Binomialkoeff.& Multiplikation < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Sa 15.08.2009 | | Autor: | cluedo |
| Aufgabe | | [mm] $$(1-x)^{q-p-1} x^p$$ [/mm] |
Hallo Leute,
ich möchte obigen Ausdruck ein wenig vereinfachen, komme aber einfach nicht weiter. Könnt ihr mir helfen?
Der Anfang ist ja nicht so schwer, es gilt ja
$$ [mm] (x+y)^n [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^n\binom{n}{i} x^i y^{n-i}$$
[/mm]
da einer meiner summanden 1 ist, kann ich schreiben
[mm] $$(1-x)^{q-p-1} [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^{q-p-1} \binom{q-p-1}{i} (-x)^i$$
[/mm]
wenn ich nun den anderen Term dranmultipliziere erhalte ich
[mm] $$(1-x)^{q-p-1}x^p [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^{q-p-1} \binom{q-p-1}{i} (-x)^{i+p}$$
[/mm]
aber nun weiß ich nicht wie ich das wieder auf eine form kriegen kann, damit ich es wieder als kompaktes binomial schreiben kann.
über hilfe würde ich mich freuen.
grüße cluedo
ps: ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt
|
|
| |
|
> [mm](1-x)^{q-p-1} x^p[/mm]
> Hallo Leute,
>
> ich möchte obigen Ausdruck ein wenig vereinfachen, komme
> aber einfach nicht weiter. Könnt ihr mir helfen?
Hallo cluedo,
ehrlich gesagt halte ich diesen Ausdruck keineswegs
für kompliziert. Eine saubere Faktorisierung (welche
hier vorliegt) ist oft genau das, was man sich wünscht.
Mit binomischen Formeln kommst du hier wohl nicht
zu einfacheren, sondern zu komplizierteren Termen.
Je nach dem, was du mit dem Term noch vorhast,
könnte allenfalls eine Umformung zu einem zunächst
"komplizierteren" Term aber durchaus Sinn machen.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Sa 15.08.2009 | | Autor: | cluedo |
Hallo Al-Chwarizmi,
erstmal danke für die schnelle antwort. prinzipiell hast du recht, allerdings suche ich zu dem anfänglich genannten ausdruck die stammfunktion und habe mir gedacht, dass dieser weg ganz gut sein könnte. hast du eine andere idee?
grüße
|
|
|
| |
|
> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> erstmal danke für die schnelle antwort. prinzipiell hast
> du recht, allerdings suche ich zu dem anfänglich genannten
> ausdruck die stammfunktion
.....aha, das lässt die Sache anders aussehen.
Dann bleibt dir wohl kaum was andres übrig,
als den mit Binomialformel entwickelten und
mit dem [mm] x^p [/mm] multiplizierten Term gliedweise
zu integrieren. Der dann entstehende Ausdruck
wird sich dann aber kaum in einfacher Weise
zusammenfassen !
LG und schönen Abend !
Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Sa 15.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> erstmal danke für die schnelle antwort. prinzipiell hast
> du recht, allerdings suche ich zu dem anfänglich genannten
> ausdruck die stammfunktion und habe mir gedacht, dass
> dieser weg ganz gut sein könnte. hast du eine andere
> idee?
