 09.11.2005
Autor: Chessmaster

Hallo

Danke für eure Hilfe. Damit bin ich einverstanden :-).
Die Aufgabe ist eigentlich ein bischen unsinnig. Die Definition kennt man ja
oder kann man nachschlagen. Aber so hab ich mir das auch gedacht.

mfG Chessmaster


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