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| Aufgabe | Zeige für alle [mm] n\in\IN:
[/mm]
a) [mm] \sum_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}=2^n
[/mm]
b) [mm] \sum_{k=0}^{n}k\vektor{n \\ k}=n2^{n-1}
[/mm]
c) [mm] \vektor{n \\ k}=\vektor{n-1\\ k}+\vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] |
Guten Abend!
a) 1+1=2 -> Binomischer Lehrsatz
c) Definition
Die zwei habe ich geschafft. b) habe ich nun mit Induktion beweisen, aber geht das nicht auch irgendwie mit dem Lehrsatz? Irgendwie muss das doch auch sofort zu zeigen sein...
Danke im Voraus! Björn.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 Mo 21.04.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Björn!
> Zeige für alle [mm]n\in\IN:[/mm]
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> a) [mm]\sum_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}=2^n[/mm]
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> b) [mm]\sum_{k=0}^{n}k\vektor{n \\ k}=n2^{n-1}[/mm]
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> c) [mm]\vektor{n \\ k}=\vektor{n-1\\ k}+\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm]
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> Guten Abend!
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> a) 1+1=2 -> Binomischer Lehrsatz
>
> c) Definition
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> Die zwei habe ich geschafft. b) habe ich nun mit Induktion
> beweisen, aber geht das nicht auch irgendwie mit dem
> Lehrsatz? Irgendwie muss das doch auch sofort zu zeigen
> sein...
Ja, ist es. Betrachte [mm](x+1)^n=\sum_{k=0}^n \binom nk x^k[/mm], leite alles nach x ab und setze dann x=1.
Lieben Gruß,
Fulla
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Danke für die schnelle Antwort.
> Ja, ist es. Betrachte [mm](x+1)^n=\sum_{k=0}^n \binom nk x^k[/mm],
> leite alles nach x ab und setze dann x=1.
links: [mm] n*(x+1)^{n-1}
[/mm]
rechts: [mm] \sum_{k=0}^n k\vektor{n \\ k}x^{k-1}
[/mm]
x=1:
links: [mm] n2^{n-1}
[/mm]
rechts: [mm] \sum_{k=0}^n k\vektor{n \\ k}1^{k-1}=\sum_{k=0}^n k\vektor{n \\ k}
[/mm]
super!
Kannst du mir auch den Beweis analytisch erklären? Ich zeige etwas für die Ableitung und einen Punkt und damit ist es beweisen? Das kann doch so nicht stimmen.
[mm] f(x)=2x^2 [/mm] und [mm] g(x)=4x^2
[/mm]
f'(x)=4x und g'(x)=8x und f'(0)=g'(0)=0, aber [mm] f(x)\not=g(x) [/mm] für alle x?!
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:26 Di 22.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast 2 verschiedene Darstellungen einer fkt. oder g)x)=f(x) daraus folgt (falls differenzierbar) f'(x)=g'(x) natürlich an jeder Stelle, (nicht nur für x=1)
also kannst du auch ne formel für x=2 oder [mm] \pi [/mm] rauskriegen (die vielleicht aber nicht interessant ist!)
Gruß leduart
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Danke auch dir für deine schnelle Antwort.
> du hast 2 verschiedene Darstellungen einer fkt. oder
> g)x)=f(x) daraus folgt (falls differenzierbar) f'(x)=g'(x)
> natürlich an jeder Stelle, (nicht nur für x=1)
> also kannst du auch ne formel für x=2 oder [mm]\pi[/mm]
> rauskriegen (die vielleicht aber nicht interessant ist!)
Aber wenn f(x)=g(x) falsch, dann macht das doch kein Sinn.
f(x)=4, g(x)=2. angenommen f(x)=g(x) -> f'(x)=g'(x)=0 -> für alle x gilt f(x)=g(x). Das ist aber falsch.
Oder habe ich das falsch verstanden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:42 Di 22.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du mußt einen Wenn Satz richtig berstehen. wenn [mm] f(x)\not= [/mm] g(x) dann weiss man nix über die Ableitung.
hier hast du aber die (irgendwann bewiesenen Identitaöt von [mm] (1+x)^n [/mm] mit der Summe rechts. die hab ich, um sie nicht hinzuschreiben g genannt, aber rechts und links stehen identische Funktionen
wenn du 2x=x+x hast und links und rechts ableitest ist es natürlich dasselbe
und ob ich [mm] (1+x)^2 [/mm] ableite oder [mm] 1+2x+x^2 [/mm] ist doch dasselbe usw.
(immer wenn eine Wenn- Aussage nicht erfüllt ist macht eine Folgerung daraus keinen Sinn.
Gruss leduart
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