Was sind eigentlich $p$ und $q$? Ganze Zahlen? Reelle Zahlen? Ist $q - p - 1$ ueberhaupt eine nicht-negative ganze Zahl (du hast naemlich in deiner Frage so getan)?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 Sa 15.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo,
im Fall dass $p$ oder $q - p - 1$ eine natuerliche Zahl ist, kannst du auch per partieller Integration eine Stammfunktion finden. Nehmen wir mal an, dass $p$ eine natuerliche zahl ist. Dann gilt ja
[mm] $\int [/mm] (1 - [mm] x)^{q - p - 1} x^p [/mm] dx = [mm] -\frac{1}{q - p} [/mm] (1 - [mm] x)^{q - p} x^p [/mm] - [mm] \int -\frac{1}{q - p} [/mm] (1 - [mm] x)^{q - p} [/mm] p [mm] x^{p - 1} [/mm] = [mm] -\frac{1}{q - p} [/mm] (1 - [mm] x)^{q - p} x^p [/mm] + [mm] \frac{p}{q - p} \int [/mm] (1 - [mm] x)^{q - p} x^{p - 1} [/mm] dx$
Wenn man nochmals partiell integriert:
[mm] $\int [/mm] (1 - [mm] x)^{q - p} x^{p - 1} [/mm] = [mm] -\frac{1}{q - p + 1} [/mm] (1 - [mm] x)^{q - p + 1} x^{p - 1} [/mm] + [mm] \frac{p - 1}{q - p + 1} \int [/mm] (1 - [mm] x)^{q - p + 1} x^{p - 2} [/mm] dx$
Einsetzen gibt:
[mm] $\int [/mm] (1 - [mm] x)^{q - p - 1} x^p [/mm] dx = [mm] -\frac{1}{q - p} [/mm] (1 - [mm] x)^{q - p} x^p [/mm] - [mm] \frac{p}{q - p} \frac{1}{q - p + 1} [/mm] (1 - [mm] x)^{q - p + 1} x^{p - 1} [/mm] + [mm] \frac{p}{q - p} \frac{p - 1}{q - p + 1} \int [/mm] (1 - [mm] x)^{q - p + 1} x^{p - 2} [/mm] dx$
Das ganze noch einen Schritt weiter:
[mm] $\int [/mm] (1 - [mm] x)^{q - p - 1} x^p [/mm] dx = [mm] -\frac{1}{q - p} [/mm] (1 - [mm] x)^{q - p} x^p [/mm] - [mm] \frac{p}{q - p} \frac{1}{q - p + 1} [/mm] (1 - [mm] x)^{q - p + 1} x^{p - 1} [/mm] - [mm] \frac{p}{q - p} \frac{p - 1}{q - p + 1} \frac{1}{q - p + 2} [/mm] (1 - [mm] x)^{q - p + 2} x^{p - 2} [/mm] + [mm] \frac{p}{q - p} \frac{p - 1}{q - p + 1} \frac{p - 2}{q - p + 2} \int [/mm] (1 - [mm] x)^{q - p + 2} x^{p - 3} [/mm] dx$
Daraus folgert man
[mm] $\int [/mm] (1 - [mm] x)^{q - p - 1} x^p [/mm] dx = [mm] -\sum_{k=1}^{p - 1} \frac{p!}{(p - k + 1)!} \frac{(q - p - 1)!}{(q - p + k - 1)!} [/mm] (1 - [mm] x)^{q - p - 1 + k} x^{p + 1 - k} [/mm] + [mm] \frac{(q - p - 1)!}{(q - 1)!} [/mm] p! [mm] \int [/mm] (1 - [mm] x)^{q - 1} [/mm] dx$
(Wenn ich mich nicht vertan hab.)
und das letzte Integral bekommt man jetzt leicht mit Substitution in den Griff.
Wirklich schoener als die Binomialkoeffizientloesung ist das jetzt allerdings auch nicht 
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 So 16.08.2009 | | Autor: | cluedo |
Hallo felix,
vielen dank für die ausführliche antwort, das hilft mir schon sehr weiter, ich habs mal nachgerechnet und komme auch auf das ergebnis, allerdings mach mir der letzte ausdruck vor dem integral noch schwierigkeiten. warum ist denn
[mm] $$\frac{(q-p-1)(q-p-2)(q-p-3)\cdots}{(q-1)(q-2)(q-3)\cdots} [/mm] = [mm] \frac{1}{(q-p)(q-p+1)(q-p+2)\cdots} [/mm] $$
das sehe ich irgendwie nicht.
grüße cluedo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 So 16.08.2009 | | Autor: | cluedo |
ah okay,
ich habs jetzt verstanden. es hat damit zu tun, dass die fakultät im nenner nicht bis 1 läuft, sondern vorher abbricht und das regelt man durch die fakultät im zähler.
vielen dank nochmal für die hilfe.
grüße cluedo
|
|
|
|
